03函数与导数：切线问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：切线问题讲义 函数与导数：切线问题讲义 考点目录 已知切点求切线方程 已知斜率求切线方程 求函数过某点的切线 利用函数过某点的切线的数量求参数或参数范围 公切线问题 利用切线求最值 考点一 已知切点求切线方程 【知识点解析】 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 3. 导数与切线斜率、倾斜角的关系 （1）. （2）为切线，为切线倾斜角，为切线上异于的一点. 4. 已知切点求切线方程的步骤 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点. 步骤2：求导数，得. 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·重庆·期末）曲线 在点 处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·河北衡水·期末）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 例4．（25-26高二上·河北衡水·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知函数的图像在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．4 D．8 变式2．（25-26高三上·河北·月考）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·天津·月考）曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 变式4．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 考点二 已知斜率求切线方程 【知识点解析】 1.直线平行与垂直的关系 （1）若直线与平行，则斜率或斜率均不存在. （2）若直线与垂直，则斜率或斜率一个不存在一个为0. 2. 已知斜率求切线方程的步骤 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 考向一 已知斜率求切线方程或切点 例1．（24-25高二下·广东潮州·月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 例2．（24-25高二下·新疆克孜勒苏·月考）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 考向二 已知斜率求参数 例1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 例2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 【变式训练】 考向一 已知斜率求切线方程或切点 变式1．（24-25高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 变式2．（24-25高二下·宁夏·月考）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 考向二 已知斜率求参数 变式1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则 . 变式2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 考点三 求函数过某点的切线 【知识点解析】 1. 求函数过某点的切线核心原理 函数在切点处的导数，就是切线的斜率； 切线过切点和定点，因此斜率也可表示为​​； 联立和​​，解出切点横坐标​，再代入点斜式即可。 2. 通用解题步骤（无论点是否在曲线上） （1）设切点：设切线与曲线的切点为（未知量为​）； （2）求导得斜率：求的导数，则切线斜率； （3）列斜率等式：由切线过和，得​​，因此有核心方程： （4）解方程求：解上述方程，得到的解（可能 1 个、2 个或无解，对应切线的条数）； （5）写切线方程：将每个​代入，得切点和斜率，用点斜式写切线方程，化简为斜截式/一般式即可. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 例3．（24-25高二下·广东广州·月考）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 变式2．（25-26高三上·山东青岛·月考）写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程 ． 变式3．（24-25高二下·四川达州·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切，求的值. 考点四 利用函数过某点的切线的数量求参数或参数范围 【知识点解析】 1.利用函数过某点的切线的数量求参数的思路 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考点三，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 2.求参数的两个常见方法 （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 3.解题步骤 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 例4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·湖北·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·山西·期中）已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·海南·一模）已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 . 变式4．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 考点五 公切线问题 【知识点解析】 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·吉林长春·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 例2．（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 例3．（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 . 例4．（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·福建·月考）函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 变式2．（24-25高二下·河北石家庄·月考）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·天津和平·月考）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 变式4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)若.求证：； (2)若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值. 考点六 利用切线求最值 【知识点解析】 “曲线与直线距离型” 最值（转化为切线纵截距） 核心思路：求函数上的点到直线的最短 / 最长距离，等价于求与已知直线平行的曲线切线，切点到已知直线的距离即为最值（平行线间距离）. 【例题分析】 例1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 例2．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 变式2．（2026·湖北荆州·一模）已知平面上的点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式3．（25-26高三上·黑龙江·月考）曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：切线问题讲义 函数与导数：切线问题讲义 考点目录 已知切点求切线方程 已知斜率求切线方程 求函数过某点的切线 利用函数过某点的切线的数量求参数或参数范围 公切线问题 利用切线求最值 考点一 已知切点求切线方程 【知识点解析】 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 3. 导数与切线斜率、倾斜角的关系 （1）. （2）为切线，为切线倾斜角，为切线上异于的一点. 4. 已知切点求切线方程的步骤 若已知函数与切点，不知斜率。此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点. 步骤2：求导数，得. 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·重庆·期末）曲线 在点 处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，当时导数值为， 所以直线方程为，即，故A正确. 故选：A. 例2．（25-26高三上·河北衡水·期末）函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求解斜率，进而求出切线方程即可. 【详解】易得，又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 故选：D. 例3．（2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得，所以， 又因为，则切点坐标为， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： 例4．（25-26高二上·河北衡水·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以曲线在点的切线斜率为， 因为曲线在点的切线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：1 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知函数的图像在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，， 则的图像在处的切线方程为，即， 又函数的图像在处的切线方程为，则， 所以，，故. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·河北·月考）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·天津·月考）曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 【答案】 【详解】， 则曲线在点处的切线斜率为：； 切线方程为：，即， 故答案为：； 变式4．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 考点二 已知斜率求切线方程 【知识点解析】 1.直线平行与垂直的关系 （1）若直线与平行，则斜率或斜率均不存在. （2）若直线与垂直，则斜率或斜率一个不存在一个为0. 2. 已知斜率求切线方程的步骤 若已知函数与斜率，不知切点。此时设切点，此时解出，再将代入解出,此时利用点斜式写出切线方程 步骤1：求导数，令，求解得； 步骤2：求，得切点； 步骤3：写切线方程. 【例题分析】 考向一 已知斜率求切线方程或切点 例1．（24-25高二下·广东潮州·月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案. 【详解】解：由题意可知：函数的导函数为 过P点的切线与直线平行 ，解得 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即. 所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14） 故选:C 例2．（24-25高二下·新疆克孜勒苏·月考）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，则，解得， 则， 所以，即切线经过点， 则该切线的方程为， 即. 故选：C. 考向二 已知斜率求参数 例1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 直线的斜率为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 例2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则实数的值为 ． 【答案】/0.5 【详解】，当时，， 的斜率为，故，解得. 故答案为： 【变式训练】 考向一 已知斜率求切线方程或切点 变式1．（24-25高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而， 所以，则，即，故点的坐标为或. 故选：C. 变式2．（24-25高二下·宁夏·月考）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设切点为，， 切线与直线垂直， 切线的斜率为， 又，所以，，解得， ，即切点， 由点斜式可得，切线方程为：，即． 故选：． 考向二 已知斜率求参数 变式1．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数，若曲线在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以， 又在处的切线与直线垂直， 所以，解得 故答案为： 变式2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【详解】对求导得，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直且直线斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 考点三 求函数过某点的切线 【知识点解析】 1. 求函数过某点的切线核心原理 函数在切点处的导数，就是切线的斜率； 切线过切点和定点，因此斜率也可表示为​​； 联立和​​，解出切点横坐标​，再代入点斜式即可。 2. 通用解题步骤（无论点是否在曲线上） （1）设切点：设切线与曲线的切点为（未知量为​）； （2）求导得斜率：求的导数，则切线斜率； （3）列斜率等式：由切线过和，得​​，因此有核心方程： （4）解方程求：解上述方程，得到的解（可能 1 个、2 个或无解，对应切线的条数）； （5）写切线方程：将每个​代入，得切点和斜率，用点斜式写切线方程，化简为斜截式/一般式即可. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 例2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 【答案】或（写出其中一条即可） 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 例3．（24-25高二下·广东广州·月考）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1)1 (2)或． 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，所以； （2）设曲线过原点的切线的切点为，则， 原点不在曲线上，于是，解得， 当时，；当时，， 所以曲线过原点的切线方程为或． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【详解】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 变式2．（25-26高三上·山东青岛·月考）写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程 ． 【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【详解】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称， 所以它的另一条切线方程为. 故答案为：（或）. 变式3．（24-25高二下·四川达州·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切，求的值. 【答案】(1)； (2)或3 【详解】（1），则， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得，即. （2）设直线与曲线相切于点， 则 将上式代入下式，得，即， 解得或1，故或3. 考点四 利用函数过某点的切线的数量求参数或参数范围 【知识点解析】 1.利用函数过某点的切线的数量求参数的思路 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考点三，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 2.求参数的两个常见方法 （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量. 3.解题步骤 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线在点处的切线过点， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，则该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当和时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得，即的取值范围是. 故选：B. 例2．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A 例3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设曲线切点为，即， 由， 所以与曲线相切的直线的方程：， 因为切线过， 所以， 设 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 显然当，，当，， 且，函数的图象如下图所示： 因此要想过点可作3条与曲线相切的直线， 只需直线与函数的图象有三个不同的交点， 即， 故答案为： 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·湖北·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线在点处的线线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，，当，， 所以：函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得. 故选：B. 变式2．（24-25高二下·山西·期中）已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为， 由可得，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 由点在切线上代入可得， 即三次方程有三个不同的实数根， 令，则， 所以极值点为和， 又极值点处函数值为， 三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号， 所以，解得. 故选：B 变式3．（2025·海南·一模）已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设过点的直线与的图象相切于点， 则切线斜率，由切线过点，得， 因此，整理得. 令，则， 原问题等价于有三个不同零点. 当时，单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为，极小值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，极大值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 综上，的取值范围是. 故答案为： 变式4．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设切点坐标为，则，即， 整理得，令， 依题意，函数有3个不同的零点，求导得 ，当时，，在上单调递减，值域为； 当时，，在是单调递增，值域为； 当时，在上单调递减，值域为， 由函数有3个零点，得，即， 解得，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 考点五 公切线问题 【知识点解析】 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·吉林长春·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 【答案】A 【详解】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 例2．（2025·陕西汉中·一模）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 例3．（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 . 【答案】 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 易知公切线的斜率存在，对求导得， 可得公切线的斜率， 所以公切线方程为，即①. 对求导得， 所以公切线方程为， 即②. 由①②得所以， 令，，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以， 所以公切线方程为，即. 故答案为： 例4．（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】(1)；； (2)；. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·福建·月考）函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为， 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即， 又易知，整理可得， 即，即，解得或， 因此可得斜率为或， 故选：C. 变式2．（24-25高二下·河北石家庄·月考）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A 变式3．（25-26高三上·天津和平·月考）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 【答案】或 【详解】因为，， 设与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则， 消去，整理得，解得或. 当时，切线的斜率为，切点为，则的方程为； 当时，切线的斜率为1，切点为，则的方程为. 故答案为：或. 变式4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数. (1)若.求证：； (2)若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，， 令，则， 令，因为， 所以在区间上单调递增，且， 所以存在，满足， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则当时，取得最小值， 可得， 因为，所以不成立，故等号不成立，则， 所以当时，. （2）设公切线与两函数的图象分别相切于点和点， 因为， 所以直线的方程可表示为或， 则有，① ，② 由①可得，代入②可得， 即，令，则， 令，则，， 所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， 又， 根据零点存在定理知，存在，使得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为在上单调递增，所以， 则， 又为整数，所以，故所求整数的最小值是. 考点六 利用切线求最值 【知识点解析】 “曲线与直线距离型” 最值（转化为切线纵截距） 核心思路：求函数上的点到直线的最短 / 最长距离，等价于求与已知直线平行的曲线切线，切点到已知直线的距离即为最值（平行线间距离）. 【例题分析】 例1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 例2．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意的几何意义为抛物线上一点到直线距离的5倍， 如图，把直线平移至与抛物线相切时，切点即为到直线距离最小的点， 设切点，，令，得，把代入抛物线得， 即切点，此时， 所以的最小值为. 故选：C    例3．（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【答案】D 【详解】由直线l的方程，得． 令，， 则． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的最大值为， 所以恒成立，所以曲线与直线l无交点，且曲线在直线l的下方． 由题设且，设直线与直线平行且与相切， 则直线与的切点到直线的距离，为的最小值，且无最大值， 又， 因为，，求导，得． 解，得， 因为，所以． 此时，点P到直线l的距离为， 所以d的最小值为． 故选：D． 变式2．（2026·湖北荆州·一模）已知平面上的点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在直线上，点在曲线上， 又因为，， 令，解得，可得， 的最小值即为点到直线的距离. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·黑龙江·月考）曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $