反证法在解题中的应用策略讲义-2026届高三数学二轮专题复习

反证法在解题中的应用策略讲义 反证法在中学数学解题中有着广泛的应用.所谓反证法,就是假设原命题的结论不成立,即从否定结论出发,经过严密的逻辑推理,推导出矛盾,由此得出假设是错误的,从而肯定原命题结论是正确的一种间接证明方法.用反证法证明的一般步骤:(1)反设——作出与求证结论相反的假设;(2)归谬——将反设作为条件进行正确推理,直到推理导出矛盾为止;(3)结论——断言假设不成立,从而肯定原命题结论成立.其中正确否定结论是基础,导出证明过程的矛盾是关键,通常出现矛盾的形式有以下五种:①与题设矛盾;②与假设矛盾;③与公理、定理、定义、法则和公式等相矛盾;④与某些事实矛盾;⑤在证明过程中,推出自相矛盾的结论. 那么,怎样的命题才适合用反证法来证呢?当然无绝对的标准,但主要适用于下列三种情形:(一)要证的结论与已知条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论较困难或无从下手,而由假定原命题结论的否定成立去推出矛盾比证明原命题更容易;(二)若从正面证明其结论需分成多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明只需研究一种或很少的几种情形;(三)当命题结论的反面比结论本身更具体、更简明.在总结解题的经验与实践中发现,下面这些命题用反证法来证明既方便简洁而又实用有效. 题型一、证有些肯定型命题 这类命题的结论是肯定形式,如某某是什么,或某某具有什么特性等;其已知条件一般很简单,若直接从正面出发去证明往往感到困难或难以下手,而从反面证明却得心应手. 例1.已知一个整数的平方能被整除;求证:是一个偶数. 【证明】假设整数不是一个偶数,则是一个奇数;不妨设,可得,显然是一个奇数不能被整除,这与已知条件矛盾;所以假设不成立,故是一个偶数. 【点评】当一个命题的已知条件较少,且从已知出发直接推证结论而感觉理由不足或感到说理不清时,而采用反证法却能打破僵局;由假设出发,得出矛盾是归宿,并回到原结论上. 题型二、证否定型命题 这类命题结论是否定的,而结论的反面是肯定的,用反证法证明易得结果;如结论中要证某些事物或元素是“不是什么、不可能什么、不具有什么特性”等含有否定量词的命题. 例2.设数列是公比为的等比数列,是其前项和;求证:数列不是等比数列. 【证明】法1:假设数列是等比数列,则对成立;当时,有且,即,得,与事实矛盾;当时,由前项和公式,同理将的公式一起代入上面关系式中,注意,化简得,因公比,可得,与前提条件自相矛盾;综上可知假设不成立,故数列不是等比数列. 法2:假设数列是等比数列,则其前三项也成等比数列,有,即;因,可得,解得,这与公比矛盾;所以假设不成立,故原命题获证. 【点评】在结论中是以“没有什么”、“不是什么”、“不能什么”等形式出现的命题,若直接证法不容易入手,则反证法可以发挥它的效能,由假设出发并应用它推理得出矛盾是证明过程的关键所在;法1是按公比分类证明稍繁,法2是找特殊项证明更简,要讲策略. 题型三、证限定形式命题 有些结论中出现“至多、至少、不少于或不超过”等逻辑量词的命题,适合用反证法. 例3.若实数;求证三者中至少有一个不大于. 【证明】法1:假设结论不成立,即它们都大于;则由,且;得,,;将上述三式同时相乘得 ①;又因,则,由均值不等式得:, 这与①式矛盾;所以假设错误,故原命题成立. 法2:假设三者都大于,即,;则,,,相加得 ②;又因,则,同理,,将三式相加得,这与②式矛盾;所以假设错误,故原命题获证. 【点评】限定形式的命题是指结论中含有“至多、至少、不少于或不超过”等逻辑量词的命题.“至少有一个”的否定是“一个也没有(即不存在)”,这是解决问题的关键之处;另外这类问题的正面情况较多,而反面仅一种,故很适合用反证法,且矛盾寻找途径不止一种. 题型四、证唯一型命题 这类问题中结论的反面非唯一,至少有两者以上;通过反设来推出矛盾,由此否定不唯一而肯定唯一. 例4.当实数时,求证方程有且仅有一个实数解为. 【解析】先证存在性:由方程化简得,且,得出为方程的解.再证唯一性:假设方程至少存在两个解,不妨设其中的两个解分别,且;则有和成立,两式相减并整理得,因,则有 ①,而事实上,必有,这与①式矛盾;故假设不成立,从而知方程仅有一解;综上所述,原命题获证. 【点评】要证唯一型命题,需先证存在性,再证唯一性,而正面证唯一性有难度,常用反证法化难为易.所谓“唯一”就是“有且仅有(只有)一个”,其反面是“没有或至少有两个”;而“没有”本身与“存在”就是对立面,故只需再否定“至少有两个”就能肯定得到“唯一”. 题型五、证存在性命题 这类命题中结论所涉及的问题常常是开放性的,需要求解者经过深入的探究与严密的逻辑推理证明后才能作出正确判断;需关注“存在”就是“至少有一个”,反面为“没有一个”. 例5.已知数列的通项,问数列中是否存在三项成等比数列? 【解析】假设中存在三项(,且互不相等)成等比数列,则,化简得;若,则,两式消得,即,与矛盾;若,则为非零整数,于是为无理数,则也为无理数,但这与为整数矛盾;从而知假设错误,故数列中不存在三项成等比数列. 【点评】本题中得出矛盾是依据由而联系到无理数与整数的关系去发现的;归谬是反证法的关键举措,推出矛盾的证明过程不可能有固定模式,而是灵活多变的,但必须要以反设作为条件的出发点去推理,这是铁打不变的原则. 题型六、证正难则反命题 当论题从正面直接由条件推出结论不容易、有困难或不能得到证明,而由假定原命题结论的否定成立去推出矛盾比证明原命题更容易时,就需要运用反证法,即所谓“正难则反”. 例6.已知平面上有四个点,没有任意三点共线;求证:以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形. 【证明】假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形,设这四个点为;仅需考虑,当点在之内或之外两种情况即可.①若点在之内(如图1)时,由假设围绕点的三个角都是锐角,则它们之和小于,这与一个周角等于矛盾;②若点在之外(如图2)时,由假设都小于,这与四边形内角之和等于矛盾;综上所述,假设不成立,故原结论成立. 【点评】反证法常用来证明正面论证有困难,情况多或复杂的几何命题,再如立体几何里在证明两直线是异面直线、线面平行与面面平行的判定定理时都是采用反证法;这类问题由于已知条件及能够应用的公理、定理、性质和法则较少,或由题设条件可以推出的临时结论不多,因而想要直接证明结论的确很难,而改用反证法却能出奇制胜地使问题获解. 题型七、证结论反面言简意赅的命题 对于那些“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单的命题,特别适合用反证法来证;它不是直接证明命题结论正确,而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性. 例7.已知的三边的倒数成等差数列;求证:角. 【证明】假设角不成立,即;则边长中为最大边,从而知中是最小;于是,且,有,这与成等差数列矛盾;所以假设错误,故原命题成立. 【点评】反证法是一种从反面考虑问题的、既简单方便却又行之有效的证明方法,从其创立至今就一直被广泛应用;如数学史上两个有名的范例“素数有无数个”和“是无理数”,其证明方法也是反证法,它的优点是,即使不知道怎样直接证明,也能辨别该命题的真伪. 【总评】反证法是数学中一种非常重要的证明方法,牛顿说它是数学家最精当的武器之一.尽管如此,在解题或证明时,应该根据题目的特征来合理选择解题方法,方法的选择和使用要做到具体问题具体分析,不应千篇一律;的确有很多题都可以用反证法来证明或解决,但不是所有的题都要用反证法,可以用直接方法得出结论的就不需要用反证法;只有从正面推理不易得出结论或不能得出结论或结论的正面情况较多且复杂时,我们才应该想到要用反证法,并且反证法也不是万能的证题和解题工具. 【变式训练题】 1.若;求证都是正实数. 2.已知不全相等的非零实数成等差数列;求证不能成等差数列. 3.已知,;试证明中至少有一个不小于. 4.已知,求证关于的方程有且仅有一个根. 5.已知直线的方程为,是否存在这样的实数,使得与双曲线的交点关于直线(为常数)对称?若存在,求出值;若不存在,请说明理由. 6.已知为空间四个点,若直线与是两条异面直线;求证:直线与也是两条异面直线. 7.已知,且;求证. 变式训练题答案及解析 1.证明:因则;假设,由条件且得且,于是,这与矛盾;故假设错误,即成立;同理可证成立,从而得都是正实数. 2.证明:假设能成等差数列,则有 ①;又因成等差数列,则代入①式化简,得,即,进而得,这与不全相等矛盾;故假设错误,原命题成立. 3.假设三个均小于,即,则有;而 ,这与矛盾;所以假设不成立,故原命题获证. 4. 证明:因,由,得为方程的根.假设方程至少存在两个根,不妨设其中的两根分别,且;则有,两式相减得,因,可得,这与矛盾;故假设错误,得方程只有一根.综合知命题获证. 5.解析:假设存在实数,使得关于直线对称,则设 的中点;因点在曲线上,由点差法得,即得 ①,中点在和直线上,则 ②, ③;由①②得,显然(否则,与③不符),则,与矛盾;故假设错误,从而知不存在实数,使得关于直线对称. 6. 证明:假设直线与不是两条异面直线;可设与共面,则四点共面,于是直线,即得直线与是共面的,这与已知矛盾;所以假设不成立,从而知直线与也是两条异面直线. 7.证法1:假设,即有,则,于是有,即得,这与矛盾,故假设不成立,即成立. 证法2:假设,则,因代入上式并化简,得,而,由已知,则,由上式得,即,与事实矛盾;故假设不成立,即获证. 学科网(北京)股份有限公司 $