导数与函数的单调性、极值、最值讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理导数与函数单调性、极值、最值的知识体系，按考点分设知识点解析、例题分析与变式训练，明确解题步骤与逻辑联系，突出核心概念的内在关联。 讲义亮点在于分层练习设计，如“已知单调性求参数”“函数与导数图像关系”等考向，结合选择、解答题培养数学思维与直观想象，变式训练助力不同层次学生巩固提升，为教师精准教学提供系统支持。

函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值讲义 函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值讲义 考点目录 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 考点一 利用导数研究函数的单调性 【知识点解析】 1. 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 【例题分析】 考向一 利用导数求函数的单调区间 例1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 例3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)求函数在定义域上的单调区间. 考向二 已知函数单调性求参数 例1．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 考向三 函数与导数图像之间的关系 例1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 例2．（24-25高二下·浙江温州·月考）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 考向一 利用导数求函数的单调区间 变式1．（25-26高三上·广东广州·月考）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·安徽合肥·月考）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·广东东莞·月考）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 考向二 已知函数单调性求参数 变式1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 考向三 函数与导数图像之间的关系 变式1．（24-25高二下·甘肃平凉·月考）设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 考点二 利用导数研究函数的极值 【知识点解析】 1. 导数与函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2.极值点与导数的关系 对于函数，“函数在处取得最值”是“函数在处导数值为0”的既不充分也不必要条件. 若“函数在处取得最值”，函数在处导数可能不存在。只有当函数在处可导时，才可以说“函数在处取得最值” 是“函数在处导数值为0”的充分条件. 若“函数在处导数值为0”，还得保证处左右两端的导数值相反，才能推出“函数在处取得最值”.比如常数函数处处导数值为0，但没有极值. 我们做题时保证函数可导且验证导数的正负值相反之后，可将其视为充要条件. 3.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 【例题分析】 考向一 利用导数研究函数的极值 例1．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 例2．（25-26高三上·河南·月考）函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 考向二 已知函数极值求参数 例1．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 . 例3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数在-2处取得极值-14. (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程. 考向三 函数极值与导数图像之间的关系 例1．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 例2．（24-25高二下·广东湛江·期末·多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【变式训练】 考向一 利用导数研究函数的极值 变式1．（24-25高二下·江苏镇江·月考）函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 变式2．（24-25高二下·江西上饶·月考）函数的极小值为（   ） A． B． C． D． 考向二 已知函数极值求参数 变式1．（24-25高二下·河南焦作·期中）若函数在时取得极大值0，则（    ） A． B．或 C． D． 变式2．（25-26高三上·四川广安·月考）若函数在处取得极值4，则 ． 变式3．（24-25高二下·福建莆田·月考）已知函数若函数在处取得极小值. (1)求实数a，b的值； (2)求的单调区间和极大值. 考向三 函数极值与导数图像之间的关系 变式1．（24-25高二下·吉林松原·期中·多选）已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极大值点 变式2．（24-25高二下·重庆·期中·多选）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 考点三 利用导数研究函数的最值 【知识点解析】 函数的最值分为全局最值（定义域上的最大值 / 最小值）和局部最值（极值），导数是求解函数最值的核心工具，核心逻辑是：函数的最值要么出现在定义域内的极值点，要么出现在定义域的端点（闭区间）/ 间断点 / 趋向无穷的边界（开区间）. 1.极值与最值的区别 极值：局部概念，仅针对某点附近的函数值，分为极大值、极小值，对于可导函数，极值点处导数为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点. 最值：全局概念，针对整个定义域的函数值，最大值是所有函数值中最大的，最小值是最小的；最值唯一，极值可以有多个，且极值不一定是最值. 2.求闭区间上连续函数最值的步骤 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 【例题分析】 考向一 利用导数研究函数的最值 例1．（24-25高二下·云南保山·期末）已知，则有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 例2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 例3．（24-25高二下·河南商丘·月考）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 例4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 例5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 考向二 已知函数最值求参数 例1．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 例2．（24-25高三下·江西赣州·月考）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【变式训练】 考向一 利用导数研究函数的最值 变式1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 变式2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 变式4．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 变式5．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 考向二 已知函数最值求参数 变式1．（24-25高二下·福建三明·月考）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 变式2．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值讲义 函数与导数：导数与函数的单调性、极值、最值讲义 考点目录 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 考点一 利用导数研究函数的单调性 【知识点解析】 1. 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 【例题分析】 考向一 利用导数求函数的单调区间 例1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 例2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【详解】的定义域为， 由题得， 令，得， 因为， 所以函数的单调减区间为和， 故选：C. 例3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)求函数在定义域上的单调区间. 【答案】(1)； (2)递增区间是，递减区间是. 【详解】（1）函数，由，得， 所以. （2）由（1）得，其定义域为， 求导得， 由，得或；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 考向二 已知函数单调性求参数 例1．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 例2．（25-26高二上·江西·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题知， 因为在上单调递减，即在上恒成立， 所以， 故答案为：． 考向三 函数与导数图像之间的关系 例1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 例2．（24-25高二下·浙江温州·月考）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，同号． 由图得当时，单调递增，；当，时，单调递减，． 故当时，，，； 当时，，，． 综上，的解集为． 故选：D. 【变式训练】 考向一 利用导数求函数的单调区间 变式1．（25-26高三上·广东广州·月考）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 变式2．（24-25高二下·安徽合肥·月考）函数的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 其中，，令，即，解得， 所以函数的递增区间是. 故选：D 变式3．（24-25高二下·广东东莞·月考）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； 【答案】(1)单调递减区间为，递增区间为； (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1）由，定义域为R， ，令，即， 令，即，令，即， 所以函数的单调递减区间为，递增区间为； （2）函数的定义域为，又， 令，得，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 考向二 已知函数单调性求参数 变式1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数在上单调递增， 得，，即恒成立， 令，而函数在上单调递减，则，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C 变式2．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 考向三 函数与导数图像之间的关系 变式1．（24-25高二下·甘肃平凉·月考）设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象知，，的图象为增函数，则， 故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误. 故选：A 变式2．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 考点二 利用导数研究函数的极值 【知识点解析】 1. 导数与函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2.极值点与导数的关系 对于函数，“函数在处取得最值”是“函数在处导数值为0”的既不充分也不必要条件. 若“函数在处取得最值”，函数在处导数可能不存在。只有当函数在处可导时，才可以说“函数在处取得最值” 是“函数在处导数值为0”的充分条件. 若“函数在处导数值为0”，还得保证处左右两端的导数值相反，才能推出“函数在处取得最值”.比如常数函数处处导数值为0，但没有极值. 我们做题时保证函数可导且验证导数的正负值相反之后，可将其视为充要条件. 3.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 【例题分析】 考向一 利用导数研究函数的极值 例1．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数，则在上的极值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以在上的极值为， 故选：A 例2．（25-26高三上·河南·月考）函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】， 因为， 所以当时，，所以该函数在区间上单调递增， 当时，，所以该函数在区间上单调递减， 所以当时，是函数的极大值点，所以极大值为， 故选：A 考向二 已知函数极值求参数 例1．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 例2．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 . 【答案】/ 【详解】由， 得， 则， 解得或， 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极小值，不成立； 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极大值，成立； 综上所述， 故答案为：. 例3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数在-2处取得极值-14. (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）,根据题意得到，解得：， （2），， ，， 点处的切线点斜式方程为：， 即 考向三 函数极值与导数图像之间的关系 例1．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 例2．（24-25高二下·广东湛江·期末·多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 【变式训练】 考向一 利用导数研究函数的极值 变式1．（24-25高二下·江苏镇江·月考）函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，得的定义域为，且， 令，得（负根舍去）, 当时，, 当时，， 当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点． 故选：B． 变式2．（24-25高二下·江西上饶·月考）函数的极小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 于是有极小值. 故选：D 考向二 已知函数极值求参数 变式1．（24-25高二下·河南焦作·期中）若函数在时取得极大值0，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由题知，， 由在时取得极大值，∴，解得或， 经检验，当时，， 由，，所以在上单调递减； 由，，所以在上单调递增； 此时在时取得极大值，满足题意，故， 当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去； ∴，将代入，解得， 所以. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·四川广安·月考）若函数在处取得极值4，则 ． 【答案】 【详解】因为在处取得极值4， 所以且. 又，所以①， 又②， 联立①②，解得，经验证符合题意， 所以. 故答案为：. 变式3．（24-25高二下·福建莆田·月考）已知函数若函数在处取得极小值. (1)求实数a，b的值； (2)求的单调区间和极大值. 【答案】(1)； (2)答案见解析 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取到极小值，符合题意． 所以． （2）由（1）知， ，， ， 令，则或， 当时， 或 ，所以在，上单调递增； 当时，，在单调递减． 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，函数取到极大值，即. 考向三 函数极值与导数图像之间的关系 变式1．（24-25高二下·吉林松原·期中·多选）已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】AC 【详解】对于A,当时，故在上单调递增，A正确， 对于B, 当时，故在上单调递增，B错误， 对于C, 当时，故在上单调递增，当时，故在上单调递减，故是的极小值点，C正确，D错误， 故选：AC 变式2．（24-25高二下·重庆·期中·多选）定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值，是的极大值 B．是的极大值，是的极小值 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BCD 【详解】由图知， 当时，；当时，；当时，； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． 故选：BCD. 考点三 利用导数研究函数的最值 【知识点解析】 函数的最值分为全局最值（定义域上的最大值 / 最小值）和局部最值（极值），导数是求解函数最值的核心工具，核心逻辑是：函数的最值要么出现在定义域内的极值点，要么出现在定义域的端点（闭区间）/ 间断点 / 趋向无穷的边界（开区间）. 1.极值与最值的区别 极值：局部概念，仅针对某点附近的函数值，分为极大值、极小值，对于可导函数，极值点处导数为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点. 最值：全局概念，针对整个定义域的函数值，最大值是所有函数值中最大的，最小值是最小的；最值唯一，极值可以有多个，且极值不一定是最值. 2.求闭区间上连续函数最值的步骤 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 【例题分析】 考向一 利用导数研究函数的最值 例1．（24-25高二下·云南保山·期末）已知，则有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【详解】设，求导得：， 当时，，所以函数在区间内单调递减． 因此，函数在处取得最大值为. 故选：A． 例2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 例3．（24-25高二下·河南商丘·月考）已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； （2）由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 例4．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【详解】（1）依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 例5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 考向二 已知函数最值求参数 例1．（24-25高二下·重庆·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 例2．（24-25高三下·江西赣州·月考）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)为极小值点，无极大值点 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 【变式训练】 考向一 利用导数研究函数的最值 变式1．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 变式2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 变式4．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 变式5．（25-26高三上·北京·月考）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 考向二 已知函数最值求参数 变式1．（24-25高二下·福建三明·月考）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 变式2．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $