2.3垂径定理 课件 2025-2026学年湘教版 九年级数学下册

该初中数学课件聚焦垂径定理，通过复习圆的轴对称性和赵州桥实际问题导入，结合“动脑筋”探究活动，搭建从旧知到定理的学习支架，引导学生理解定理的形成过程。 其亮点在于以赵州桥问题培养数学眼光，通过逻辑证明发展数学思维，例题与中考题结合强化数学语言应用。采用问题驱动和分层练习，学生能提升探究能力，教师可高效开展教学。

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 2.3垂径定理 第2章 圆 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月31日 2026年1月31日星期六7时26分39秒 2026年1月31日星期六7时26分40秒 问题引入 问题1 圆是轴对称图形吗？ 问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形 其对称轴是直径所在的直线 无数条 问题3：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂足为 E. 试问：AE 与 BE， 与 ， 与 分别相等吗？ 因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，AE 与 BE 重合， ， 分别与 , 重合， 即 AE = BE ， , . 你能试着证明这个结论吗？ 连接 OA，OB. ∵ OA = OB， ∴ △OAB 是等腰三角形. ∵ OE ⊥ AB， ∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD. 从而∠AOC =∠BOC. ∴ ， 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧. 如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长. 解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）. ∵ CD⊥AB， 由垂径定理得 在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得 OA2 ＝ OE2 + AE2. 即 r2 ＝ （r-2）2 + 42. 解得 r ＝ 5 . ∴ CD = 2r = 10 （cm）. 【教材P59页】 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行． 求证： 证明： 作直径 EF⊥ AB， ∴ . 又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ， ∴ EF ⊥ CD. ∴ . 因此 . 即 . 【教材P59页】 即BD= BC Rt△ABC中， AB = 10cm，AC = 8cm； 由勾股定理，得： BC=6cm； ∴ BD= BC=3cm． 如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长. 练习 解 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∵OD⊥BC， ∴OD∥AC， 又∵AO=OB， ∴OD是△ABC的中位线 【教材P59页】 【教材P60】 水管中心到水面的高度为 水深为 25-15＝10 （cm）. 答：此时水的深度是10cm。 随堂练习 【教材P60】 证明 过点 O 作 OE⊥CD， 则AE＝BE， CE＝DE. ∴ AE-CE＝BE-DE， 即 AC ＝BD. E 随堂练习 【教材P60】 解 如图，用 表示桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 r，经过圆心 O 作弦 AB 的垂线， D 为垂足，OC 与 相交于点 C， 则 D 是 AB 的中点， CD为拱高. 在 Rt△ADO 中，r2＝18.72 + (r-7.2)2， 解得 r ≈ 27.9（m）. 答：桥拱的半径是27.9m。 随堂练习 【教材P60】 解 如图，过点 O 作 OD⊥AB，连接 OB， OC. 设小圆的半径为 r，大圆的半径为 R，则 在 Rt△ODB 中， OD2 + 22 = r2， 在 Rt△ODC 中， OD2+32= R2， ∴ 圆环面积 S＝πR2-πr2＝π（32-22） ＝ 5π. 随堂练习 【教材P60】 解 连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线， 交 于点 C， 所以 C 点为 的中点. 理由是： 垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧. A B C 随堂练习 返回 A 1． 下列命题正确的有(　　) ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦； ②垂直于弦的直线平分弦； ③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧； ④与直径不垂直的弦不能被该直径平分； ⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 中考考法 16 2．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　) A．61° B．63° C．65° D．67° B 返回 中考考法 17 返回 D 中考考法 18 4. 如图， AB是 ⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OB＝5，OC＝3，则 AP的长可能是______________．(写出一个符合条件的数值即可) 5(答案不唯一) 返回 中考考法 19 5．[2025首师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，分别交y轴、x轴于点B，C.若点B的坐标为(0，6)，AB＝5，则点C的坐标为________． (8，0) 中考考法 20 6. ⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________． 7或1 中考考法 21 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:① 过圆心；② 垂直于弦； ③ 平分弦（不是直径）; ④ 平分弦所对的优弧;⑤ 平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）. 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 3．如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为(　　) A．2 B．8 C．2 D．2 $