专题二 8.力学三大观点的综合应用 讲义 -2026届高考物理二轮复习

专题二能量和动量 8.力学三大观点的综合应用 高考真题 1.（2025·湖南·高考真题）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为m的机器人抛至悬崖上的A点，图为山体截面与表演装置示意图。a、b为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为M的滑杆。滑杆用长度为L的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从B点以初速度v竖直向下运动，B点位于轨道平面上，且在A点正下方，。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，，重力加速度大小为g。 (1)若滑杆固定，，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小； (2)若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v的大小； (3)若滑杆能沿轨道自由滑动，，且，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v与k的关系式及v的最小值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由B点到最低点过程动能定理有 最低点牛顿第二定律可得 联立可得 （2）轻绳运动到左上方与水平方向夹角为时由能量守恒可得 水平方向 竖直方向取向上为正可得 联立可得 （3）当机器人运动到滑杆左上方且与水平方向夹角为时计为点C，由能量守恒可得 设的水平速度和竖直速度分别为，则有 则水平方向动量守恒可得 水平方向满足人船模型可得 此时机器人相对滑杆做圆周运动，因此有速度关系为 水平方向 竖直方向 联立可得 即 显然当时取得最小，此时 2. （2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为。 （2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 （3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞次后速度大小为 则玻璃球碰撞次后最终动能大小 核心突破 突破1. 力学中的多运动组合问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 力学三大观点对比 力学三 大观点 对应规律 表达式 选用 原则 动力学 观点 牛顿第二定律 F合=ma 物体做匀变速直线运动，涉及运动细节 匀变速直线运动规律 v=v0+at x=v0t+at2 v2-=2ax等 能量 观点 动能定理 W合=ΔEk 涉及做功与能量转换 机械能守恒定律 Ek1+Ep1 =Ek2+Ep2 功能关系 WG=-ΔEp等 能量守恒定律 E1=E2 动量 观点 动量定理 I合=p'-p 只涉及初末速度、力、时间，而不涉及位移、功 动量守恒 定律 p1+p2 =p1'+p2' 只涉及初末速度，而不涉及力、时间 例题1. 倾角足够长的光滑斜面固定在水平地面上，一挡板垂直固定在斜面上，一轻质弹簧下端固定在挡板上、上端与质量为的物块相连，弹簧中心轴线与斜面平行；质量为的物块紧挨着物块放置在斜面上，与之间不粘连，和静止在弹簧上，此时弹簧的压缩量。现对物块施加平行斜面向上的拉力，使和一起沿着斜面向上做匀加速直线运动直至物块和分离，加速度大小为。已知重力加速度，，。求： (1)轻质弹簧的劲度系数； (2)物块和从开始运动到刚要分离时运动的时间。 【答案】(1)100N/m (2)0.2s 【详解】（1）开始时由平衡可知 解得k=100N/m （2）当AB将要分离时，则两者间的弹力为零，此时对A， 解得x1=0.1m 则根据 解得t=0.2s 例题2. 如图所示，倾角的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个半径和质量均不计的光滑定滑轮D，质量均为的物块A和B用一劲度系数的轻弹簧连接，物块B被挡板P挡住，挡板P固定于斜面底端且垂直于斜面。用一不可伸长的轻绳使物块A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，小环C位于Q处，绳与细杆间的夹角，且物块B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行，现让小环C从位置R由静止释放，之后绳子一直处于绷紧状态，，，重力加速度g取。求： （1）小环C的质量M； （2）小环C运动到位置Q的速率； （3）小环C从位置R运动到位置S的过程中轻绳对小环C做的功W。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对物块A、B和弹簧组成的系统，由平衡条件得 对小环C在Q点，由平衡条件得 联立解得 （2）小环C从位置R运动到位置Q的过程中，对于小环C、弹簧和物块A组成的系统，由机械能守恒定律得 又 联立解得 （3）开始释放小环C时，物块B对挡板P的压力恰好为零，此时对物块B，由平衡条件有 解得此时弹簧的伸长量 当小环C通过位置S时，A下降的距离 则此时弹簧的压缩量 则小环C从位置R运动到位置S的过程中，初、末态的弹性势能相等；当小环C通过位置S时，分解小环C的速度可知此时物体A的速度为零，对小环C、弹簧和A组成的系统，由机械能守恒定律得 对小环C从位置R运动到位置S的过程，由动能定理得 联立解得 突破2. 板块模型的综合分析 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.用动力学观点解决板块模型问题的思路 2.滑块和木板组成的系统所受的合外力为零时，优先选用动量守恒定律解题；若地面不光滑或受其他外力时，需选用动力学观点解题。 3.应注意区分滑块、木板各自相对地面的位移和它们的相对位移。用运动学公式或动能定理列式时位移指相对地面的位移，求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)。 例题3. 一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 （1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小； （2）若μ2=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能； （3）若μ2=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。 【答案】（1）5m/s；（2）0.625J；（3）6m/s 【详解】（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时 从滑块离开弹簧到C过程，根据动能定理 解得 （2）平板加速至与滑块共速过程，根据动量守恒 根能量守恒 解得 （3）若μ2=0.1，平板与滑块相互作用过程中，加速度分别为 共速后，共同加速度大小为 考虑滑块可能一直减速直到H，也可能先与木板共速然后共同减速； 假设先与木板共速然后共同减速，则共速过程 共速过程，滑块、木板位移分别为 共速时，相对位移应为 解得 ， 随后共同减速 到达H速度 说明可以到达H，因此假设成立，若滑块初速度再增大，则会从木板右侧掉落。 