精品解析：四川省广元市2025-2026学年高二年级秋季普通高中期末教学质量监测数学试题

2025年秋季普通高中二年级期末教学质量监测 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上． 3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 6.考试结束后，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 5. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（为坐标原点）的面积是（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6. 已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆上一点，直线与轴交于点，为线段的中点，且（其中为坐标原点），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ） A 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. C. 的最小值为 D. 到双曲线渐近线的距离为 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个绿球，从袋中不放回地随机摸出2个球．记事件“摸出的两个球都是红球”，“摸出的两个球都是绿球”，“摸出的两个球颜色相同”，“摸出的两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（ ） A. 为对立事件 B. 与相互独立 C. D. 11. 如图，平面四边形是由两个直角三角形拼接而成，，．现在将沿进行翻折，使得平面平面，连接，得到三棱锥．若分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 不共面 D. 三棱锥外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则______． 13. 用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？______（填“公平”或“不公平”）． 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．如图2所示，若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，反射光线分别是，且，，三点共线，则的渐近线方程为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和，． （1）求最小值和数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 16. 如图，有一枚质地均匀的正方体骰子，抛掷这枚正方体骰子一次，观察它落地时朝上的面的点数，得到样本空间为．记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”． （1）请写出该试验的样本空间； （2）判断是否成立，并说明理由； （3）连续抛掷2次这个骰子，记事件为第次抛掷这个骰子，事件发生．求连续抛掷2次这个骰子，事件恰好发生1次的概率． 17. 已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． （1）当弦被点平分时，求直线的方程和的值； （2）若，求直线的方程． 18. 如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若线段上存在点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． （1）求曲线的方程，并说明曲线的形状； （2）设曲线与轴一个交点为，过点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点、点（、异于点）． ①直线是否过定点，若过，请证明并求出定点坐标，若不过请说明理由； ②过点作直线的垂线，垂足为．证明存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季普通高中二年级期末教学质量监测 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，务必将自己的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上． 3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 6.考试结束后，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出它的一个方向向量即可判断. 【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量为， 而选项ABC中向量与向量不共线，选项D中向量与向量共线. 故选：D 2. 数列的一个通项公式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 3. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据一般式方程的形式，结合两直线平行的条件，列式求解. 【详解】若直线，则，解得：. 所以“”是“直线的充分必要条件. 故选：C 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案. 【详解】因为事件和相互独立，, 故， 所以. 故选：A. 5. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（为坐标原点）的面积是（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点在抛物线上得出，进而得出焦点，最后计算面积求解. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即， 则抛物线的焦点为， 则的面积是. 故选：C. 6. 已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】圆关于直线对称，说明圆心在该直线上，求出圆的圆心和半径，根据圆的半径与圆心距的关系判断选项. 【详解】由圆得，，圆心，半径， 圆关于直线对称，说明圆心在该直线上， 所以，，解得，故，. 由得，圆心，半径，， ，， 所以，所以两圆外切. 故选：C 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆上一点，直线与轴交于点，为线段的中点，且（其中为坐标原点），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用中位线得出点的坐标，根据点在椭圆上计算得出，最后结合计算求解. 【详解】因为是椭圆上一点，为线段的中点，O是的中点， 所以，， 设，由为中点且在轴上，可得点横坐标， 由可得点纵坐标， 故可取，所以，所以， 所以. 故选：B. 8. 如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可得过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，结合台体的体积公式分析运算. 【详解】如图，连接，， ∵E，F分别为棱BC，的中点，则， 又∵，且，则为平行四边形， ∴， 可得， 故则过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为． 设正方体的棱长为2，则， 可得正方体的体积， 三棱台的体积， 故分成的上、下两部分几何体的体积比为． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. C. 的最小值为 D. 到双曲线渐近线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的离心率判断A选项；利用双曲线的定义判断B选项；当点为双曲线右支顶点时取得最小值判断C选项；利用点到直线的距离判断D选项. 【详解】已知双曲线，则， ，故， 则，，离心率，A选项正确； 由双曲线定义：，又点在双曲线右支上， 故，B选项正确； 当点为双曲线右支顶点时取得最小值， 此时点坐标为，则，C选项错误； 取靠近双曲线右支的渐近线方程，化为一般式， 则点到双曲线渐近线的距离，D选项正确. 故选：ABD 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个绿球，从袋中不放回地随机摸出2个球．记事件“摸出的两个球都是红球”，“摸出的两个球都是绿球”，“摸出的两个球颜色相同”，“摸出的两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（ ） A. 为对立事件 B. 与相互独立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对立事件定义判断A，求出， ，再利用独立事件定义判断B，利用互斥事件的性质求得判断C，求出判断D. 【详解】M（颜色相同）与 N（颜色不同）互斥，且所有摸球结果必属于其中一个，因此是对立事件，故A 正确； 从 4 个球中不放回摸 2 个，总样本数为，，， 所以，因为，所以， 所以，所以与不独立，故B错误； 因为R 与 G 互斥，所以，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，平面四边形是由两个直角三角形拼接而成，，．现在将沿进行翻折，使得平面平面，连接，得到三棱锥．若分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 不共面 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理可得平面，由线面垂直的性质定理可得，再根据面面垂直的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，由异面直线所成角向量法计算可判断B；由可判断C；由且均为直角三角形，得点为三棱锥外接球的球心，求得半径计算即可求解. 【详解】对于A，平面平面，交线为，，平面，所以平面， 因为平面，所以.又，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，以为原点，过在平面内作的垂线为轴，直线为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， ，故B正确； 对于C，， 因为， 即，所以共面，故C错误； 对于D，由A可知，，， 所以与都是直角三角形，且， 因为点是的中点，所以点到A，B，C，D的距离相等， 即为三棱锥外接球的球心， 故球半径为，则三棱锥外接球表面积为，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据累加法求数列的通项公式即可. 【详解】由， 得， 以上各式相加，得，又， 所以，所以. 故答案为： 13. 用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？______（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【解析】 【分析】列举出抛掷两枚硬币的所有可能结果，并分别求出甲胜和乙胜的概率，通过比较两个数值的大小，即可得解. 【详解】抛掷两枚硬币，共有正正，正反，反正，反反共4种结果. 甲胜的情况是正正，反反共2种情况，所以甲胜的概率为； 乙胜的情况是正反，反正共2种情况，所以乙胜的概率为. 因为甲胜和乙胜的概率，所以这个游戏是公平的. 故答案为：公平 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．如图2所示，若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，反射光线分别是，且，，三点共线，则的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，化简得到,设利用双曲线定义化简得到，所以， ，利用勾股定理化简得到即，化简得到，所以双曲线的渐近线为. 【详解】如图，由，可得，所以, 因为，所以在直角三角形中, 设 由双曲线的定义得到，即， 又因为， 所以，即 所以， ， 在直角三角形中，， 即，即，得到 所以双曲线的渐近线为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和，． （1）求的最小值和数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）因为是一个开口向上的二次函数，利用二次函数的性质得到取得最小值为，利用与的关系即可求得. （2）化简得到，所以数列是首项为4、公比为 4的等比数列，利用等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当时，取得最小值， 当时，， 当时，， 验证时，，满足 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得到，所以， 所以 所以数列是首项为4、公比为 4的等比数列， 所以. 16. 如图，有一枚质地均匀的正方体骰子，抛掷这枚正方体骰子一次，观察它落地时朝上的面的点数，得到样本空间为．记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”． （1）请写出该试验的样本空间； （2）判断是否成立，并说明理由； （3）连续抛掷2次这个骰子，记事件为第次抛掷这个骰子，事件发生．求连续抛掷2次这个骰子，事件恰好发生1次的概率． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）抛掷这枚正方体骰子共6个结果，试验的样本空间直接写出即可. （2）分别计算出 与的值证明即可. （3）连续抛掷 2 次，恰好发生 1 次，分为两种情况求解即可. 【小问1详解】 试验样本空间为. 【小问2详解】 成立，理由如下： 事件“得到的点数为偶数” ，则； 事件“得到点数不大于4” ，则； 事件“得到的点数为质数” ，则； 则 事件，则 所以. 【小问3详解】 事件，则，， 连续抛掷 2 次，恰好发生 1 次的概率为： . 17. 已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． （1）当弦被点平分时，求直线的方程和的值； （2）若，求直线的方程． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，由垂径定理得直线的斜率为1，故，从而得到，并求出直线的方程； （2）分和两种情况，由垂径定理可得弦长，结合三角形面积得到方程，求出答案. 【小问1详解】 ，故圆心为，半径为4， 故， 当弦被点平分时，由垂径定理得直线的斜率为1，故， 所以，所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 当时，中， 令得，，解得，故， 又到直线的距离为2，故，满足要求； 当时，设直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 又，，故， 解得或， 当时，，解得，直线方程为； 当时，，变形得到，方程无解， 综上，直线方程为或. 18. 如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若线段上存在点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； （2）由（1）得到，求得平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到，由点到平面的距离，列出方程求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点H为原点，以所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 解：由（1）中的空间直角坐标系，可得向量， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：设（其中），可得， 则点到平面的距离，即， 解得，所以， 设直线与平面所成角为，则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）． （1）求曲线的方程，并说明曲线的形状； （2）设曲线与轴的一个交点为，过点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点、点（、异于点）． ①直线是否过定点，若过，请证明并求出定点的坐标，若不过请说明理由； ②过点作直线的垂线，垂足为．证明存在定点，使得为定值． 【答案】（1），形状为椭圆. （2）①，②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）所以设点的坐标为，则 ，将点代入圆的方程化简即可求解； （2）设直线为，联立方程由韦达定理得到：，因为，所以，化简得到，因此直线 AB的方程为 ，恒过定点. ②根据直线AB恒过定点，结合，可得点 G 的轨迹是以 EF 为直径的圆，恒等于半径. 【小问1详解】 设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点， 因为点在圆上，所以，即 所以曲线的方程为，形状为椭圆. 【小问2详解】 ①由（1）知点，设直线为，. 联立方程，得到， 由韦达定理：； 因为，所以，， 因为， 所以， 即， 即 化简得到. 因为A，B 异于，所以，故， 因此直线 AB的方程为 ，恒过定点. ②已知直线AB恒过定点， 因为，所以，点 G 的轨迹是以 EF 为直径的圆， 则 EF 的中点为，圆的半径为. 因此，对圆上任意一点 G，恒等于半径，即存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $