1.3.2乘法公式(第2课时 平方差公式的应用)导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3.2乘法公式(第2课时 平方差公式的应用) 情景1. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. 图1 图2 (1)请表示图中阴影部分的面积. 阴影部分的面积：a2－b2 (2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？ 长＝a＋b； 宽＝a－b；面积＝(a＋b)( a－b). (3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？ 由于阴影部分面积一定，所以由(1)(2)可得，a2－b2＝(a＋b)( a－b) (4)对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ 方法一：如图3，将阴影部分分成两个矩形进行计算：阴影①： a·(a－b) ；阴影②： (a－b)·b ； 阴影部分面积＝a·(a－b)＋(a－b)·b＝(a－b)·(a＋b)＝a2－b2 方法二：把阴影部分沿着虚线剪开，分割成两个一样的直角梯形，再拼接成长方形，如图4， 长方形的面积＝长×宽＝(a－b)·(a＋b)＝a2－b2 方法三：把阴影部分沿着虚线剪开，分割成两个一样的直角梯形，再拼接成等腰梯形，如图5， 梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2＝(2a＋2b)·(a－b)÷2＝a2－b2 图3 图4 图5 例1：利用平方差公式计算 (1)103×97. (2)118×122. 解：(1)103×97 ＝(100＋3)(100－3) ＝1002－32 ＝10000－9 ＝9991 (103＋97)÷2＝100 (2)118×122 ＝(120－2)(120＋2) ＝1202－22 ＝14396 (118＋122)÷2＝120 · 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 将式子化为(a＋b)(a－b)方法：a为两数和的平均数；b为|两数差|的平均数. 例2：计算 (1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2. (2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3). 解：(1) a2(a＋b)(a－b)＋a2b2 ＝a2(a2－b2)＋a2b2 ＝a4－a2b2＋a2b2 ＝a4 (2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3) ＝(2x)2－25－(4x 2－6x) ＝4x2－25－4x2＋6x ＝6x－25 · 观察·思考 1. 计算下列各组算式 7×9＝63 11×13＝143 79×81＝6399 8×8＝64 12×12＝144 80×80＝6400 2.从以上的过程中，你发现了什么规律？ 两个连续奇数的积等于中间所夹偶数的平方减1. 3.请用字母表示这一规律. (a＋1)(a－1)＝a2－1. 随堂练习： (1)704×696； (2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)； (3)x(x－1)－(x－)(x＋). 答案：(1)489 984；(2)2x2－4y2－1；(3)－x＋ 情景2. 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10. 因为(10n2－10)÷10＝n2－1 n为正整数，所以n2－1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数． · 方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 练习1. 1. 若m＋982－1＝1022，则m的值为( D ). A.100 B.799 C.800 D.801 2. 如左图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如右图所示的长方形．这两个图能解释下列哪个等式( B ). A．(x－1)2＝x2－2x＋1 B．(x＋1)( x－1)＝x2－1 C．(x＋1)2＝x2＋2x＋1 D．x(x－1)＝x2－x 3. 从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形(如图1)，然后拼成—个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为( D ). A. a2－b2＝(a－b)2 B. (a＋b2)＝a2＋2ab＋b2 C.(a－b2)＝a2－2ab＋b2 D. a2－b2＝(a＋b)( a－b) 4. 若49x2－y2＝30，7x－y＝5，则7x＋y的值为 6 . 5. 计算：(1)(a－2)(a＋2)(a2＋4)；(2)(x＋y＋1)(x－y－1)；(3)(a＋b＋c)(a＋b－c) 答案：(1)a4－16；(2)x2－y2－2y－1；(3)a2＋2ab＋b2－c2 6. 利用乘法公式计算： (1)2152－214×216；(2)(2＋1)·(22＋1)·(24＋1)·(28＋1)； (3)1002－992＋982－972＋…＋22－12． 答案：(1)1；(2)216－1；(3)5 050 7. 化简：(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4) 答案：x8－y8 8. 先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2. 解：原式＝2x2－1，将x＝2代入，得原式＝7. 9. 小红家有一块L型的菜地，如图所示，要把L型的菜地，按图那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a)m，请你帮小红家算一算这块菜地的面积共有多少？并求出当a＝10，b＝30时，L型菜地的总面积． 解：由题意，得这块菜地的面积为2×(a＋b)(b－a)＝b2－a2(m2)． 当a＝10，b＝30时，原式＝302－102＝800(m2)． 巩固练习： 1. 已知(－2x－y)( )＝y2－4x2，则括号里应填( B ). A．2x＋y B．2x－y C．－2x＋y D．－2x－y 2. 若a＋b的值是－2，则(a＋b＋1)(1－a－b)的值是( C ). A．－16 B．－8 C．－3 D．16 3. 计算的值为 ． 4. 已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为 13 ． 5. 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)． (1)上述操作能验证的等式是( A )．(请选择正确的一个) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－2ab＋b2＝( a－b)2 C．a2＋ab＝a(a＋b) (2)请应用(1)中的等式完成下列各题： ①已知9a2－16b2＝28，3a＋4b＝7，则3a－4b＝ 4 ； ②计算：502－492＋482－472＋…＋42－32＋22－12． ③计算：(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－)． 答案：②1275；③ 6. 图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为a2－b2，图2中图形的面积为(a－b)×_(a＋b)_． (用含有a，b的代数式表示) (2)由(1)可以得到等式：__a2－b2＝(a－b)×_(a＋b)___． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：68.52－31.52． ②若m＋4n＝2，求(m＋1)2－m2＋(2n＋1)2－(2n－1)2的值． 答案：(3)①：3700；②5. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2乘法公式(第2课时 平方差公式的应用) 情景1. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. 图1 图2 (1)请表示图中阴影部分的面积. (2)小颖将图1中的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？ (3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？ (4)对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？ 例1：利用平方差公式计算 (1)103×97. (2)118×122. · 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 将式子化为(a＋b)(a－b)方法：a为两数和的平均数；b为|两数差|的平均数. 例2：计算 (1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2. (2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3). · 观察·思考 1. 计算下列各组算式 7×9＝ 11×13＝ 79×81＝ 8×8＝ 12×12＝ 80×80＝ 2.从以上的过程中，你发现了什么规律？ 3.请用字母表示这一规律. 随堂练习： (1)704×696； (2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)； (3)x(x－1)－(x－)(x＋). 情景2. 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ · 方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 练习1. 1. 若m＋982－1＝1022，则m的值为( ). A.100 B.799 C.800 D.801 2. 如左图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如右图所示的长方形．这两个图能解释下列哪个等式( ). A．(x－1)2＝x2－2x＋1 B．(x＋1)( x－1)＝x2－1 C．(x＋1)2＝x2＋2x＋1 D．x(x－1)＝x2－x 3. 从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形(如图1)，然后拼成—个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为( ). A. a2－b2＝(a－b)2 B. (a＋b2)＝a2＋2ab＋b2 C.(a－b2)＝a2－2ab＋b2 D. a2－b2＝(a＋b)( a－b) 4. 若49x2－y2＝30，7x－y＝5，则7x＋y的值为 . 5. 计算：(1)(a－2)(a＋2)(a2＋4)；(2)(x＋y＋1)(x－y－1)；(3)(a＋b＋c)(a＋b－c) 6. 利用乘法公式计算： (1)2152－214×216；(2)(2＋1)·(22＋1)·(24＋1)·(28＋1)； (3)1002－992＋982－972＋…＋22－12． 7. 化简：(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4) 8. 先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2. 9. 小红家有一块L型的菜地，如图所示，要把L型的菜地，按图那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a)m，请你帮小红家算一算这块菜地的面积共有多少？并求出当a＝10，b＝30时，L型菜地的总面积． 巩固练习： 1. 已知(－2x－y)( )＝y2－4x2，则括号里应填( ). A．2x＋y B．2x－y C．－2x＋y D．－2x－y 2. 若a＋b的值是－2，则(a＋b＋1)(1－a－b)的值是( ). A．－16 B．－8 C．－3 D．16 3. 计算的值为 ． 4. 已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为 ． 5. 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)． (1)上述操作能验证的等式是( )．(请选择正确的一个) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－2ab＋b2＝( a－b)2 C．a2＋ab＝a(a＋b) (2)请应用(1)中的等式完成下列各题： ①已知9a2－16b2＝28，3a＋4b＝7，则3a－4b＝ ； ②计算：502－492＋482－472＋…＋42－32＋22－12． ③计算：(1－)×(1－)×(1－)×…×(1－)×(1－)． 6. 图1、图2分别由两个长方形拼成． (1)图1中图形的面积为a2－b2，图2中图形的面积为(a－b)× ． (用含有a，b的代数式表示) (2)由(1)可以得到等式： ． (3)根据你得到的等式解决下列问题： ①计算：68.52－31.52． ②若m＋4n＝2，求(m＋1)2－m2＋(2n＋1)2－(2n－1)2的值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $