圆锥曲线：面积问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：面积问题专项训练 圆锥曲线：面积问题专项训练 考点目录 三角形面积问题 四边形面积问题 考点一 三角形面积问题 例1．（25-26高三上·天津·月考）设椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为，已知，. (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程. 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知点是抛物线上的动点，是的焦点，当时，.过点作的切线l，l交轴于点，交轴于点，直线QF与相交于A，B两点（在线段QF上）． (1)求的方程； (2)若为的外心，求点的坐标； (3)求的面积的最小值. 例3．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知双曲线 离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，.    (1)求双曲线的方程； (2)若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示： ①求实数的取值范围； ②求面积的最大值. 例4．（2026·吉林·模拟预测）如图，椭圆 的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为为坐标原点，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)若点为椭圆上一点，且在轴左侧，设过点与椭圆相切的直线为，过两点分别作轴的垂线交直线于两点. （i）若点的纵坐标是，求的面积； （ii）证明：. 变式1．（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 变式2．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于两点，求的面积． 变式3．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知抛物线：，设轴上一点，过点的直线与抛物线交于两点，，直线与抛物线交于另一点，直线与抛物线交于另一点. (1)证明：，，均为定值； (2)设直线与交点为. （ⅰ）求点的横坐标； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值. 变式4．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点（2，1）在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点．且直线过椭圆的右焦点， ①求直线的方程； ②求的面积． 考点二 四边形面积问题 例1．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 例2．（25-26高三上·江苏·月考）已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)求椭圆方程； (2)求证：直线过定点； (3)弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 例3．（25-26高二上·广东江门·月考）已知椭圆，焦距为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l与椭圆C相交于两点，若线段的中点M坐标为，求直线l的方程； (3)设分别是椭圆C的左、右顶点，Q为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点分别为，求四边形面积的最大值． 例4．（25-26高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系xOy中， 已知点，，动点满足直线AW 与BW 的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； (2)已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值． 变式1．（25-26高二上·江西九江·月考）已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式. (1)点绕坐标原点逆时针旋转得到点Q，求点Q的坐标； (2)已知反比例函数． ① 请证明的图像是双曲线，并求出该双曲线标准方程及左右焦点的坐标； ② 若该双曲线存在上两点A，B满足（），且四边形的面积为，求的值． 变式2．（2026·陕西咸阳·一模）已知双曲线：的实轴长为2，点在上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 变式3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）椭圆具有如下的光学性质：光源从椭圆的一个焦点出发，经过椭圆反射，反射光线会经过另一个焦点，即入射光线所在直线与反射光线所在直线关于过反射点所作的椭圆切线对称．已知椭圆的左、右焦点分别为．若椭圆C上有三点，过分别作椭圆C的三条切线．已知关于的对称点为． (1)求椭圆C的方程； (2)若，过作的垂线交轴于Q，求； (3)过作的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的最大值． 变式4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)设，为椭圆的左、右焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），求四边形面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：面积问题专项训练 圆锥曲线：面积问题专项训练 考点目录 三角形面积问题 四边形面积问题 考点一 三角形面积问题 例1．（25-26高三上·天津·月考）设椭圆的左右顶点分别为，，右焦点为，已知，. (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程. 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为 (2) 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为，离心率为； （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组， 消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，， 所以，，， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 例2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知点是抛物线上的动点，是的焦点，当时，.