例题4. 如图所示，有一固定的光滑圆弧轨道，半径，一质量为的小滑块B从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知，B、C间动摩擦因数，C与地面间的动摩擦因数，C右端有一个挡板，C长为。 求： （1）滑到的底端时对的压力是多大？ （2）若未与右端挡板碰撞，当与地面保持相对静止时，间因摩擦产生的热量是多少？ （3）在时，B与C右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求从滑上到最终停止所用的时间。    【答案】（1）30N；（2）1.6J；（3） 【详解】（1）滑块下滑到轨道底部，有 解得 在底部，根据牛顿第二定律 解得 由牛顿第三定律可知B对A的压力是。 （2）当B滑上C后，对B分析，受摩擦力向左，根据牛顿第二定律得 解得加速度向左为 对C分析，受B向右的摩擦力和地面向左的摩擦力 根据牛顿第二定律 解得其加速度向左为 由运动学位移与速度关系公式，得B向右运动的距离 C向右运动距离 由功能关系可知，B、C间摩擦产生的热量 可得 （3）由上问可知，若B还末与C上挡板碰撞，C先停下，用时为，有 解得 B的位移为 则此刻的相对位移为 此时 由，一定是C停下之后，B才与C上挡板碰撞。设再经时间B与C挡板碰撞，有 解得 碰撞时B速度为 碰撞时由动量守恒可得 解得碰撞后B、C速度为 之后二者一起减速，根据牛顿第二定律得 后再经后停下，则有 故从滑上到最终停止所用的时间总时间 突破3. 数学归纳法解决多次碰撞问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 当两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞时，因碰撞次数较多，过程复杂，在求解多次碰撞问题时，通常可用到以下两种方法： 数学 归纳法 先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺，分析透彻，根据前几次数据，利用数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应规律或结果，通常会出现等差、等比数列，然后可以利用数学数列求和公式计算全程的路程等数据 图像法 通过分析前几次碰撞情况，画出物体对应的v-t图像，通过图像可使运动过程清晰明了，并且可通过图像与t轴所围面积求出物体的位移 例题5. 如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。 （1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小； （2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。 （3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0<e<1） ，求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间小球B通过的路程。 【答案】（1），；（2）或； （3） 【详解】（1）有题意可知A、B系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量守恒有 可得 碰撞后根据牛顿第二定律有 可得 （2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有 联立解得 ， 因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图 ①若第二次碰撞发生在图中的b点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为，则有 联立解得 由于两质量均为正数，故k1=0，即 对第二次碰撞，设A、B碰撞后的速度大小分别为，，则同样有 联立解得，，故第三次碰撞发生在b点、第四次碰撞发生在c点，以此类推，满足题意。 ②若第二次碰撞发生在图中的c点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为；所以 联立可得 因为两质量均为正数，故k2=0，即 根据①的分析可证，，满足题意。 综上可知 或。 （3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为，第一次碰后与第二次相碰前B球比A球多运动一圈，即B球相对A球运动一圈，有 第一次碰撞动量守恒有 且 联立解得 B球运动的路程 第二次碰撞的相对速度大小为 第二次碰撞有 且 联立可得 所以B球运动的路程 一共碰了2n次，有 例题6. 如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为。一质量为的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求 （1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小； （2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离； （3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。    【答案】（1）小球速度大小，圆盘速度大小；（2）l；（3）4 【详解】（1）过程1：小球释放后自由下落，下降，根据机械能守恒定律 解得 过程2：小球以与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律分别有 解得 即小球碰后速度大小，方向竖直向上，圆盘速度大小为，方向竖直向下； （2）第一次碰后，小球做竖直上抛运动，圆盘摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度比小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，即 解得 根据运动学公式得最大距离为 （3）第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，则有 即 解得 此时小球的速度 圆盘的速度仍为，这段时间内圆盘下降的位移 之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒 根据能量守恒 联立解得 同理可得当位移相等时 解得 圆盘向下运动 此时圆盘距下端管口13l，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度 有动量守恒 机械能守恒 得碰后小球速度为 圆盘速度 当二者即将四次碰撞时 x盘3= x球3 即 得 在这段时间内，圆盘向下移动 此时圆盘距离下端管口长度为 20l－1l－2l－4l－6l = 7l 此时可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，下降距离逐次增加2l，故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动 x盘4= 8l 则第四次碰撞后落出管口外，因此圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为4次。 突破4. 动力学规律的选用原则 (1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律。 (2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。 (3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。 (4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即系统内能的增加量。 (5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化，作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决。 例题7. 某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块 ①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m 【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有 第一次经过C点的向心加速度大小为 ②小物块a在DE上时，因为 所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为s，根据功能关系有 解得 ③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为 将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有 解得 （2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有 解得 设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 例题8. 如图，质量m1= 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。    【答案】（1）1m/s；0.125m；（2）0.25m；；（3） 【详解】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有 m2v0= (m1＋m2)v1 代入数据有 v1= 1m/s 对m1受力分析有 则木板运动前右端距弹簧左端的距离有 v12= 2a1x1 代入数据解得 x1= 0.125m （2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有 kx = (m1＋m2)a共 对m2有 a2= μg = 1m/s2 当a共 = a2时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量 x2= 0.25m 对m1、m2组成的系统列动能定理有 代入数据有      （3）木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的加速度大于木块m2的加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，则说明此时m1的速度大小为v2，共用时2t0，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有 －μm2g∙2t0= m2v3－m2v2 解得 则对于m1、m2组成的系统有 U = Wf 联立有 素养提升 数列法在动力学中的应用 凡涉及数列的物理问题具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程并不完全重复，而是有一定的变化，利用某些物理量前后变化的联系，找出变化规律。 该问题的解题思路： (1)逐个分析开始的几个物理过程； (2)利用归纳法从中找出物理变化的通项公式； (3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。 实战演练 1．如图所示，同一水平面上紧邻着足够长的传送带和染料平台，传送带动摩擦因数，以速度匀速运行，染料平台总长并视为光滑。现在距染料平台左端处无初速放置一物块（视为质点），物块经过传送带和染料平台接头处速度大小方向不变，滑上染料平台后物块下表面会被染上颜色。物块运动到右侧尽头处与固定挡板碰撞，速度反向，大小不变，物块再次滑上传送带后会给传送带染上颜色。取，求： (1)物块刚放上传送带上的加速度大小a； (2)物块从释放至开始对传送带染色所用时间t； (3)传送带首次被染色的长度。 【答案】(1) (2)18.8s (3)12.8m 【详解】（1）物块刚放上传送带上时由牛顿第二定律有 故加速度大小为 （2）物块先经和传送带共速 此时间内的位移大小为 物块接着和传送带一起匀速运动到染料平台左端用时 染料视为光滑，不计物块与挡板碰撞时间，物块在染料平台上匀速运动一个来回用时 物块从释放至开始对传送带染色所用时间 （3）取向左为正方向，物块先向左做匀减速，后向右做匀加速 ，加速度大小都为,作出物块和传送带的图如下 ，易知两段时间都相等等于 故共经和传送带共速，不再给传送带染色 传送带首次被染色的长度为两者的相对位移即图中阴影部分的面积为 2．如图甲所示，打印机的送纸系统由搓纸轮A、送纸轮B和分纸轮C构成，当按下打印按钮后，A迅速下降到与纸盒中最上面一张纸相接触，通过摩擦将纸张送到B、C之间，然后迅速提升高度离开纸堆，B、C又通过摩擦将纸张输送到下一送纸单元。已知A、B、C与纸张之间的动摩擦因数均为，纸张之间的动摩擦因数均为，A、B、C与纸张接触时对纸张的压力大小均为，每张纸的质量均为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小为。 (1)A搓动最上面的一张纸时，纸的加速度大小是多少； (2)如图乙所示，当只有一张纸送到B、C之间时，B、C立即以相同大小的速度分别逆时针、顺时针转动。已知纸张送到B、C之间时的速度为，不计纸张的重力和其他阻力，纸张会在B、C后达到最大速度。求纸张在此加速过程中运动位移的大小； (3)如图丙所示，若因纸张之间的接触面粗糙程度异常，导致某次有两张纸1、2同时被送到B和C之间，此时B、C立即以相同大小的速度逆时针转动。已知1、2之间的动摩擦因数变为了，纸张1、2被送到B、C之间时的速度仍为，不计纸张的重力和其他阻力，当纸张2离开B、C之间时，纸张1仍在B、C之间，求此过程中纸张1位移的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A搓动最上面的一张纸时，对纸进行分析，根据牛顿第二定律有 解得 （2）对纸进行分析，根据牛顿第二定律有 解得 纸加速至最大速度后匀速运动，根据速度与位移的关系有 解得 （3）由于B、C均在逆时针转动，则B对纸张1的摩擦力方向向右，C对纸张2的摩擦力方向向左，纸张1开始向右做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 根据题意，纸张2先向右做匀减速直线运动，之后向左做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 可知，纸张2从进入到离开过程，纸张2做双向匀变速直线运动，根据对称性有 解得 纸张1开始向右做匀加速直线运动，当其加速至过程，根据速度公式有 解得 该时间内纸张1的位移 解得 之后纸张1向右做匀速直线运动，则有 解得纸张1总位移的大小 3．如题图所示，8个完全相同的水平木板一个紧挨一个（但不粘连）静置于足够长的水平地面上。每个木板的质量、长度，木板与水平地面间的动摩擦因数。第1个木板左端有一质量且可视为质点的物块，物块与木板间的动摩擦因数。现给该物块一水平向右、大小的初速度，使其在木板上滑行。取各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，不计空气阻力，忽略各木板连接处对物块运动的影响。 (1)求木板刚开始运动时，物块的速度大小。 (2)分析说明物块最终处于哪个木板上，并求出物块在最后那个木板上运动直到停止的时间。 (3)求物块从开始运动到最终停止的位移大小（保留两位有效数字）。 【答案】(1) (2)物块最终处于“8”号木板上； (3) 【详解】（1）对木板进行受力分析可知，地面对木板的最大静摩擦力 当时，即时，木板开始运动；因此当物块滑上“7”时，木板才会开始运动，设此时物块的速度大小为，物块在木板上匀减速的加速度大小 由 解得 （2）物块在“7”上滑行时，“7”和“8”的加速度大小 假设物块能滑出“7”，物块在“7”上运动的时间为，则由 解得或（舍去） 因此物块滑出“7”时的速度大小 此时，“7”和“8”的速度大小 由可知，假设成立，即物块会滑上“8”； 物块在“8”上滑行时，“8”的加速度大小 设历时物块与“8”共速，则 解得：， 物块在“8”上相对“8”运动的位移 解得 共速后，若物块与“8”一起匀减速运动，则加速度大小 由且，可知物块最终处于“8”号木板上 物块和“8”从共速到一起减速至停止，历时 因此物块在“8”上运动直到停止的时间 （3）物块从开始运动到与“8”共速的位移 解得 从共速到停止运动，物块的位移 解得 因此整个过程中，物块的位移大小 4．如图所示，一个质量为，可视为质点的小球1从点静止摆下，摆到最低点点时，恰好未与地面接触，并与放在点的小球2发生弹性碰撞，可视为质点的小球2的质量，碰撞后，小球2进入光滑的水平面后向右运动到点进入一竖直放置的光滑圆弧形轨道，水平面与圆弧轨道在点平滑连接，小球2在点进入圆弧轨道时无机械能损失。已知摆线长，小球1在点时摆线与竖直方向的夹角，取，，，求： (1)求小球1摆到最低点点（碰撞前的瞬间），摆线的拉力大小； (2)求两球碰撞后小球2的速度大小； (3)其他条件不变，仅在光滑圆弧轨道所处空间内加一个水平向右的匀强电场，若电场强度，碰后小球2的电荷量，要使小球2能够做完整的圆周运动，求圆弧轨道半径的取值范围。 【答案】(1) (2)4m/s (3) 【详解】（1）小球从A点到B点的过程，由动能定理得 解得 在B点，由牛顿第二定律得 解得T=20N （2）AB碰撞由动量守恒和能量关系可知 解得 （3）小球在匀强电场中受到的电场力F=Eq=1.5×106×1.0×10-5N=15N 则小球在该复合场中的等效重力，方向与竖直方向呈37°向左下。 小球在该等效重力场中，要完成完整的圆周运动，到达等效最高点的速度至少等于v，则 小球从C点进入的速度不变，运动到等效最高点的过程，由动能定理得 联立可得。 5．一游戏装置竖直截面如图所示。固定在水平直轨道A的弹射器、长的传送带BC、水平直轨道CD组成一个高台。高台下方有一质量的小车静止在光滑水平面上，小车上表面是以O为圆心，圆心角的弧形槽，O与G等高，F为圆弧最低点。某次游戏时，弹射器弹簧的弹性势能，质量的小物块从静止弹出，经D点水平飞出后恰好从E点无碰撞进入小车，经过最低点时小车对小物块的弹力。已知传送带以速度顺时针匀速转动，小物块与传送带之间的动摩擦因数，其余轨道均光滑。小物块可视为质点，经过各轨道衔接处和弹射过程的机械能损失忽略不计。，，取重力加速度。求小物块 (1)经过A点时的速度大小； (2)通过传送带摩擦所产生的热量Q； (3)弧形槽的半径R。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据能量守恒定律有 解得经过A点时的速度大小 （2）传送带以速度顺时针匀速转动，根据牛顿第二定律有 小物块与传送带共速时有 解得 减速时间 传送带运动位移 共速后二者相对静止，可知小物块相对皮带运动位移 因摩擦产生的热量 （3）小物块平抛的初速度为，小物块恰好从点无碰撞进入小车，根据平抛运动可知 小物块与小车水平方向动量守恒，有 小物块经过最低点时，根据牛顿第二定律有 小物块与小车组成的系统能量守恒 联立方程可得弧形槽半径 6．如图，绝缘轨道由粗糙水平轨道和光滑竖直半圆轨道组成，两部分轨道平滑连接于C点，半圆轨道的圆心为O、半径，水平轨道上方存在一个方向水平向右、电场强度大小随时间变化的电场区域（不考虑变化的电场产生的磁场）。一根轻弹簧左端拴接在A处的竖直墙面上，右端与质量、电荷量的带电小物块接触（不连接），弹簧处于原长时物块位于B点。让物块向左压缩弹簧使弹簧的弹性势能为时，物块向左移动了，然后自由释放物块，物块进入水平电场并开始计时，电场强度大小与时间的函数表达式为，物块进入半圆轨道后，在D点对半圆轨道的压力恰好为零，此时OD与竖直方向的夹角。物块可视为点电荷，物块与水平轨道间的动摩擦因数，不计空气阻力，g取。求： (1)物块进入半圆轨道时的速度大小v； (2)物块刚进入电场时的速度； (3)物块在电场中的运动时间t。 【答案】(1)5m/s (2)1m/s (3)2s 【详解】（1）在半圆轨道的D点，物块对半圆轨道的压力为零，根据牛顿第二定律有 物块从C到D的过程，根据机械能守恒定律有 解得物块进入半圆轨道时的速度大小 （2）物块从释放到运动到B的过程，根据能量守恒定律有 解得物块刚进入电场时的速度 （3）方法一：对物块在电场中运动的过程，根据动量定理有 画出电场随时间变化的图像如图所示 则 联立并代入数据得关于t的函数表达式为 解得物块在电场中的运动时间（舍去） 方法二：物块进入电场后，以向右为正方向，根据牛顿第二定律有 将和已知数据代入⑥式得关于a的函数表达式为 作出图像如图所示 根据图像中图线与t轴所围图形的面积表示速度的变化量（t轴上方的面积表示速度的增加量，下方的面积表示速度的减小量），可知图中阴影部分的面积即为物块在电场中的速度变化量，则有 解得物块在电场中的运动时间（舍去） 7．游乐场的水上乐园有一个“滑梯冲浪”项目。如图，游客从高h=3.5m的弧形滑梯顶端由静止滑下，滑梯底部水平连接一个水池，水池中并排静止漂浮着两块质量均为M=100kg、长度均为L=11m的浮板A和B（紧靠但不粘连）。质量m=50kg的游客（可视为质点）从滑梯上滑下后，以水平速度v0=8m/s滑上浮板A，并以水平速度v1=4m/s滑离浮板A，已知游客与两浮板间的动摩擦因数相同，浮板与水面间阻力可忽略不计，重力加速度g取10m/s2。求： (1)游客在弧形滑梯上克服阻力所做的功； (2)游客与浮板间的动摩擦因数； (3)游客是否会滑离浮板B，请说明理由。 【答案】(1)150J (2)0.2 (3)游客没有滑离浮板，见解析 【详解】（1）游客从滑梯顶端滑下，根据动能定理有 解得 （2）游客从滑上浮板A到离开浮板A，根据动量守恒和能量守恒有， 解得μ=0.2 （3）设游客最终没有滑出浮板，且最终游客和浮板B的共同速度为v2，设游客在浮板B上滑行的距离为x，根据动量守恒和能量守恒有 ， 解得x=1.5m<L 所以假设成立，游客没有滑离浮板B。 8．如图所示，竖直虚线左侧（I区）水平地面粗糙且存在水平向右的匀强电场，右侧（II区）水平地面光滑且足够长。一质量mA=1kg、电荷量q=+0.1C的绝缘带电物块A置于左侧地面上，A与左侧地面间的动摩擦因数μ1=0.1。开始时，物块A在距该虚线x=5.75m处以v0=11m/s的初速度水平向右运动，之后以v=12m/s的速度与左端静止于该虚线处的木箱B发生碰撞。另一物块C静置于木箱B内水平底面中点，C与B间的动摩擦因数。已知B的质量mB=2kg，箱内底面长L=3m，C的质量mC=1kg。所有碰撞都是弹性碰撞，碰撞时间极短可不计，物块A、C均可视为质点且A的电荷量恒定，当A进入虚线右侧时会立即被锁定，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)该匀强电场的场强大小E； (2)整个过程中，摩擦力对A的冲量； (3)B、C刚好相对静止时，C相对地面的位移大小。 【答案】(1) (2)，方向水平向左 (3) 【详解】（1）A与B碰撞前，对A由动能定理有 解得 （2）设A与B碰撞前历时t0，由 解得 以水平向右为正方向，A、B碰撞过程中，有 ， 解得 （水平向左），（水平向右） A、B碰撞后，A向左运动过程中 ， 解得 ， 之后，A向右运动至虚线处被锁定 ， 解得 ， 因此，整个过程中，摩擦力对A的冲量 解得，方向水平向左 （3）从A、B碰撞后到B、C相对静止的过程中，对B、C组成的系统 由动量守恒有 由能量守恒有 解得，B、C相对运动的总路程 因此，B、C的对地位移满足 B、C共速前各自做匀变速运动的加速度大小：, B、C第一次碰撞过程中，由， 可得 由此可知，每次碰撞前、后瞬时，B与C的速度差不会发生变化，又由于B、C各自做匀变速直线运动的加速度大小恒定，作出B、C的v-t图像，如答图2所示。可知 B与C第1次碰前 第2次碰前 第3次碰前 以此类推…… 从A、B碰撞后到B、C共速，所经过的时间为 由于B、C构成的系统始终动量守恒，由（其中uB、uC为任意时刻B、C的速度） 可得 变形得 因此 联立解得 9．如图所示，一个质量为的滑块放在水平台面上，平台右侧有一半径的圆弧槽固定在水平面上，圆弧两端点a、b对应的圆心角，b点与圆心O的连线竖直。圆弧槽右侧是光滑的水平面，质量为的小车紧靠圆弧槽右端放置，且小车上表面与圆弧槽b点等高，两个完全相同的球1、球2放在小车右侧，其质量为。现给滑块一个水平向右的初速度，滑块刚好从a点沿切线进入圆弧槽。已知水平台面与平台高度差，滑块与小车之间的动摩擦因数，，，重力加速度g取。 (1)求滑块到a点时的速度大小； (2)当滑块与小车第1次共速时小车与球1刚好发生弹性碰撞，当滑块与小车第2次共速时，小车与球1再次刚好发生弹性碰撞，求两个小球之间的距离L； (3)若在两球右侧适当位置放置无限多个完全相同的球，每当滑块与小车共速时，小车就与球1发生弹性碰撞，最终滑块恰好未从小车上掉下，求小车的长度D。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块离开平台后做平抛运动，竖直方向有 得 设滑块落到圆弧a点时的速度为，因为滑块落到圆弧的a点上时刚好与圆弧相切，则有 解得 （2）设滑块离开b点时速度为，滑块从a到b由动能定理得 解得 设滑块与小车第1次共同速度为，由动量守恒定律有 解得滑块与小车第1次共同速度为 设小车与球1第1次碰撞后，小车速度为，球的速度，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， 设滑块与小车第2次共同速度为，由动量守恒定律有 解得 因为小于球的速度，所以小车第2次与球1相碰应发生在球1与球2发生弹性碰撞后，且因为球1球2完全相同，故球1与球2弹性碰撞后静止在原球2处被小车碰第2次，所以球1和球2之间的距离等于小车的位移，对小车由动能定理有 解得 （3）同（2）得小车与球1第2次弹性碰撞后 小车与球1第2次碰后到小车与滑块第3次共速，有 依次推理可得，小车与滑块的第n次共速与球1第n次碰后车与滑块共速的速度 球1的速度 由能量守恒 解得 10．如图所示，光滑水平面上7颗钢球沿着同一直线放置。水平面左端的竖直挡板上固定一根轻质弹簧且处于原长状态，在弹簧和钢球之间是一颗质量为的玻璃球。已知初始时玻璃球具有水平向右的初速度，所有球体体积相同，所有碰撞均视为弹性碰撞。求： (1)若钢球质量为，第7颗钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，玻璃球与第1颗钢球碰后，钢球的速度大小； (3)若钢球质量为，玻璃球与钢球经历7次碰撞后的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设水平向右为正方向，玻璃球碰后速度为，钢球1碰后速度为 碰撞过程动量守恒 机械能守恒 可得， 由此可知，质量相同的小球发生弹性正碰后，速度会进行交换，故第7颗钢球碰后的速度为 （2）设玻璃球碰后速度为，钢球1碰后速度为 碰撞过程动量守恒 机械能守恒 可得， （3）由（1）问的结果可知，钢球与钢球碰后发生速度交换，所以钢球1与钢球2碰后停在钢球2原本的位置，之后与玻璃球发生第2次弹性正碰 碰撞过程中动量守恒 机械能守恒 可得，， 由此可知，玻璃球与钢球的第7次弹性正碰后的速度大小为 玻璃球与钢球经历7次碰撞后的动能为 可得， 11．长为L=1.3m的绝缘木板放置在光滑水平面上，木板质量为M=1kg。木板上静置着一个质量为m2=1.99kg的物块P（可视为质点，电荷量为+q）。现有一颗质量为m1=10g的子弹，以水平初速度v0=1600m/s打入物块P且留在其中（时间极短），经过一段时间后，木板与等高的绝缘平台碰撞并粘在一起，此时物块P恰好滑到木板的右边缘，之后无能量损失的滑上右侧长为x=4.9m的AB区域。已知物块P与木板和AB区域的动摩擦因数均为μ=0.5，其余区域光滑。B点右侧存在n个宽为l的矩形区域，依次编号为1、2、3……。其中，奇数区域存在水平向右的匀强电场，场强为E（边界上也有电场）；偶数区域分别放置一个质量为m0=0.5kg的绝缘物块（可视为质点）。物块P的电荷量始终保持不变，且所有的碰撞均为完全非弹性碰撞，其他物体均不带电，重力加速度g取10m/s2。求： (1)子弹打入物块后瞬间二者的速度大小； (2)物块P到达A时的速度大小； (3)物块P与第几个物块碰撞前达到最大速度，以及物块P最大速度大小。 【答案】(1)8m/s (2)7m/s (3)第 个， 【详解】（1）子弹打入物块 P 的过程中，动量守恒，有 代入数据得v=8m/s （2）物块P和木板在光滑水平面上运动，动量守恒，物块P损失的动能转化为木板的动能和二者摩擦产生的热量，设子弹和物块的总质量为，有 ， 由于不能小于，联立解得v1=7m/s （3）物块P滑上AB区域，根据动能定理有 解得 当物块P进入区域1后，电场力做正功，动能增加，设离开区域1时的速度为，有 解得 进入区域后与碰撞，动量守恒，碰后二者的速度为 ，有 解得 进入区域3后电场力继续做功，进入区域4时的速度为，由动能定理有 解得 进入区域4后继续碰撞后共速的速度为，有 解得 依次类推，根据数学归纳法可知，当经过n个电场加速后达到最大速度，即与第n个物 块 碰 撞 前 的 速 度 为 ， 有 代 入数 据 得 令 得 根据二次函数求出当速度最大时，，则 ，即与第21个碰撞前达到最大速度，最大速度为。 