利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 含参单调性讨论问题 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 例1.(25-26高三上陕西商洛期末多选)已知函数=x+刊_3x>小，则() Inx 2 A.f(x在(2,3)上存在零点 B.f(x的零点个数为1 C.f(3>0 D.f(x)在1，+0)上单调递减 例2.(25-26高三上·河北期末·多选)已知函数f(x)=ax3-x2+bx,若曲线y=f(x)在点(-1，f(-I)处的切线方程 为y=4x+3,则() A.a=1 B.b=-2 C.f(x)的极小值点为1 D,G)的极大值点为3 例3.(2026四川宜宾一模多选)已知函数.f(x)=(x+)(-x-1,则下列说法正确的有() A.f(x有唯一零点 B.不等式f(x)≥0的解集为-1，+0) C.f(x)在区间(0，+o)上单调递增 D.f(x)有两个极值点 例4.(2026云南模拟预测多选)设函数f(x)=x3-3x2+a,则下列结论正确的是() A.x=0是f(x)的极小值点 B.当且仅当0<a<4时，f(x恰有三个零点 C.若f(x>0的解集为-1,2)U(2,+∞)，则a=4 D.f(x)+f(2-x)+4=2a 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 例5.(25-26高二上广东期末)已知函数f(x=x3-3ar2+3x+1,(a∈R) (I)当a=1时，求函数fx)的单调区间； (2)若函数∫x)在区间1,2)内有极值，求a的取值范围. 例6.(25-26高三上广西崇左·期末)已知函数f(x)=e-ex-5x (I)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (3)证明：∫(x)仅有两个极值点. 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 变式1.(25-26高二上·湖南期末多选)设函数f(x)=x3-6ax+2,则() A.当a=1时，√2是函数f(x的极小值点 B.当a>0时，函数fx)有三个零点 C.已知x是函数f(x)的极大值点，若∫x,)=f(t),x。≠t,则t=22a D.函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称 变式2.(2026山东枣庄一模多选)已知函数f)=-,则() e+1 A.f(x为奇函数 B.f(x)的值域是-1，) C.f(x)有极值 D.存在实数a,b,使得f(x)在[a,b]上的值域为 变式3.(25-26高二上重庆期末·多选)己知函数f(x=(x-2)(x-5)，则() A.函数f(x)有两个极值点 B.函数f(x)的单调递减区间为 2 C.x=2是函数f(x)的极大值点 D.方程f(x)=4有两个实数根 变式4.(25-26高三上福建·月考多选)己知函数f（x)=e+x2-x,则() A.函数f(x)的图象在点1，f(1)处的切线方程为y=(e+1)x+1 B.函数∫x)的最小值为1 C.当a≥0时，若fa2)>f2),则2<a<4 D.若x<0<x2且fx=f(x2,则x1+x2>0 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 变式5.(25-26高二上·重庆沙坪坝期末)已知函数f(x)=ax3-x2-x-3 (1)当a=1时，求f(x)在区间0,3上的最值： (2)若函数∫(x)在区间(-2,0)上单调递减，求实数a的取值范围. 变式6.(2026福建漳州模拟预测)己知函数f(x)=(x+1)lnx+1-1x. (1)当2=1时，求f(x的单调区间； ②若8=f)-是减函数，求的取值范围： (3)当x20时，fx≥0，求λ的最大值： 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 考点二 含参单调性讨论问题 例1.(25：26商二上：浙江杭州期末)已知函数f(=lr+号，aeR (I)当a=-1时，求y=f(x)的极值： (2)求f(x)的单调区间； 8设，0<<是函数8(=fa的两个极值点，证明：3x)-g(s<号- 例2.(25-26高三上北京·月考)已知函数f(x)=aln2x-xlnx+x (1)若a=0,求f(x的零点； (2)若a>0,讨论f(x的单调性 5 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 例3.(25-26高三上·福建福州月考)已知函数f(x=ax2-lnx,a∈R (1)讨论(x)的单调区间； (2)若a>0,且当x∈(0，时，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围. 1.2c剂长接数预》已质数)=-：片加420o>0. ax (1)若f(x)的图象在点(L,f(I)处的切线方程为y=x+b,求实数a,b的值； (2)讨论f(x)的单调区间. 6 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 变式1.(2526商=上河北衡水期未)已知函数f-2a+x-6lx-r2,且了川2到=0. (1)求b的值： (2)讨论f(x)的单调性， 变式2.(25-26高二上陕西·月考)已知函数f(x)=lnx-ax+ a. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点（仁，f(仁）》处的切线方程： (2)求∫(x)的单调性和极值. 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 变式3.s26商三上安微月考)已知函数到-+日》++>0。 (1)当a=2时，求曲线y=∫(x)在点1，∫(1)处的切线方程： (②)讨论函数∫(x的单调性. 变式4.(25-26高三上山东泰安期中)已知函数fx=,x2-alnr+3a,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x∈0,1时，求函数f(x的极值. 6利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 利用导数研究函数的图像与性质、含参单调性讨论问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 含参单调性讨论问题 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 例1．（25-26高三上·陕西商洛·期末·多选）已知函数，则（   ） A．在上存在零点 B．的零点个数为1 C． D．