3.4 复数的三角表示 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

3.4　复数的三角表示 一、必备知识基础练 1.复数z=i的三角形式是(　　) A.2(cos+isin) B.2(cos+isin) C.2(cos+isin) D.2(cos+isin) 2.(2025甘肃酒泉高一期末)已知向量对应的复数为z=-1+i,复数zi对应的向量可以将向量按逆时针方向旋转　　　　　得到.(填最小正角)  3.[2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　.  4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]. 5.已知复数z=r(cos θ+isin θ),r≠0,求的三角形式. 二、关键能力提升练 6.复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是(　　) A.sin 30°+icos 30° B.cos 160°+isin 160° C.cos 30°+isin 30° D.sin 160°+icos 160° 7.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,则z的三角形式为　　　　　　　　. 8.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题: (1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式; (2)试求复数的模. 9.已知复数z的模为2,实部为,求复数z的代数形式和三角形式. 10.计算下列各式的值: (1)(-i)·[2(cos+isin)]; (2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°). 11.求证:=cos θ-isin θ. 三、学科素养创新练 12.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω. (1)求ω; (2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值. 参考答案 1.C　z=i=2(i)=2(cos+isin).故选C. 2.　zi=(-1+i)i=-1-i. 设将向量按逆时针方向旋转角θ,可得到复数zi对应的向量, 则由-1-i=(-1+i)(cos θ+isin θ),化简得-1-i=-cos θ-sin θ+(cos θ-sin θ)i, 故有解得故得θ=+2kπ,k∈Z, 依题意求最小正角,则θ=. 3.-8　原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8. 4.解4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)] =[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)] =2[cos(-240°)+isin (-240°)] =2 =-1+i. 5.解[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=[cos(-θ)+isin(-θ)]. 6.B　(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=sin210°-cos210°+2sin 10°cos 10°i=-cos 20°+sin 20°i=cos 160°+isin 160°.故选B. 7.z=2(cos+isin)　由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i. 因为arg z∈(,π),所以z=-1-i应舍去, 所以z=-1+i=2(cos+isin). 8.解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini. (2)由题意可知i+=1+i, 因此,. 9.解由题意,可设z=+bi(b∈R).∵|z|=2, ∴=2,解得b=±1,∴z=+i或z=-i. 将z化为三角形式,得z=2(cos+isin)或z=2[cos+isin]. 10.解(1)·[2(cos+isin)] =(cos+isin)·[2(cos+isin)] =2(cos π+isin π) =-2. (2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°)=30(cos 270°+isin 270°)=-30i. 11.证明左边===cos(-θ)+isin(-θ) =cos θ-isin θ=右边. 12.解(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R), 将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω, 化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai, ∴解得∴ω=-1+i. (2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i|= ==. ∵|z-ω|=1+, ∴=1+, 化简得cos=1. ∵≤θ+<2π+, ∴θ+=2π,即θ=. 5 学科网（北京）股份有限公司 $