12．如图所示，质量为的物块静止在光滑水平面上，其上表面有半径为的圆弧轨道，点切线水平。质量为的小球自圆弧顶端点上方的点自由下落，落到点后沿光滑圆弧轨道下滑，A、C两点的距离也为。物块的右侧水平地面上有个质量均为的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、n，相邻滑块间的距离均为。小球运动到水平面后与小滑块1发生弹性碰撞，此后立即撤去小球。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。已知重力加速度大小为，小球和各个滑块均可视为质点，不计空气阻力。 (1)求小球运动到物块的底端时，物块向左运动的距离及小球的速度大小； (2)求小滑块碰后的速度大小； (3)若小滑块所在的水平面粗糙，所有小滑块与水平面间的动摩擦因数均为，且所有碰撞依次发生。求从小球与滑块1碰撞后开始到所有碰撞完成瞬间，摩擦力对小滑块系统所做的总功。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球运动到物块的底端时，设小球的速度大小为，物块的速度为，根据水平方向动量守恒有 根据能量守恒有 解得 设物块向左运动的距离，根据水平方向动量守恒有 微元求和有 可得 又 联立解得 （2）小球运动到水平面后与小滑块1发生弹性碰撞，有， 解得 滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动，有，… 可得… 可得 （3）滑块每次碰前的位移为，对滑块1，有 对滑块1、2，有 对滑块1、2、，有 可得摩擦力对小滑块系统所做的总功 5 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二能量和动量 8.力学三大观点的综合应用 高考真题 1.（2025·湖南·高考真题）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为m的机器人抛至悬崖上的A点，图为山体截面与表演装置示意图。a、b为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为M的滑杆。滑杆用长度为L的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从B点以初速度v竖直向下运动，B点位于轨道平面上，且在A点正下方，。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终作同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，，重力加速度大小为g。 (1)若滑杆固定，，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小； (2)若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v的大小； (3)若滑杆能沿轨道自由滑动，，且，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为时，机器人松开轻绳后被抛至A点，求v与k的关系式及v的最小值。 2. （2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 核心突破 突破1. 力学中的多运动组合问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 力学三大观点对比 力学三 大观点 对应规律 表达式 选用 原则 动力学 观点 牛顿第二定律 F合=ma 物体做匀变速直线运动，涉及运动细节 匀变速直线运动规律 v=v0+at x=v0t+at2 v2-=2ax等 能量 观点 动能定理 W合=ΔEk 涉及做功与能量转换 机械能守恒定律 Ek1+Ep1 =Ek2+Ep2 功能关系 WG=-ΔEp等 能量守恒定律 E1=E2 动量 观点 动量定理 I合=p'-p 只涉及初末速度、力、时间，而不涉及位移、功 动量守恒 定律 p1+p2 =p1'+p2' 只涉及初末速度，而不涉及力、时间 例题1. 倾角足够长的光滑斜面固定在水平地面上，一挡板垂直固定在斜面上，一轻质弹簧下端固定在挡板上、上端与质量为的物块相连，弹簧中心轴线与斜面平行；质量为的物块紧挨着物块放置在斜面上，与之间不粘连，和静止在弹簧上，此时弹簧的压缩量。现对物块施加平行斜面向上的拉力，使和一起沿着斜面向上做匀加速直线运动直至物块和分离，加速度大小为。已知重力加速度，，。求： (1)轻质弹簧的劲度系数； (2)物块和从开始运动到刚要分离时运动的时间。 例题2. 如图所示，倾角的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个半径和质量均不计的光滑定滑轮D，质量均为的物块A和B用一劲度系数的轻弹簧连接，物块B被挡板P挡住，挡板P固定于斜面底端且垂直于斜面。用一不可伸长的轻绳使物块A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，小环C位于Q处，绳与细杆间的夹角，且物块B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行，现让小环C从位置R由静止释放，之后绳子一直处于绷紧状态，，，重力加速度g取。求： （1）小环C的质量M； （2）小环C运动到位置Q的速率； （3）小环C从位置R运动到位置S的过程中轻绳对小环C做的功W。 突破2. 板块模型的综合分析 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.用动力学观点解决板块模型问题的思路 2.滑块和木板组成的系统所受的合外力为零时，优先选用动量守恒定律解题；若地面不光滑或受其他外力时，需选用动力学观点解题。 3.应注意区分滑块、木板各自相对地面的位移和它们的相对位移。用运动学公式或动能定理列式时位移指相对地面的位移，求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)。 例题3. 一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。 （1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小； （2）若μ2=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能； （3）若μ2=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。 例题4. 如图所示，有一固定的光滑圆弧轨道，半径，一质量为的小滑块B从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知，B、C间动摩擦因数，C与地面间的动摩擦因数，C右端有一个挡板，C长为。 