在上单调递减 【答案】ABD 【详解】， 故C错误； 易得在上连续， 又， 所以，则在上存在零点，故A正确； ， 设函数，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减，故D正确； 因为在上单调递减，结合A选项，可得仅有1个零点，故B正确. 故选：ABD. 例2．（25-26高三上·河北·期末·多选）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C．的极小值点为1 D．的极大值点为 【答案】ACD 【详解】因为，切线斜率为，所以， 由题意得，切点在切线上，故， 则， 联立，解得，故A正确，B错误； ， 当时，，在单调递减， 当或时，，在单调递增， 所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确， 故选：ACD. 例3．（2026·四川宜宾·一模·多选）已知函数.，则下列说法正确的有（    ） A．有唯一零点 B．不等式的解集为 C．在区间上单调递增 D．有两个极值点 【答案】BCD 【详解】对于A，依题意得， 即和是函数的零点，故A错误； 对于B，令，求导得， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 且，得到，则， 令，则即可， 所以或，解得，故B正确， 对于C，由题意得， 令，求导得， 当时，令，则， 可得在上单调递增，即在上单调递增， 而， 则在上递增，可得， 因此在上递增，故C正确； 对于D，当时，令， 求导得，由指数函数性质得在上单调递增， 由二次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增，故在上单调递增， 而，则， 由零点存在性定理得存在，使得，则， 当时，，得到在上单调递增， 则，， 即当时，，则， 则在上单调递减，且由选项C得在上单调递增， 因为， 当时，，得到在上单调递减， 而，则， 由零点存在性定理得存在作为零点，也是零点， 令，，令，， 此时，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 由已知得，， 当时，，此时， 则在上单调递减，即在上单调递减， 当时，，， 则，而， 得到，即，此时在上单调递减， 综上可得，在上单调递减，而， 则，即，可得在上单调递增， 综上可得，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 得到有两个极值点，故D正确. 故选：BCD 例4．（2026·云南·模拟预测·多选）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的极小值点 B．当且仅当时，恰有三个零点 C．若的解集为，则 D． 【答案】BCD 【详解】 ，令， 解得：，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， 上单调递增， 所以是的极大值点， 是的极小值点，故A错误； 当，， ，， 要使恰有三个零点，则需满足， 即， 解得：，故B正确； 的解集为， ，解得， 满足题意，故C正确； 函数， 则 ， ， 即， ，故D正确， 故选：BCD 例5．（25-26高二上·广东·期末）已知函数，（）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间内有极值，求a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无单调递减区间. (2) 【详解】（1）当时，函数，则， 恒成立，当且仅当时，， 在上单调递增，无单调递减区间. （2）已知函数，， 令，对称轴， 函数在区间内有极值，则在区间内有变号零点， 则或，解得， 故a的取值范围为. 例6．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)证明：仅有两个极值点. 【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 由题设的定义域为R，且， 所以为奇函数； （2）由，则，而， 所以曲线在点处的切线方程，即； （3）由（2），令，可得，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以仅有两个极值点，分别为，得证. 变式1．（25-26高二上·湖南·期末·多选）设函数，则（    ） A．当时，是函数的极小值点 B．当时，函数有三个零点 C．已知是函数的极大值点，若，则 D．函数的图象关于点成中心对称 【答案】AC 【详解】，则. 当时，，函数在上单调递增. 当时，则令，解得， 根据导函数正负可知函数在和上单调递增，在上单调递减， 因此，极大值点，极大值，极小值点，极小值. 选项A：当时，极小值点，A正确. 选项B：极大值（恒正） 极小值. 零点个数由极小值符号决定： 当，即时，有三个零点； 当，即时，有两个零点； 当，即时，有一个零点； 因此当时，函数不一定有三个零点，B错误. 选项C，若是函数的极大值点，则，若，则. 即，整理得， 即，解得（舍去，因为）或.C正确. 选项D：函数可看作奇函数向上平移2个单位长度，故对称中心也向上平移2个单位长度，从而函数关于成中心对称，D错误. 故选：AC. 变式2．（2026·山东枣庄·一模·多选）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．的值域是 C．有极值 D．存在实数，，使得在上的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，， 则， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，由， 而，则，即， 则，即， 所以的值域是，故B正确； 对于C，由B知，， 因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减， 则在上单调递增，无极值，故C错误； 对于D，由C知，函数在上单调递增， 若在上的值域为， 则， 所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在上有两个交点， 结合为奇函数，在上单调递增，且的值域是， 且，， 可作出函数与的大致图象如下：    由图可知与在上有两个交点， 因此存在实数，，使得在上的值域为，故D正确. 故选：ABD 变式3．（25-26高二上·重庆·期末·多选）已知函数 ，则（    ） A．函数 有两个极值点 B．函数 的单调递减区间为 C． 是函数 的极大值点 D．方程 有两个实数根 【答案】ACD 【详解】对于A、C，函数的定义域为，函数求导得 令，解得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 因此是极大值点，是极小值点， 函数有两个极值点，AC正确； 对于B，由上分析可知函数的单调递减区间为，而不是，所以B错误； 对于D，由上分析函数的单调性求解函数的值域，因为， 当时，；当时，； 则当时，，且函数递增， 故一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递减，结合， 则其一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递增，则， 此时不存在实数根使得， 综上所述，方程 有两个实数根，D正确； 故选：ACD. 变式4．（25-26高三上·福建·月考·多选）已知函数，则（   ） A．函数的图象在点处的切线方程为 B．函数的最小值为1 C．当时，若，则 D．若且，则 【答案】BC 【详解】. 对于A：，故函数的图象在点处的切线方程为， 整理得，故A错误； 对于B：易知与均在上单调递增， 故在上单调递增，又因为， 故当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 因此在处取得最小值，，因此函数的最小值为1，故B正确； 对于C：由B可知，在上单调递增，而， 故由可得， 在平面直角坐标系中绘制出与，结合图象可知， 两个函数交于点与点， 且当时，；当时，；当时，. 因此，结合图象，由，可解得，故C正确； 对于D：要证，即证，又因为在上单调递增，故即证， 又因为，故即证. 构造函数， 则，当且仅当时，等号成立， 因此，即在上单调递增. 又因为，故当时，，即. 又因为，故，无法得出，故D错误. 故选：BC. 变式5．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，，令得或 当或时，，当时， ， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 而，，所以在区间上的最小值，最大值. （2），若函数在区间上单调递减，则，即在上恒成立， 不等式转化为， 当时，，由二次函数性质可知，当时，函数取得最小值， 所以的取值范围是 变式6．（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是减函数，求的取值范围； (3)当时，，求的最大值； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)1 【详解】（1）当时， 的定义域为，且． 令，得；令，得； 因此，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为在单调递减， 所以，即在恒成立． 令，则． 令，则 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的最大值为，所以的取值范围． （3）的定义域为，． 因为在上单调递增，所以． ①当时，对，有，所以在上单调递增， 则对，，所以符合题意． ②当时，令，得，所以在上单调递减， 所以当时，，所以不合题意，舍去． 综上，，所以的最大值为． 考点二 含参单调性讨论问题 例1．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值； （2）的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为的单调递减区间为； （3）， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得，令，则，则， 得， 则， ， 则， 令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以， 即. 例2．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 若，则，得到或（舍），所以， 所以的零点为. （2）若，，函数的定义域为， 所以，令，得或， 即或， ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 例3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，由，得或（舍）， 则时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1），当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，即，在上单调递减，在上单调递增. ，解得， 若，即，所以在上单调递减， ，不合题意； 综上，的取值范围为. 例4．（2026·河北·模拟预测）已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)， (2)答案见解析. 【详解】（1）由题意可得， 因为的图象在点处的切线方程为， 所以，即， 解得，所以 所以. （2）， 因为， 令可得或， ，当时，可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，当时，即时，即由不等式可解得时， 可得当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，当时，恒成立，单调在单调递增； ，当时，当时，，单调递减； 时，，单调递增， 综上， 当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. 变式1．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 变式2．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 变式3．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）时，， 则. 又，则, 故曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为， ， 令,得或， 当，即时，， 故在上单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增; 当，在和上单调递增，在上单调递减; 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 变式4．（25-26高三上·山东泰安·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)单调区间见解析 (2)极值见解析 【详解】（1）由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在 上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $