精品解析：湖南湘西土家族苗族自治州2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试卷

湘西自治州普通高中2025—2026学年高一期末质量检测 数学 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 注意事项： 1．答卷前．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 8 7. 在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点A，顺时针旋转角交单位圆于点．若点的横坐标为，且的面积为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，，． （1）当，且时，解关于x的不等式； （2）若，，，求的最小值． 17. 2025年某公司研发大模型“星云”，性能评分与训练时长（单位：百GPU小时）的关系为： 已知，且在处函数图象连续． （1）求常数与的值； （2）定义标准化训练效率为，求训练时长取何值时，“星云”效率最高． 18. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 19. 已知函数，，且恒成立，当时等号成立． （1）证明：，并说明取等号的条件； （2）证明：对任意正整数n，有； （3）已知满足，满足，比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘西自治州普通高中2025—2026学年高一期末质量检测 数学 （试卷满分：150分 考试用时：120分钟） 注意事项： 1．答卷前．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合,再利用集合交集运算计算. 【详解】已知，,即, 则. 故选：B 2. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由， 而推不出， “”是“充分不必要条件 3. 下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合三角函数的周期公式、偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以函数是奇函数，不符合题意； B：，因为的最小正周期为，不符合题意； C：令， 因为， 所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：， 显然该函数的最小正周期为， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意. 故选：D 4. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算对数及指数的大小结合函数的单调性判断即可. 【详解】因为，，， 则，所以 因为在上单调递增，所以. 又因为是定义在上的偶函数，所以，所以， 故选：C 5. 已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性，以及单调性，将不等式转化为，即可求解. 【详解】由于关于轴对称，故，所以的图像关于对称， 由于函数在上是增函数，则函数在上是减函数， 由可得， 所以，故，即，解得, 故选：A 6. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 7. 在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点A，顺时针旋转角交单位圆于点．若点的横坐标为，且的面积为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，利用三角形面积公式求出，进而求出，再利用差角的余弦求出即可得解. 【详解】由点的横坐标为，得，由于，则， 故， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以，则， 所以点的横坐标为． 故选：B． 8. 已知函数，若当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为时，，考虑的单调性，结合分类讨论即可求解. 【详解】当时，，则时，， 即时，， 由于在上单调递增，， 若则在上恒成立，故需满足，解得， 若，则在上恒成立，故需满足，解得， 若则需满足且，解得， 综上可得，故或， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式性质计算判断A，B，特殊值法判断C，D. 【详解】因为，，则， 则，，A选项正确，B选项正确； 当时，，C选项错误； 当时，，D选项错误； 故选：AB. 10. 若，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用基本不等式；B 根据以及A选项判断；C利用1的妙用；D令，将问题转化为求的最值，再结合1的妙用可求. 【详解】由题意可得，， 则，则，等号成立时，，故A正确； ，等号成立时，， 故B正确； ， 等号成立时，故C错误； 令，则可变为， 则， 因为， 等号成立时，， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示， 对于A，由，得， 令，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以函数有3个零点，所以A正确， 对于B，当时，，即，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误， 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确， 对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】##1.2 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系化简，再结合求解. 【详解】由， 可得 即, 故答案为：. 13. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性、对数真数大于零求出a的取值范围即可． 【详解】是由外层函数和内层函数复合而成， 内层函数，其中，所以内层函数是一个单调递减的一次函数， 结合题意可知，外层函数必须是单调递增的，所以， 根据对数真数性质，在区间上，恒成立， 由于单调递减，所以在区间上， ，解得， 综上所述，，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为A，B，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可. 【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设，且， 即为等腰三角形，，且， 取AC的中点M，连接BM， 则，， 由，得， 得，得，得， 则， 即A点纵坐标为1，，， 因为，所以，解得， 即，解得，所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式求出集合，再根据交集、并集、补集定义计算即可. （2）根据得到集合是的子集，分和两种情况计算即可. 【小问1详解】 由题，则. 当时，. 所以，. 【小问2详解】 由（1），若， 当时，，解得，此时若，满足条件； 当时，因为， 所以，解得. 综上，实数a的取值范围为或. 16. 已知函数，，． （1）当，且时，解关于x的不等式； （2）若，，，求的最小值． 【答案】（1） ，无解， ，解为， ，解为， （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论，结合二次不等式的解的特征，即可得解， （2）由条件得到，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，， 由于，令，则，解得和， 若，则，此时无解， 若，则，此时的解为， 若，则，此时的解为， 【小问2详解】 由可得，即，进而， 由于，，故，当且仅当时取到等号， 故，解得或， 由于，，故，因此 ， 故的最小值为 17. 2025年某公司研发大模型“星云”，性能评分与训练时长（单位：百GPU小时）的关系为： 已知，且在处函数图象连续． （1）求常数与的值； （2）定义标准化训练效率为，求训练时长取何值时，“星云”效率最高． 【答案】（1）15.5；445 （2）当（百GPU小时）时，“星云”效率最高. 【解析】 【分析】（1）根据及在处函数图象连续列方程组求解即可. （2）结合基本不等式及二次函数性质求出各段函数的最大值，再比较大小即可. 【小问1详解】 由，得. 因为分段函数在处图象连续， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 当时， ，当且仅当，即时取等号. 当时，. 令，则，解析式化为， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，即在上单调递减. 故当时，. 综上，当（百GPU小时）时，“星云”效率最高. 18. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值． 【答案】（1）. （2）. （3）（或112.5）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和公式、二倍角公式，把复杂的三角表达式化为 的标准形式，再将 代入 的单调递增区间，解不等式得到 的范围即可； （2）先把 和 代入化简成关于 的表达式，再利用整体换元法分离参数，最后运用函数的单调性，求出最大值，即可得到 的取值范围. （3）先把 化简成标准的正弦函数 ，再利用换元法把关于 的问题转化为关于 的标准正弦方程问题，并确定根的个数，利用对称性找根的关系，最后拆分目标式，代入对称关系求和，并代到 求出最终结果即可. 【小问1详解】 ，令 解得 故单调递增区间为 . 【小问2详解】 因为， ， 又因为已知 对 恒成立， 所以，故， 令，当时，， 不等式变为：，所以， 因为，所以 ， 即，在该区间单调递减， 故最大值在时取得： 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 令因为方程 ，所以 ， 令 ，所以，即，即 因为 在一个周期 内有2个解，记为，满足 ， 所以在 （4个周期）内，共8个解： ， 则， ， 所以 ∴ 最终的值为 . 19. 已知函数，，且恒成立，当时等号成立． （1）证明：，并说明取等号的条件； （2）证明：对任意正整数n，有； （3）已知满足，满足，比较与的大小． 【答案】（1） 由题可知恒成立，所以利用替换得， 当时，两边同时取对数得，当时取等号， 故，当等号成立． （2） 由（1）知，当且仅当时等号成立， 令，则， 所以，得证． （3） 【解析】 【分析】（1）由恒成立，得到，两边同时取对数得即可证明； （2）由，令，则，两侧分别令累加，再利用对数的运算即可证明； （3）先根据条件化简得到和，构造函数，得到再化简得到，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，所以， 又因为，，所以，即， 令，则， 又因为为增函数，故，即， 代入得到，又因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $