01函数与导数：导数的定义与运算法则讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：导数的定义与运算法则讲义 函数与导数：导数的定义与运算法则讲义 考点目录 函数的变化率 导数的定义 导数的几何意义 基本初等函数的导数 导数的四则运算 复合函数的导数 考点一 函数的变化率 【知识点解析】 1.函数的平均变化率 （1）定义 对于函数，当自变量从变化到（称为自变量的增量，可正可负，）时，函数值从变化到，记为函数值的增量，则函数在区间上的平均变化率为. （2）几何意义 函数图像上，连接点和的割线的斜率，反映函数在该区间上整体的变化趋势，平均变化率越大，割线越陡，函数在区间上变化越快. 注意：是一个整体符号，而不是与相乘． 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C. 例2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 例3．（25-26高三上·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 【答案】 【详解】由平均变化率的定义可得：， 故答案为： 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 变式2．（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【答案】B 【详解】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 变式3．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）函数在区间上的平均变化率为 ． 【答案】 【详解】在区间上的平均变化率为. 故答案为：. 变式4．（22-23高二下·北京丰台·期中）人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论： ①在这段时间内，甲的心率变化比乙快； ②在时刻，甲的心率变化比乙快； ③在时刻，甲、乙的心率变化相同； ④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】对于①，在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大，所以甲的心率变化比乙快，故①正确： 对于②，图象切线斜率的绝对值比图象切线斜率的绝对值大，甲的心率变化比乙快，故②正确； 对于③，在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲、乙的心率变化相同，故③正确； 对于④，乙（虚线）在这段时间的割线斜率小于甲（实线）在这段时间的割线斜率的绝对值，故④错误． 故选：①②③ 考点二 导数的定义 【知识点解析】 1.导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作，即． 注意：不可以是0． 2.求函数在某点处的导数 （1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限． （2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点： ①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在． ②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式． 3.几何意义 函数图像上，点处切线的斜率，这是导数最核心的几何意义：切线是割线当无限趋近于（）时的极限位置，切线斜率反映函数在该点瞬间的变化快慢. 4.物理意义（常用） 若表示物体的位移关于时间的函数，则是物体在​时刻的瞬时速度； 若表示物体的速度关于时间的函数，则是物体在时刻的瞬时加速度。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·上海·期末）设，则（   ）. A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】，，， ，故选项C正确. 故选：C. 例2．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 例3．（24-25高三下·浙江绍兴·月考）已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意有：， 故选：D. 例4．（25-26高三上·上海·月考）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 . 【答案】1 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 例5．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 【答案】4 【详解】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4 例6．（24-25高二下·河北石家庄·期中）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为 m/s． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，得， 即该运动员在时的瞬时速度为． 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知，则 . 【答案】/-0.5 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 变式2．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 变式3．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以. 故答案为： 变式4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 变式5．（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据导数定义， 令，即，得， 故选：B． 考点三 导数的几何意义 【知识点解析】 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 【例题分析】 例1．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数， 所以， 即. 故选：B. 例2．（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 例3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知曲线，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】的导数为， 曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为， 即为． 故答案为：． 例4．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 例5．（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【答案】(1) (2) 【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； （2）当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 【变式训练】 变式1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由导数的几何意义，得为函数图象在处切线的斜率， 为函数的图象在处切线的斜率， 为函数图象上点确定直线的斜率， 观察图象，得. 故选：B    变式2．（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 变式3．（2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得，所以， 又因为，则切点坐标为， 故曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为： 变式4．（25-26高二上·河北衡水·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以曲线在点的切线斜率为， 因为曲线在点的切线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：1 变式5．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数，. (1)求曲线在点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值. 【答案】(1) (2)0 【详解】（1）由得， 则在点处的切线斜率， 故切线方程为， 从而切线方程为. （2）由（1）可得曲线在点的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 考点四 基本初等函数的导数 【知识点解析】 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导数 幂函数： 指数函数： 且 对数函数： 且 正弦函数： 余弦函数： 2.几个常用函数的导数 原函数 导数 常数函数： 【例题分析】 例1．（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 例2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 例3．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A选项，由对数函数的求导公式，得，故A正确； 对于B选项，由复合函数的求导法则，得，故B错误； 对于C选项，由指数函数的求导公式，得，故C错误； 对于D选项，由正弦函数的求导公式，得，故D错误. 故选：A. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解析式知，所以. 故选：B 变式2．（24-25高二下·福建厦门·月考）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 考点五 导数的四则运算 【知识点解析】 1.导数四则运算法则 （1）. （2）. （3）． （4）. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 例2．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）（1） （2）因为， 所以 （3） （4） 例3．（24-25高二下·西藏林芝·月考）求下列函数的导数. (1)； (2) ； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 例4．（24-25高二下·广东江门·期中）求下列函数的导数 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）. 【变式训练】 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】求导得： 令，得： ， 解得：， 因此， 令，得： . 故 选：A 变式2．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2） . （3），则. 变式3．（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为， 所以. 变式4．（24-25高二上·江苏淮安·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 考点六 复合函数的导数 【知识点解析】 1.复合函数的定义 如果是的函数，又是的函数，即、，那么关于的函数叫做函数 和的复合函数，其中是中间变量，自变量为，函数值为。是外函数，是内函数. 2.复合函数的求导 . 3.对于复合函数的求导，一般步骤为： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 【例题分析】 例1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的导函数. 故选：C 例2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 则， 所以. 故答案为：. 例3．（25-26高二上·河北衡水·期末）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以； （4）因为，所以. 例4．（24-25高二下·上海·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：因为， 所以 （2）解：因为， 所以 . 例5．（24-25高二下·山西运城·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 变式2．（24-25高二下·广西桂林·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵， ∴． （2）． （3）∵， ∴． 变式3．（24-25高二下·湖北黄冈·月考）求下列函数的导数： (1)； (2) (3) ； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）= （2）因为y=ln=， 所以··=. （3） 变式4．（24-25高二下·陕西西安·月考）求下列函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， 则， 故. （2）∵， ∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：导数的定义与运算法则讲义 函数与导数：导数的定义与运算法则讲义 考点目录 函数的变化率 导数的定义 导数的几何意义 基本初等函数的导数 导数的四则运算 复合函数的导数 考点一 函数的变化率 【知识点解析】 1.函数的平均变化率 （1）定义 对于函数，当自变量从变化到（称为自变量的增量，可正可负，）时，函数值从变化到，记为函数值的增量，则函数在区间上的平均变化率为. （2）几何意义 函数图像上，连接点和的割线的斜率，反映函数在该区间上整体的变化趋势，平均变化率越大，割线越陡，函数在区间上变化越快. 注意：是一个整体符号，而不是与相乘． 【例题分析】 例1．（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 例3．（25-26高三上·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 变式3．（22-23高二下·陕西咸阳·月考）函数在区间上的平均变化率为 ． 变式4．（22-23高二下·北京丰台·期中）人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论： ①在这段时间内，甲的心率变化比乙快； ②在时刻，甲的心率变化比乙快； ③在时刻，甲、乙的心率变化相同； ④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快． 其中，所有正确结论的序号是 ． 考点二 导数的定义 【知识点解析】 1.导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作，即． 注意：不可以是0． 2.求函数在某点处的导数 （1）求函数在某点处的导数、求瞬时变化率的步骤简称为一差、二比、三极限． （2）利用定义求函数在处的导数的两个注意点： ①在求平均变化率时，要注意对的变形与约分，变形不彻底可能导致不存在． ②当对取极限时，一定要把变形到当时，分母是一个非零常数的形式． 3.几何意义 函数图像上，点处切线的斜率，这是导数最核心的几何意义：切线是割线当无限趋近于（）时的极限位置，切线斜率反映函数在该点瞬间的变化快慢. 4.物理意义（常用） 若表示物体的位移关于时间的函数，则是物体在​时刻的瞬时速度； 若表示物体的速度关于时间的函数，则是物体在时刻的瞬时加速度。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·上海·期末）设，则（   ）. A． B．0 C． D． 例2．（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高三下·浙江绍兴·月考）已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 例4．（25-26高三上·上海·月考）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 . 例5．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 例6．（24-25高二下·河北石家庄·期中）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为 m/s． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知，则 . 变式2．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 变式3．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数，则 ． 变式4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 考点三 导数的几何意义 【知识点解析】 1.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率.具体来说，对于一个可导函数，在点处的导数表示函数图像在该点的切线的斜率. 2.几何解释： （1）切线斜率 导数是函数在处的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线的斜率. ①如果，切线向上倾斜. ②如果，切线向下倾斜. ③如果，切线是水平的. （2）切线方程 函数在点处的切线方程可以表示为：. （3）几何直观： 当趋近于 0 时，函数图像上两点和之间的割线斜率趋近于切线的斜率，即导数. 【例题分析】 例1．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知曲线，则曲线在点处的切线方程为 ． 例4．（25-26高三上·安徽·月考）已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 例5．（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【变式训练】 变式1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·云南·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 变式4．（25-26高二上·河北衡水·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 ． 变式5．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数，. (1)求曲线在点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值. 考点四 基本初等函数的导数 【知识点解析】 1.基本初等函数的导数公式 原函数 导数 幂函数： 指数函数： 且 对数函数： 且 正弦函数： 余弦函数： 2.几个常用函数的导数 原函数 导数 常数函数： 【例题分析】 例1．（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·福建厦门·月考）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 考点五 导数的四则运算 【知识点解析】 1.导数四则运算法则 （1）. （2）. （3）． （4）. 【例题分析】 例1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知是函数的导函数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 例2．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 例3．（24-25高二下·西藏林芝·月考）求下列函数的导数. (1)； (2) ； (3)； (4)； 例4．（24-25高二下·广东江门·期中）求下列函数的导数 (1) (2) 【变式训练】 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 变式2．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 变式3．（24-25高二下·江西南昌·期中）求下列函数的导数. (1) (2) 变式4．（24-25高二上·江苏淮安·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 考点六 复合函数的导数 【知识点解析】 1.复合函数的定义 如果是的函数，又是的函数，即、，那么关于的函数叫做函数 和的复合函数，其中是中间变量，自变量为，函数值为。是外函数，是内函数. 2.复合函数的求导 . 3.对于复合函数的求导，一般步骤为： (1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量． 【例题分析】 例1．（25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 例3．（25-26高二上·河北衡水·期末）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 例4．（24-25高二下·上海·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)． 例5．（24-25高二下·山西运城·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 变式2．（24-25高二下·广西桂林·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 变式3．（24-25高二下·湖北黄冈·月考）求下列函数的导数： (1)； (2) (3) ； 变式4．（24-25高二下·陕西西安·月考）求下列函数的导数： (1)； (2). 2 学科网（北京）股份有限公司 $