求： （1）滑到的底端时对的压力是多大？ （2）若未与右端挡板碰撞，当与地面保持相对静止时，间因摩擦产生的热量是多少？ （3）在时，B与C右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求从滑上到最终停止所用的时间。    突破3. 数学归纳法解决多次碰撞问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 当两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞时，因碰撞次数较多，过程复杂，在求解多次碰撞问题时，通常可用到以下两种方法： 数学 归纳法 先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺，分析透彻，根据前几次数据，利用数学归纳法，可写出以后碰撞过程中对应规律或结果，通常会出现等差、等比数列，然后可以利用数学数列求和公式计算全程的路程等数据 图像法 通过分析前几次碰撞情况，画出物体对应的v-t图像，通过图像可使运动过程清晰明了，并且可通过图像与t轴所围面积求出物体的位移 例题5. 如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。 （1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小； （2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。 （3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0<e<1） ，求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间小球B通过的路程。 例题6. 如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为。一质量为的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求 （1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小； （2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离； （3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。    突破4. 动力学规律的选用原则 (1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律。 (2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。 (3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。 (4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即系统内能的增加量。 (5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化，作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决。 例题7. 某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块 ①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 例题8. 如图，质量m1= 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2= 4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ = 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。    素养提升 数列法在动力学中的应用 凡涉及数列的物理问题具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程并不完全重复，而是有一定的变化，利用某些物理量前后变化的联系，找出变化规律。 该问题的解题思路： (1)逐个分析开始的几个物理过程； (2)利用归纳法从中找出物理变化的通项公式； (3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。 实战演练 1．如图所示，同一水平面上紧邻着足够长的传送带和染料平台，传送带动摩擦因数，以速度匀速运行，染料平台总长并视为光滑。现在距染料平台左端处无初速放置一物块（视为质点），物块经过传送带和染料平台接头处速度大小方向不变，滑上染料平台后物块下表面会被染上颜色。物块运动到右侧尽头处与固定挡板碰撞，速度反向，大小不变，物块再次滑上传送带后会给传送带染上颜色。取，求： (1)物块刚放上传送带上的加速度大小a； (2)物块从释放至开始对传送带染色所用时间t； (3)传送带首次被染色的长度。 2．如图甲所示，打印机的送纸系统由搓纸轮A、送纸轮B和分纸轮C构成，当按下打印按钮后，A迅速下降到与纸盒中最上面一张纸相接触，通过摩擦将纸张送到B、C之间，然后迅速提升高度离开纸堆，B、C又通过摩擦将纸张输送到下一送纸单元。已知A、B、C与纸张之间的动摩擦因数均为，纸张之间的动摩擦因数均为，A、B、C与纸张接触时对纸张的压力大小均为，每张纸的质量均为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小为。 (1)A搓动最上面的一张纸时，纸的加速度大小是多少； (2)如图乙所示，当只有一张纸送到B、C之间时，B、C立即以相同大小的速度分别逆时针、顺时针转动。已知纸张送到B、C之间时的速度为，不计纸张的重力和其他阻力，纸张会在B、C后达到最大速度。求纸张在此加速过程中运动位移的大小； (3)如图丙所示，若因纸张之间的接触面粗糙程度异常，导致某次有两张纸1、2同时被送到B和C之间，此时B、C立即以相同大小的速度逆时针转动。已知1、2之间的动摩擦因数变为了，纸张1、2被送到B、C之间时的速度仍为，不计纸张的重力和其他阻力，当纸张2离开B、C之间时，纸张1仍在B、C之间，求此过程中纸张1位移的大小。 3．如题图所示，8个完全相同的水平木板一个紧挨一个（但不粘连）静置于足够长的水平地面上。每个木板的质量、长度，木板与水平地面间的动摩擦因数。第1个木板左端有一质量且可视为质点的物块，物块与木板间的动摩擦因数。现给该物块一水平向右、大小的初速度，使其在木板上滑行。取各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，不计空气阻力，忽略各木板连接处对物块运动的影响。 (1)求木板刚开始运动时，物块的速度大小。 (2)分析说明物块最终处于哪个木板上，并求出物块在最后那个木板上运动直到停止的时间。 (3)求物块从开始运动到最终停止的位移大小（保留两位有效数字）。 4．如图所示，一个质量为，可视为质点的小球1从点静止摆下，摆到最低点点时，恰好未与地面接触，并与放在点的小球2发生弹性碰撞，可视为质点的小球2的质量，碰撞后，小球2进入光滑的水平面后向右运动到点进入一竖直放置的光滑圆弧形轨道，水平面与圆弧轨道在点平滑连接，小球2在点进入圆弧轨道时无机械能损失。已知摆线长，小球1在点时摆线与竖直方向的夹角，取，，，求： (1)求小球1摆到最低点点（碰撞前的瞬间），摆线的拉力大小； (2)求两球碰撞后小球2的速度大小； (3)其他条件不变，仅在光滑圆弧轨道所处空间内加一个水平向右的匀强电场，若电场强度，碰后小球2的电荷量，要使小球2能够做完整的圆周运动，求圆弧轨道半径的取值范围。 5．一游戏装置竖直截面如图所示。固定在水平直轨道A的弹射器、长的传送带BC、水平直轨道CD组成一个高台。高台下方有一质量的小车静止在光滑水平面上，小车上表面是以O为圆心，圆心角的弧形槽，O与G等高，F为圆弧最低点。某次游戏时，弹射器弹簧的弹性势能，质量的小物块从静止弹出，经D点水平飞出后恰好从E点无碰撞进入小车，经过最低点时小车对小物块的弹力。已知传送带以速度顺时针匀速转动，小物块与传送带之间的动摩擦因数，其余轨道均光滑。小物块可视为质点，经过各轨道衔接处和弹射过程的机械能损失忽略不计。，，取重力加速度。求小物块 (1)经过A点时的速度大小； (2)通过传送带摩擦所产生的热量Q； (3)弧形槽的半径R。 6．如图，绝缘轨道由粗糙水平轨道和光滑竖直半圆轨道组成，两部分轨道平滑连接于C点，半圆轨道的圆心为O、半径，水平轨道上方存在一个方向水平向右、电场强度大小随时间变化的电场区域（不考虑变化的电场产生的磁场）。一根轻弹簧左端拴接在A处的竖直墙面上，右端与质量、电荷量的带电小物块接触（不连接），弹簧处于原长时物块位于B点。让物块向左压缩弹簧使弹簧的弹性势能为时，物块向左移动了，然后自由释放物块，物块进入水平电场并开始计时，电场强度大小与时间的函数表达式为，物块进入半圆轨道后，在D点对半圆轨道的压力恰好为零，此时OD与竖直方向的夹角。物块可视为点电荷，物块与水平轨道间的动摩擦因数，不计空气阻力，g取。求： (1)物块进入半圆轨道时的速度大小v； (2)物块刚进入电场时的速度； (3)物块在电场中的运动时间t。 7．游乐场的水上乐园有一个“滑梯冲浪”项目。如图，游客从高h=3.5m的弧形滑梯顶端由静止滑下，滑梯底部水平连接一个水池，水池中并排静止漂浮着两块质量均为M=100kg、长度均为L=11m的浮板A和B（紧靠但不粘连）。质量m=50kg的游客（可视为质点）从滑梯上滑下后，以水平速度v0=8m/s滑上浮板A，并以水平速度v1=4m/s滑离浮板A，已知游客与两浮板间的动摩擦因数相同，浮板与水面间阻力可忽略不计，重力加速度g取10m/s2。求： (1)游客在弧形滑梯上克服阻力所做的功； (2)游客与浮板间的动摩擦因数； (3)游客是否会滑离浮板B，请说明理由。 8．如图所示，竖直虚线左侧（I区）水平地面粗糙且存在水平向右的匀强电场，右侧（II区）水平地面光滑且足够长。一质量mA=1kg、电荷量q=+0.1C的绝缘带电物块A置于左侧地面上，A与左侧地面间的动摩擦因数μ1=0.1。开始时，物块A在距该虚线x=5.75m处以v0=11m/s的初速度水平向右运动，之后以v=12m/s的速度与左端静止于该虚线处的木箱B发生碰撞。另一物块C静置于木箱B内水平底面中点，C与B间的动摩擦因数。已知B的质量mB=2kg，箱内底面长L=3m，C的质量mC=1kg。所有碰撞都是弹性碰撞，碰撞时间极短可不计，物块A、C均可视为质点且A的电荷量恒定，当A进入虚线右侧时会立即被锁定，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)该匀强电场的场强大小E； (2)整个过程中，摩擦力对A的冲量； (3)B、C刚好相对静止时，C相对地面的位移大小。 9．如图所示，一个质量为的滑块放在水平台面上，平台右侧有一半径的圆弧槽固定在水平面上，圆弧两端点a、b对应的圆心角，b点与圆心O的连线竖直。圆弧槽右侧是光滑的水平面，质量为的小车紧靠圆弧槽右端放置，且小车上表面与圆弧槽b点等高，两个完全相同的球1、球2放在小车右侧，其质量为。现给滑块一个水平向右的初速度，滑块刚好从a点沿切线进入圆弧槽。已知水平台面与平台高度差，滑块与小车之间的动摩擦因数，，，重力加速度g取。 (1)求滑块到a点时的速度大小； (2)当滑块与小车第1次共速时小车与球1刚好发生弹性碰撞，当滑块与小车第2次共速时，小车与球1再次刚好发生弹性碰撞，求两个小球之间的距离L； (3)若在两球右侧适当位置放置无限多个完全相同的球，每当滑块与小车共速时，小车就与球1发生弹性碰撞，最终滑块恰好未从小车上掉下，求小车的长度D。 10．如图所示，光滑水平面上7颗钢球沿着同一直线放置。水平面左端的竖直挡板上固定一根轻质弹簧且处于原长状态，在弹簧和钢球之间是一颗质量为的玻璃球。已知初始时玻璃球具有水平向右的初速度，所有球体体积相同，所有碰撞均视为弹性碰撞。求： (1)若钢球质量为，第7颗钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，玻璃球与第1颗钢球碰后，钢球的速度大小； (3)若钢球质量为，玻璃球与钢球经历7次碰撞后的动能。 11．长为L=1.3m的绝缘木板放置在光滑水平面上，木板质量为M=1kg。木板上静置着一个质量为m2=1.99kg的物块P（可视为质点，电荷量为+q）。现有一颗质量为m1=10g的子弹，以水平初速度v0=1600m/s打入物块P且留在其中（时间极短），经过一段时间后，木板与等高的绝缘平台碰撞并粘在一起，此时物块P恰好滑到木板的右边缘，之后无能量损失的滑上右侧长为x=4.9m的AB区域。已知物块P与木板和AB区域的动摩擦因数均为μ=0.5，其余区域光滑。B点右侧存在n个宽为l的矩形区域，依次编号为1、2、3……。其中，奇数区域存在水平向右的匀强电场，场强为E（边界上也有电场）；偶数区域分别放置一个质量为m0=0.5kg的绝缘物块（可视为质点）。物块P的电荷量始终保持不变，且所有的碰撞均为完全非弹性碰撞，其他物体均不带电，重力加速度g取10m/s2。求： (1)子弹打入物块后瞬间二者的速度大小； (2)物块P到达A时的速度大小； (3)物块P与第几个物块碰撞前达到最大速度，以及物块P最大速度大小。 12．如图所示，质量为的物块静止在光滑水平面上，其上表面有半径为的圆弧轨道，点切线水平。质量为的小球自圆弧顶端点上方的点自由下落，落到点后沿光滑圆弧轨道下滑，A、C两点的距离也为。物块的右侧水平地面上有个质量均为的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、n，相邻滑块间的距离均为。小球运动到水平面后与小滑块1发生弹性碰撞，此后立即撤去小球。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。已知重力加速度大小为，小球和各个滑块均可视为质点，不计空气阻力。 (1)求小球运动到物块的底端时，物块向左运动的距离及小球的速度大小； (2)求小滑块碰后的速度大小； (3)若小滑块所在的水平面粗糙，所有小滑块与水平面间的动摩擦因数均为，且所有碰撞依次发生。求从小球与滑块1碰撞后开始到所有碰撞完成瞬间，摩擦力对小滑块系统所做的总功。 8 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $