04函数与导数：利用导数解决实际应用问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：利用导数解决实际应用问题讲义 函数与导数：利用导数解决实际应用问题讲义 考点目录 利用导数解决利润最值问题 利用导数解决表面积与体积最值问题 考点一 利用导数解决利润最值问题 【知识点解析】 1.利用导数解决实际应用问题的思路 （1） 理解问题 明确问题的背景和目标，确定需要优化的量（如最大利润、最小成本等）或需要分析的变量关系. （2）建立数学模型 将实际问题转化为数学表达式，通常涉及函数关系.确定自变量和因变量，并建立函数. （3）讨论最值 求导，导论函数单调性，进而得到函数的极值与最值. ※需要注意，实际应用问题中需要注意函数的定义域问题，注意是否为正数或正整数. 2.利用导数求最值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值与、的大小，确定最值. 3.利润问题 （1）总价=单价×数量 （2）利润=总收入-总成本=单个利润×数量=总成本×利润率. ※总成本可能包括生产成本、固定成本、销售成本等，视题目具体要求. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 【答案】C 【详解】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 例2．（24-25高二下·陕西·月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【详解】由题意可知，每瓶液体材料的利润， 所以，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故每瓶液体材料的利润最大时，. 故选：B. 例3．（25-26高三上·上海虹口·月考）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产 万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 【答案】24.30 【详解】设利润， 则设， 当时，， 则， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值. 当时，此时， 则， 则，令，得， 当时，，此时单调递减， 所以. 又因，所以生产万台设备时，全年利润最大. 故答案为：. 例4．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 【答案】0.047 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 例5．（24-25高二下·河北张家口·月考）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 【答案】(1) (2)万件 【详解】（1）设产品单价为元，根据题意有（为比例系数），当时，， 所以，从而有，故. 设总利润为（单位：万元），则. （2）由，可得， 令，得，当时，；当时，， 所以当时，取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为万件. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【详解】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C 变式2．（24-25高二下·福建莆田·月考）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 【答案】D 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 变式3．（24-25高二下·北京·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 . 【答案】 【详解】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，所以当时，函数取得最大值， 即当半径为时，利润最大； 故答案为：． 变式4．（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【详解】分公司一年的利润 (万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 变式5．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 考点二 利用导数解决表面积与体积最值问题 【知识点解析】 1.常见几何体的表面积与体积 （1）常见几何体的体积 ① ② ③ ④ （2）常见旋转体的侧面积与表面积 ①圆柱的侧面积与表面积：； . ②圆锥的侧面积与表面积：； . ③圆台的侧面积与表面积：； . ④球的侧面积与表面积：. （3）常见多面体的侧面积与表面积 ①棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ②棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. ③棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此，，所以， 令得，当时，；当时，. 所以函数在时单调递增，在时单调递减， 故当时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． 把代入，得， 由，得，即圆心角为弧度时，圆锥形容积最大. 故选：D. 例2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，正四棱柱体积最大时，其上底面正方形外接圆是平行于圆锥底面的截面圆， 因此正四棱柱的下底面中心是圆锥的下底面圆心，作出过正四棱柱下底面对角线的圆锥的轴截面， 该轴截面截正四棱柱得其对角面，如图，设正四棱柱的底面边长为，则，    由，得，而，则，， 因此该正四棱柱体积，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则当时，，所以正四棱柱体积最大值为. 故选：A 例3．（25-26高三上·辽宁营口·期中）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，其容积为，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料1kg，圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料 kg.（取）    【答案】 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为. 由题意知该粮仓的容积，则， 则该粮仓的圆锥侧面积为， 设，则. 令，得，易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料. 故答案为： 例4．（25-26高三上·广东·月考）在中，，将绕所在直线旋转一周，所得几何体体积的最大值为 . 【答案】 【详解】如图所示，将绕所在直线旋转一周，所得几何体为同底的两个圆锥， 由余弦定理，可得， 则， 所以， 设旋转一周得到同底的圆锥的底面圆的半径为，可得，所以， 所以几何体体积为, 则，令，即，即， 解得或（舍去），所以或（舍去） 又由，则, 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也是的最大值， 由，可得， 且 ， 则， 可得，即围成几何体的体积的最大值为. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．    (1)若将加工制作成的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积记为，请将表示为关于的函数，并求的最大值； (2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，请指出此时的值；若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积． 【答案】(1)，最大值为； (2)； 【详解】（1）如图所示，   ，又，， 即三棱柱的高，又棱柱底面积， 三棱柱容器的体积， 即所求函数关系式为. 则，当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值为32. 即，且的最大值为32cm³. （2）减掉的三个四边形材料面积之和为， 则，解得：. 正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为，又该正三棱柱的高为， 若金属球体的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， 该金属球体的最大体积. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆·模拟预测）若圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，由于母线为，则， 圆锥体积， 设，则， 于是，单调递增； ，单调递减， 故时，， 即. 故选：A 变式2．（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设帐篷高度为， 则底面正三角形的外接圆半径， 易知底面边长， 底面面积为， 帐篷容积， 则， 令得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在时取得最大值. 故选：C. 变式3．（24-25高二下·福建·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可得：，解得， 因为圆台的体积为， 则，， 令，解得；令，解得； 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且当时，，所以圆台体积的最大值为. 故答案为：. 变式4．（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线MN为抛物线的切线， 因为点P到边AD的距离为，所以切点P的坐标为， 由，得，所以直线MN的斜率为， 所以直线MN的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 则， 因为，所以当对，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最大值平方千米． 故答案为:. 变式5．（25-26高三上·上海·月考）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数解决实际应用问题讲义 函数与导数：利用导数解决实际应用问题讲义 考点目录 利用导数解决利润最值问题 利用导数解决表面积与体积最值问题 考点一 利用导数解决利润最值问题 【知识点解析】 1.利用导数解决实际应用问题的思路 （1） 理解问题 明确问题的背景和目标，确定需要优化的量（如最大利润、最小成本等）或需要分析的变量关系. （2）建立数学模型 将实际问题转化为数学表达式，通常涉及函数关系.确定自变量和因变量，并建立函数. （3）讨论最值 求导，导论函数单调性，进而得到函数的极值与最值. ※需要注意，实际应用问题中需要注意函数的定义域问题，注意是否为正数或正整数. 2.利用导数求最值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值与、的大小，确定最值. 3.利润问题 （1）总价=单价×数量 （2）利润=总收入-总成本=单个利润×数量=总成本×利润率. ※总成本可能包括生产成本、固定成本、销售成本等，视题目具体要求. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 例2．（24-25高二下·陕西·月考）某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 例3．（25-26高三上·上海虹口·月考）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产 万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 例4．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 例5．（24-25高二下·河北张家口·月考）某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元. (1)写出总利润（单位：万元）的函数关系式； (2)为使总利润最大，产量应定为多少？ 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 变式2．（24-25高二下·福建莆田·月考）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（   ） A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克 变式3．（24-25高二下·北京·期中）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 . 变式4．（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 变式5．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 考点二 利用导数解决表面积与体积最值问题 【知识点解析】 1.常见几何体的表面积与体积 （1）常见几何体的体积 ① ② ③ ④ （2）常见旋转体的侧面积与表面积 ①圆柱的侧面积与表面积：； . ②圆锥的侧面积与表面积：； . ③圆台的侧面积与表面积：； . ④球的侧面积与表面积：. （3）常见多面体的侧面积与表面积 ①棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ②棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. ③棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，若容器的容积最大，则此时扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·辽宁营口·期中）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，其容积为，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料1kg，圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料 kg.（取）    例4．（25-26高三上·广东·月考）在中，，将绕所在直线旋转一周，所得几何体体积的最大值为 . 例5．（25-26高二上·上海·期中）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．    (1)若将加工制作成的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积记为，请将表示为关于的函数，并求的最大值； (2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，请指出此时的值；若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积． 【变式训练】 变式1．（2026·重庆·模拟预测）若圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·云南·模拟预测）把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 变式3．（24-25高二下·福建·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为 . 变式4．（2025·上海·三模）某公园有一个长方形地块ABCD，这AB为千米，AD长4千米，地块的一角是水塘（图中阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分．现要经过曲线AC上某一点（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M，N，分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘，设点P到边AD的距离为t（单位：千米），的面积为S（单位：平方千米），则隔离出来的的面积S的最大值为 平方千米． 变式5．（25-26高三上·上海·月考）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 2 学科网（北京）股份有限公司 $