过点作的切线l，l交轴于点，交轴于点，直线QF与相交于A，B两点（在线段QF上）． (1)求的方程； (2)若为的外心，求点的坐标； (3)求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为， 当时，点在抛物线上，可得，解得， 因为，由抛物线的定义，可得，所以， 整理得，解得，所以抛物线的方程为. （2）解：由抛物线，可得，则， 因为切点，可得， 所以切线方程为，即， 令，可得，所以； 令，可得，所以， 因为焦点为的外心，所以, 又由，所以恒成立， 只需，根据抛物线的定义，可得，所以， 由直线的斜率为，所以其方程为， 设， 联立方程组，整理得，可得， 因为，可得，所以或 因为点与不重合，所以， 代入，可得，解得，所以， 所以点的坐标为或. （3）解：由（2）知：直线的方程为， 直线与抛物线的方程，整理得，则， 可得， 又由点到直线的距离为， 所以， 令，可得， 则，令，解得，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即的面积的最小值为. 例3．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知双曲线 离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，.    (1)求双曲线的方程； (2)若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示： ①求实数的取值范围； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）设双曲线的焦距为，把代入双曲线方程可得， 由题意可知，解得，所以双曲线的方程为. （2）①由（1）可知，由角平分线性质可得， 又 ，联立两式可得， 因为在双曲线右支上，所以且，即，所以，， 所以，解得，又 ，所以的取值范围为. ②由①可知；当时，，，此时直线的方程为， 即，令，得，直线的斜率最小，，且， 设，直线的方程为，则， 由消去得， 则，，， 由图可知， 令，， 因为，所以，在上单调递增，所以， 所以面积的最大值为. 例4．（2026·吉林·模拟预测）如图，椭圆 的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为为坐标原点，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)若点为椭圆上一点，且在轴左侧，设过点与椭圆相切的直线为，过两点分别作轴的垂线交直线于两点. （i）若点的纵坐标是，求的面积； （ii）证明：. 【答案】(1)， (2)（i）4，（ii）证明见解析． 【详解】（1）是面积为的等边三角形，且， 则，得， 则，即， 得椭圆的标准方程为，离心率为． （2）（i）设，当时，代入椭圆， 可得，即， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：， 由，消去，得， 由，得，得， 则直线的方程为，令，则， 故，即的面积为4. （ii）证明:由（i）知,直线的方程为， 令，则，即， 令，则，即， ①当直线的斜率不存在时， 由，得， 所以，故， 由，则， 由为锐角，则，故， ②当直线的斜率不存在时， ， 与①同理可得故， 则， 由为钝角，则，故， ③当直线的斜率存在时，且都不为， 设直线的斜率为，则， 设直线的斜率为，则， 又， 则，要证，只需证， 只需证， 即证， 即证， 而满足，则成立， 故．    变式1．（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）方法一： 由题意知，，即，设椭圆的左、右焦点分别为， 则．因为，所以， 解得，又因为，所以.所以椭圆的方程为. 方法二： 由题意知，，即，因为点在椭圆上，所以，又因为，所以， 所以，即，化简得或（舍去），所以，所以，所以椭圆的方程为. （2）（i）设，， 因为线段的中点为，所以， ，因为，两点在椭圆上，所以 所以，所以，所以， 所以直线的方程为. （ii）方法一： 直线的方程为，联立 化简得，. 所以. 设，则点到直线的距离 其中，当时，取最大值，此时， 所以面积的最大值为. 方法二： 直线的方程为， 设与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为， 联立化简得，，解得， 当时，直线与直线的距离更大，此时，切点就是椭圆上到直线距离最大的点， 点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离， 联立化简得，则， 所以，， 所以面积的最大值为 变式2．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为， 抛物线的准线方程为，所以根据抛物线定义得， 解得，所以抛物线的方程为； （2）由（1）知抛物线的焦点满足直线方程， 由得，整理得， 设，则 由焦点弦公式. 又点到直线的距离， 所以. 变式3．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知抛物线：，设轴上一点，过点的直线与抛物线交于两点，，直线与抛物线交于另一点，直线与抛物线交于另一点. (1)证明：，，均为定值； (2)设直线与交点为. （ⅰ）求点的横坐标； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）（1）设直线的方程为， 由，可得，所以. 设直线的方程为，由，可得， 所以， 同理.所以 因此，，均为定值； （2）（2）（ⅰ）由（1）知直线的斜率为， 直线的方程为 化简得，同理直线的方程为. ，. 化简得，得， 所以点的横坐标为. （ⅱ）设与轴交于点，，解得. 则. 过点作垂直于轴的直线交于点，则 将代入方程， 即，可得， 代入方程，点的横坐标， . . 当且仅当时取等号. 由（1）得，，，或，时取最小值. 所以的最小值是. 变式4．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点（2，1）在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点．且直线过椭圆的右焦点， ①求直线的方程； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意，得，解得． 所以椭圆的方程为； （2）①由（1）知椭圆的右焦点． 设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 所以直线的方程为． ②当直线的方程为， 由方程组，解得或， 所以． 又因为O到直线PQ的距离为，所以的面积为； 由对称性可知直线的方程为时，的面积也为； 综上所述：的面积为． 考点二 四边形面积问题 例1．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）平行四边形；（ⅱ）6 【详解】（1）连接，由题意知，， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 即，则， 所以的方程为. （2）（ⅰ）由题意，，且，， 结合椭圆的对称性，易知， 则四边形为平行四边形. （ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心， 则四边形面积为， 由题意，设直线的方程为，， 联立，得， 则， ，， 则 ， 则四边形面积为， 令，，则， 因为函数在上单调递增，则， 则，即四边形面积的最大值为6. 例2．（25-26高三上·江苏·月考）已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)求椭圆方程； (2)求证：直线过定点； (3)弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，则， ，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）连接，设，，而，， 因为，所以， 则， 因为，所以， 设直线的方程为， 则，得， ， ，， 则， 化简可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以直线的方程为，故恒过定点； （3）因为，所以， 设直线的方程为，即， 则，得，故， 则到的距离为， 到的距离为， 且与异号， 故， 所以 ， 由（2）可知， 所以， 所以且， 所以的取值范围为. 例3．（25-26高二上·广东江门·月考）已知椭圆，焦距为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l与椭圆C相交于两点，若线段的中点M坐标为，求直线l的方程； (3)设分别是椭圆C的左、右顶点，Q为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点分别为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于椭圆的焦距为，所以，即. 由于该椭圆经过点，则，化简得. 因为，所以，所以方程变为，即. 又，所以解得，所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆图像关于轴对称，而线段的中点M坐标为，横坐标不为0， 所以直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程得 ，化简得. 设，根据韦达定理得. 由于线段的中点M坐标为，所以，所以， 解得，所以直线的方程为. （3）因为椭圆及直线关于轴对称，不妨设. 直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消得，解得； 同理由得，则四边形的面积为： . 设，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以. 由于在上单调递增，所以时即时取得最小值为， 因此最大为. 例4．（25-26高二上·重庆·月考）在平面直角坐标系xOy中， 已知点，，动点满足直线AW 与BW 的斜率之积为．记W的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； (2)已知直线l与C交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若不重合的两条直线与分别平分线段MN，PQ． ①求证：为定值； ②已知直线与曲线C交于E，G两点，与曲线C交于D，F两点，，求四边形EFGH面积的最大值． 【答案】(1)曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为 (2)①证明见解析；② 【详解】（1）直线AW的斜率为，直线BW 的斜率为， 由题意可知：，∴，∴， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆， 其方程为； （2）①如图1，由于直线平分直线l与圆O的交线段，    所以直线l与垂直，设直线，则． 设，，则， 于是， 即，由于，， 则，又，则，得证； ②由题意，因为，则，如图2，连接DG，ED， 则，    则， 令，得， 则直线与椭圆相交所得弦长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点坐标为，不妨记为点D， 则D到直线的距离， 所以， 由题意可知，则 ， 当且仅当时，取等号， 所以四边形EFGH面积的最大值. 变式1．（25-26高二上·江西九江·月考）已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式. (1)点绕坐标原点逆时针旋转得到点Q，求点Q的坐标； (2)已知反比例函数． ① 请证明的图像是双曲线，并求出该双曲线标准方程及左右焦点的坐标； ② 若该双曲线存在上两点A，B满足（），且四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，，；②3 【详解】（1）取，则 所以Q的坐标是； （2）①取图像上任一点，绕原点逆时针旋转得到 则 又，点Q的轨迹方程是双曲线， 所以， ②由同向可知，直线、与E均有两个交点. 设直线，它与E的另一个交点记为C. 由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积， 所以四边形面积等于三角形面积. 设，    联立方程：， 得，， 三角形面积， 整理得，解得或， 经检验时，，故均在轴上方或下方， 不妨令，此时， 解得或， 画出图象如下：    此时反向，故舍去； 同理可得也不满足要求， 当时，可验证得同向，符合题意， 若，由，解得或， 由于，所以，， 故， 若，同理可得， 综上，. 变式2．（2026·陕西咸阳·一模）已知双曲线：的实轴长为2，点在上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）由已知得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）设，，，， 如图：    设直线的方程为， 联立得， ，且， ，， 所以，所以. 由，，三点共线得，① 由得， 又，则，② 联立①②解得，，即， 由是线段的中点及可知，四边形是平行四边形， 设到直线距离为， 则， 而， . 令（且），则， 则， 令，则， 所以在上，单调递增； 在上，单调递减； 在上，单调递增， 又因为，， 所以， 当即时，符合题意， 所以. 变式3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）椭圆具有如下的光学性质：光源从椭圆的一个焦点出发，经过椭圆反射，反射光线会经过另一个焦点，即入射光线所在直线与反射光线所在直线关于过反射点所作的椭圆切线对称．已知椭圆的左、右焦点分别为．若椭圆C上有三点，过分别作椭圆C的三条切线．已知关于的对称点为． (1)求椭圆C的方程； (2)若，过作的垂线交轴于Q，求； (3)过作的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知， 所以， 所以，又因为，所以， 所以椭圆的方程. （2）如图，在切线上取点，因为直线关于对称，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 且， 上述两方程化简可得， 因为，所以，所以， 又因为，所以解得. （3）由题意可知直线的斜率存在，设的倾斜角为， 过作交或其延长线于点， 设，则到的距离为， 由梯形的中位线可知， 因为，所以四边形为矩形， 所以 ， 所以， 联立，可得， 所以，化简可得， 所以， 令，则， 当，即，即时，四边形的面积有最大值，此时最大值为， 综上所述，四边形面积的最大值为. 变式4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)设，为椭圆的左、右焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）设，由点A在椭圆C上，得，解得， 所以， 又焦点F与短轴两端点构成等边三角形， 所以，所以，， 所以，故. （2）由（1）知椭圆C的方程为， 当的倾斜角为0°时，与重合，不满足题意； 如图， 当的倾斜角不为0°时，由对称性得四边形为平行四边形 ，设直线的方程为 代入，得, 显然，设，， 则，， 所以 设，所以，， 所以 当且仅当即时，即时等号成立． 所以，而 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $