第09讲 传送带模型讲义（高考动力学三大观点的综合应用）-2026年高中物理二轮复习功能专题（新高考通用）

该高中物理高考复习讲义聚焦传送带模型与功能动量综合应用，覆盖牛顿运动定律、运动学公式、功能关系、动量守恒等核心考点，按水平传送带、倾斜传送带、传送带与曲线、传送带与动量的逻辑层次组织知识，通过考点梳理、解题方法指导、真题题型训练等环节，帮助学生构建系统分析框架。 讲义创新设计“解题三步法”和v-t图像分析工具，强化科学思维与模型建构能力，设置典型例题与变式训练分层练习，精准突破临界分析、能量计算等难点，助力学生高效掌握高考高频题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第09讲 传送带模型与功能动量 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 5 题型01：水平传送带 5 题型02：倾斜传送带 24 题型03:传送带与曲线 57 题型04：传送带与动量 63 一、高考地位与考情 1. 高频考点：近5年全国/新高考卷出现率约80%，分值8%–15%，常为动力学压轴题 2.核心模块：牛顿运动定律+运动学+功能关系+相对运动综合 3.命题趋势：贴近实际（安检、流水线）、多过程、临界分析、能量计算、v‑t图像 二、模型分类与核心特征 1. 水平传送带（最基础） ①轻放（v₀=0）：先匀加速→共速后匀速（传送带足够长）；全程加速（传送带短） ②有初速（v₀≠v）： v₀<v：先加速后匀速 v₀>v：先减速后匀速 反向初速：可能先减速→反向加速→匀速（传送带足够长） ③ 临界：v物=v传 → 滑动摩擦→无摩擦，加速度突变 2. 倾斜传送带（难点） ①先判μ与tanθ： μ≥tanθ：共速后静摩擦、匀速（自锁） μ<tanθ：共速后继续加速/减速，摩擦力反向 ②上行/下行、初速方向不同，运动组合极多 三、解题三步法（万能模板） S1. 定初始，判摩擦 比v物与v带，定滑动摩擦方向 求加速度，画v‑t草图 S2. 抓临界，析共速 算共速时间t₁、位移x₁ 共速后：水平→匀速；倾斜→判μ与tanθ，定后续运动 S3. 细计算，分阶段 分阶段列运动学/动力学方程 能量题：明确Q、W、ΔE三者关系 四、典型题型与考法 ①运动过程分析：求时间、速度、位移、能否到达端点 ②临界问题：恰好共速、恰好不掉落、最短时间 ③能量综合：摩擦生热、电机做功、机械能变化 ④图像结合：v‑t图像分析多过程、求相对位移 1. 会识别：能判断水平、倾斜、同向、反向等不同传送带模型。 2. 会受力分析：能根据物体与传送带的相对运动，正确判断摩擦力大小与方向。 3. 会分段运动：抓住共速时刻这一临界点，能把全过程拆成加速、匀速、减速、反向运动等阶段。 4. 会算三类位移： ①物体对地位移 ② 传送带位移 ③相对位移（划痕、生热用） 5. 会用规律解题： ①牛顿第二定律 + 运动学公式 ②动能定理 / 能量守恒 ③摩擦生热公式：Q = f∆x 6. 会处理倾斜传送带难点：能通过比较μ与tanθ，判断共速后是匀速还是继续加速/减速。 7. 会画v‑t图像：能用图像直观分析多过程、求时间、位移、相对位移。 8. 会解决高考典型题： ①求时间、速度、位移 ②临界与极值（恰好共速、恰好不滑落） ③能量、做功、电机功率综合题 知识点一:传送带 在解有关传送带问题时，首先应选择传送带及传送带上的物体作为研究对象； 其次对传送带模型的临界状态进行分析：①摩擦力发生突变，②物体的运动状态发生突变。 然后对传送带模型中的力和运动进行分析，确定是水平传送带还是倾斜传送带， ①水平传送带：先根据物体的受力和传送带的速度计算物体加速的时间和位移。再由和传送带长度的大小关系判断物体的运动状态。 ②倾斜传送带：若，且物体能与传送带共速，则共速后物体匀速运动；若，则物体必定有向下的加速度。 最后通过进一步计算物体在传送带上运动的时间、物体的位移、物体相对传送带的位移等得出结论。 1．水平传送带常见类型及滑块运动情况 类型 滑块运动情况 (1)，物体一直加速 (2)，物体先加速后匀速 (1)时，若，物体一直减速，若，物体先减速再匀速。 (2)时，若，物体一直加速，若，物体先加速再匀速 (1)时，物体一直做减速运动直到从传送带的另一端离开传送带。 (2)时，当时，物体先沿着方向减速，再反方向加速，直至从放入端离开传送带；当时，物体先沿着方向减速，再反方向加速，最后匀速，直至从放入端离开传送带。 2.倾斜传送带常见类型及滑块运动情况 类型 滑块运动情况 (1)时，若，传送带比较短，物体一直以向上匀加速运动；传送带足够长，物体先以向上匀加速运动再向上匀速运动。若，物体以向下的加速度运动。 (2)时，若，传送带比较短，物体一直以向上作匀减速运动；传送带足够长，物体先以向上作匀减速运动再向上匀速运动。若，传送带比较短，物体一直以向上匀减速运动；传送带足够长，物体先以向上作匀减速运动再以向上作匀减速运动，最后向下作匀加速运动。 (1)时，若，传送带比较短，物体一直以向下作匀加速运动；传送带足够长，物体先以向下作匀加速运动再向下作匀速运动。若，传送带比较短，物体一直以向下作匀加速运动；传送带足够长，物体先以向下作匀加速运动再以向下作匀加速运动。 (2)时，若，传送带比较短，物体一直以向下作匀减速运动；传送带足够长，物体先以向下作匀减速运动再向下作匀速运动。若，物体一直以向下作匀加速运动。 知识点二：传送带模型能量分析 1.传送带克服摩擦力做的功：W＝fx传（x传为传送带对地的位移） 2.系统产生的内能：Q＝fx相对（x相对为总的相对路程）． 3. 求解电动机由于传送物体而多消耗的电能一般有两种思路 ①运用能量守恒 以倾斜传送带为例，电动机多消耗的电能为E电，则：E电＝Ek增＋Ep增＋Q. ②运用功能关系 传送带多消耗的电能等于传送带克服阻力做的功E电=fx传(特别注意：如果物体在倾斜传送带上的运动分匀变速和匀速两个运动过程，这两个过程中传送带都要克服摩擦力做功，匀变速运动过程中两者间的摩擦力是滑动摩擦力，匀速运动过程中两者间的摩擦力是静摩擦力) 4、分析流程 题型01：水平传送带 【典型例题1】水平传送带顺时针匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带上。设工件初速为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止。设工件质量为m，它与传送带间的滑动摩擦系数为，则在工件相对传送带滑动的过程中，以下说法错误的是（   ）    A．滑动摩擦力对工件做的功为 B．工件的机械能增量为 C．工件相对于传送带滑动的位移大小为 D．该过程产生的热量为 【答案】D 【详解】A．在运动的过程中只有摩擦力对物体做功，由动能定理可知，摩擦力对物体做的功等于物体动能的变化，即为故A正确； B．工件动能增加量为势能不变，所以工件的机械能增量为故B正确； C．根据牛顿第二定律知道工件的加速度为 所以速度达到v而与传送带保持相对静止时间工件的位移为 传送带的位移 工件相对于传送带滑动的路程大小为故C正确。 D．该过程产生的热量故D错误；本题选错误选项，故选D。 【典型例题2】(多选)如图所示，水平传送带以恒定速度顺时针匀速运行，左、右两端A、B之间距离。现将一质量可看做质点的物块轻轻放到传送带的A端，同时对物块施加一水平向右的恒力．已知物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度g取。物块从A端运动到B端的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．物块先匀加速运动后匀速运动 B．物块从A端运动到B端的时间为 C．物块运动到B端时，恒力F的瞬时功率为 D．物块与传送带间因克服摩擦产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】AB．物块速度加速到与传送带速度相等之前，物块所受传送带的摩擦力水平向右，根据牛顿第二定律有 解得物块的加速度大小 此过程加速的时间 物块向右运动的距离 摩擦力反向，根据牛顿第二定律有 解得物块的加速度大小 由位移时间关系式有 解得此过程加速的时间 可知物块从A端运动到B端的过程中，物块一直做匀加速运动，运动的时间为 故A错误，B正确； C．物块运动到B端时的速度大小为 恒力F的瞬时功率为 故C错误； D．由能量守恒有 故D正确。 故选BD。 【典型例题3】(多选)为了保证乘客的安全，通常情况下在进入火车站前应对旅客携带的物品安检，安检时将物品无初速度地放到沿水平方向向右传送的运输带一端，已知运输带以恒定的速度匀速传动，如图甲所示，整个过程中物品的速度随时间的变化规律如图乙所示。物品可视为质点，且质量为，运输带两端相距，经测量该物品在运输带上留下了一条长为的划痕，重力加速度g取。则下列说法正确的是（　　） A．整个过程中，物品始终受到向右的摩擦力 B．物品与运输带间的动摩擦因数为0.25 C．运输带对物品摩擦力的冲量大小为 D．整个过程因传送该物品多消耗的电能为 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，物品在内做匀加速直线运动，则运输带对物品的摩擦力为滑动摩擦力，方向沿运输带水平向右；末物品与运输带具有相同的速度，则的时间内物品所受的摩擦力为零，故A错误； B．在内物品加速的位移为 物品匀速的位移为 在内运输带的位移为 又 由以上可解得 则物品加速时的加速度大小为 由牛顿第二定律得代入数据解得故B正确； C．物体在运输带上加速时受摩擦力的作用，匀速时不受摩擦力，则运输带对物品摩擦力的冲量为 故C正确； D．由能量守恒定律得因传送物品多消耗的电能为 故D错误。 故选BC。 【典型例题4】如图所示，有一个可视为质点、质量为m=1kg的小物块，初速为零，经由水平顺时针转动的传送带从最左端A送到最右端B，滑过水平光滑BC面后，滑上紧靠BC面末端C点、质量为M=2kg的静止长木板。已知传送带速度恒为，传送带AB间长度L=3m，木板上表面与BC面相平，木板下表面光滑，小物块与传送带、长木板间的动摩擦因数均为0.4，不计空气阻力，g取。求： （1）小物块到达C点的速度大小； （2）传送带将小物块从A端送到B端过程的摩擦发热； （3）若长木板长度s=2m，小物块能否滑出长木板？若能，求滑出瞬间物块的速度大小；若不能，求小物块与长木板的最终共同速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3）不能， 【解析】（1）小物块在传送带上的加速度大小 达到与传送带相同速度时的位移 可判断物块到达B端时已经与传送带同速，且 （2）达到与传送带相同速度的时间为 传送带的移动距离为 所以摩擦发热 （3） 设小物块刚好滑到木板右端且达到共同速度的大小为， 滑行过程中，小物块加速度大小为 长木板的加速度 小物块与长木板的速度分别为 解得 对小物块和木板组成的系统，由能量守恒定律得 联立解得 因为，故小物块不能滑出长木板，共同速度的大小为。 【典型例题5】如图甲所示，在民航机场和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。旅客把行李缓慢轻放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始运动，随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。一水平传送带装置的示意图如图乙所示，若传送带匀速前进的速度v为0.4m/s，某木箱与传送带之间的动摩擦因数μ为0.4，木箱质量m＝16kg，重力加速度g取。求： （1）该木箱放在传送带上后，木箱在传送带上的相对滑行时间t； （2）该木箱放在传送带上后，木箱与传送带的相对位移L的大小； （3）木箱从传送带A移到B过程，传送带对该木箱所做的功W。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据牛顿第二定律得：木箱的加速度 木箱由静止开始运动达到传送带速度所需的时间 （2）t时间内木箱的位移为 传送带的位移 木箱与传送带的相对位移 （3）根据动能定理可知，传送带对该木箱所做的功 【变式训练1-1】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终以速度匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体经过一段时间能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带保持相对静止这一过程，下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　）    A．物体在传送带上的划痕长 B．传送带克服摩擦力做的功为m2 C．由于摩擦产生的内能为m2 D．由于传送物体电动机额外多做的功为m2 【答案】C 【解析】A．物体在传送带上的划痕长度等于物体在传送带上的相对位移，物体达到速度所需的时间为 在这段时间内物体的位移 传送带的位移 物体在传送带上的相对位移 故选项A错误； BC．传送带克服摩擦力做的功转化为物体的动能和内能，物体在这个过程中获得的动能为 由于摩擦产生的内能为 传送带克服摩擦力做的功为 故选项B错误，选项C正确； D．传送物体电动机额外多做的功等于传送带克服摩擦力做的功，为，故选项D错误； 故选C。 【变式训练1-2】如图所示，水平传送带以恒定速度顺时针匀速运行，左右两端A、B之间距离。现将一质量可看做质点的物块轻轻放到传送带A端，同时对物块施加一水平向右的恒力。已知物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度。物块从A端运动到B端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块从A端运动到B端的过程先匀加速运动后匀速运动 B．物块从A端运动到B端的时间 C．摩擦力对物块做功 D．物块运动到B端时，恒力F的瞬时功率 【答案】C 【详解】AB．物块速度加速到与传送带速度相等之前，物块所受传送带的摩擦力水平向右，根据牛顿第二定律 解得物块的加速度 此过程加速的时间 物块向右运动的距离 恰好等于传送带的长度，可知物块从A端运动到B端的过程一直做匀加速运动，运动的时间 故AB错误； C．摩擦力对物块做功故C正确； D．物块运动到B端时速度大小为恒力F的瞬时功率故D错误。 故选C。 【变式训练1-3】如图所示，某快递公司为提高工作效率，利用传送带传输包裹，水平传送带长为4m，由电动机驱动以4m/s的速度顺时针转动。现将一体积很小、质量为10kg的包裹无初速的放到传送带A 端，包裹和传送带间的动摩擦因数为0.1， 重力加速度为g则包裹从A 运动到 B 的过程（　　） A．时间为 1s B．时间为 4s C．电动机多输出的电能为40J D．电动机多输出的电能为 【答案】D 【详解】AB．包裹加速度为 加速运动到与传送带共速经历的时间为 位移为 故包裹在与传送带共速前已经滑离传送带，由可得 AB错误； CD．包裹从A 运动到 B 的过程传送带位移为 包裹位移为 摩擦生热为 包裹的获得的速度为 包裹获得的动能为 故电动机多做的功为C错误，D正确。 故选D。 【变式训练1-4】如图甲所示一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带在变速电机带动下先加速后减速，传送带的速度-时间图像如图乙所示，假设传送带足够长，经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹，，则下列说法正确的是（　　）    A．黑色痕迹的长度为 B．煤块在传送带上的相对位移为 C．若煤块的质量为，则煤块与传送带间因摩擦产生的热量为 D．煤块的质量越大黑色痕迹的长度越长 【答案】B 【详解】A．煤块的加速度 在v-t图上作出煤块的速度—时间图像（图像过6s，12m/s；与传送带的图像交于8s，16m/s；然后减速，交t轴于16s）    由图可知，痕迹长故A错误； B．煤块在传送带上的相对位移故B正确； C．煤块与传送带间因摩擦产生的热量为 Q=μmg（s+x煤）=0.2×2×10×（48+32）J=320J 故C错误； D．质量变大，不改变加速度，痕迹长不变，故D错误。 故选B。 【变式训练1-5】如图所示为速冻食品加工厂生产和包装饺子的一道工序。将饺子轻放在匀速运转的足够长的水平传送带上，不考虑饺子之间的相互作用和空气阻力。关于饺子在水平传送带上的运动，下列说法正确的是（　　） A．饺子一直做匀加速运动 B．传送带的速度越快，饺子的加速度越大 C．饺子由静止开始加速到与传送带速度相等的过程中，增加的动能等于因摩擦产生的热量 D．传送带多消耗的电能等于饺子增加的动能 【答案】C 【详解】A．饺子在传送带上先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动，故A错误； B．饺子的加速度与传送带的速度无关，故B错误； C．饺子从静止加速到与传送带共速的过程，饺子增加的动能 因摩擦产生的热量 又因为饺子从初速度为零开始做匀加速运动到和传送带共速，饺子的位移 所以饺子增加的动能等于因摩擦产生的热量，故C正确； D．传送带多消耗的电能等于饺子增加的动能与因摩擦产生的热量的总和，故D错误。 故选C。 【变式训练1-6】如图所示，一质量为2kg可视为质点的小物块自斜面上A点由静止开始下滑，斜面AB的倾角为37°，A、B间距离为2m，经1s运动到B点后通过小段光滑的衔接弧面滑上与地面等高的传送带，传送带以6m/s的恒定速率顺时针运行，传送带左右两端间距离为9m，小物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，不计空气阻力和小物块在衔接弧面运动的时间，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，下列说法中正确的是（　　） A．小物块在传送带上运动的时间为2s B．小物块在传送带上因摩擦产生的热量为20J C．小物块在传送带上运动过程中传送带对小物块做的功为24J D．若传送带以3m/s的恒定速率逆时针运行，其他条件不变，小物块从A点静止释放以后，在AB上运动的总路程为4.25m 【答案】D 【详解】A．设小物块到达B点时的速度大小为v，由于小物块在斜面上做匀加速直线运动，所以有 解得 在传送带上，物体的加速度为 与传送带达到共速的时间为 物块的位移为 距离传送带右端还有 此后做匀速直线运动，还需要的时间为 则小物块在传带上B、C之间的运动时间为A错误； B．时间内，小物块与传送带的相对位移大小为 小物块在传送带上因摩擦产生的热量为B错误； C．小物块在传送带上运动过程中传送带对小物块做的功为故C错误； D．在传送带上，物体做减速运动，速度减到零所需时间为 物块在该时间段内的位移为 可知物体没有滑出传送带，速度减为零后，随传送带一起做向左做加速运动，与传送带达到共速后，速度不再增加，以的速度滑上斜面，速度为零后又滑下来滑到传送带上，速度减为零后，随传送带一起做向左做加速运动，接着又滑上斜面，此后在斜面上往复运动，最后停在B点。物块在斜面上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 联立解得 设第一次滑下AB之后在AB上运动的总距离为S，物块的动能全部转化为内能，根据能量守恒有 解得 则物体在上运动的总路程为D正确； 故选D。 【变式训练1-7】（多选）如图1所示，水平传送带以恒定的速度顺时针转动，质量为的箱子在水平传送带上由静止释放，经过后，箱子滑离传送带，箱子的图像如图2所示，对于箱子从静止释放到相对传送带静止这一过程，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．箱子与传送带间的动摩擦因数为0.075 B．箱子对传送带做功为 C．传送带对箱子做功为 D．箱子与传送带因摩擦产生的热量为 【答案】ABD 【详解】A．由图像可知，箱子的加速度为 根据牛顿第二定律得A正确； B．箱子对传动带做功为B正确； C．传送带对箱子做功为C错误； D．箱子与传送带因摩擦产生的热量为D正确。 故选ABD。 【变式训练1-8】（多选）近年来网上购物的飞速增长催生了物流行业的快速发展。物流公司常用水平传送带装卸包裹，如图所示。接通电源后，传送带以的加速度沿顺时针方向开始运转。当速度达到后开始匀速运转。在传送带刚启动时，工作人员将质量为的包裹从传送带左端无初速释放，经过包裹运动到传送带的右端。已知包裹与传送带之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．水平传送带左、右两端的距离为 B．包裹所受摩擦力的冲量为 C．传送带对包裹的作用力做功为 D．整个过程中产生的热量为 【答案】ABC 【详解】A．由题意可知，物块放在传送带上之后将受到滑动摩擦力的作用做匀加速运动，根据牛顿第二定律有 解得 故传送带先达到的速度，则包裹达到和传送带共速所用的时间为 此过程中包裹的位移为 之后包裹和传送带一起做匀速直线运动，位移为 则可知传送带两端的长度为故A正确； B．包裹只有在匀加速阶段受到摩擦力，在此过程中摩擦力的冲量为 故B正确； C．包裹受到传送带对它的支持力和摩擦力，其中支持力不做功，摩擦力做正功，而摩擦力作用下的位移为，则摩擦力做的功为故C正确； D．整个过程中只有第内发生了相对位移，且传送带在此阶段运动的比包裹更快，而传送带加速到所用的时间为，之后的做匀速运动，则传送带的位移为 由此可知相对位移为 则整个过程中产生的热量为故D错误。故选ABC。 【变式训练1-9】（多选）如图甲所示一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带在外力作用下先加速后减速，其速度—时间（v-t）图像如图乙所示，假设传送带足够长，经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹，，则下列说法正确的是（　　）    A．黑色痕迹的长度为36m B．煤块在传送带上的相对位移为16m C．若煤块的质量为1kg，则煤块与传送带间因摩擦产生的热量为160J D．煤块的质量越大黑色痕迹的长度越短 【答案】BC 【详解】A．煤块先做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可知 经时间，速度达到 设经过煤块和传送带共速为，皮带减速的加速度，有 联立解得， 此后因，则煤块和皮带各自匀减速到停止，煤块减速到零的时间为 作出煤块的速度v-t图像如图所示（图像过6s，12m/s；与传送带的图像交于8s，16m/s；然后减速，交t轴于16s）    由图可知，煤块先相对皮带向左滑动的相对位移为 共速后煤块相对皮带往右滑动的相对位移为 则痕迹应取较长的相对位移为故A错误； B．全程煤块在传送带上的相对位移为故B正确； C．煤块与传送带间因摩擦产生的热量为故C正确； D．若煤块的质量变大，其加速和减速的加速度均不变，则图像不变，各段的相对位移不变，则痕迹长也不变，故D错误。 故选BC。 【变式训练1-10】（多选）如图（a）所示，在t=0时将一质量为0.1kg的滑块轻放置于传送带的左端，传送带在t=4s时因为突然断电而做减速运动，从t=0到减速停下的全程，传送带的v-t图像如图（b）所示。已知传送带顺时针运动，滑块与传送带间的动摩擦因数为0.08，传送带两轮间的距离足够长，重力加速度大小为10m/s2.，下列关于滑块说法正确的是（　　） A．滑块先匀加速运动，后匀减速运动直至停止 B．滑块从轻放上传送带至停下，所用的时间为6s C．滑块在传送带上留下的划痕为28m D．全程滑块与传送带间产生的热量为2.24J 【答案】AC 【详解】A．滑块轻放置于传送带的左端，则有滑块在传送带上的加速度为 若传送带不停电，滑块与传送带达到共速时所用时间 由图b可知传送带在t=4s后做减速运动的加速度 可知滑块做加速运动，传送带做减速运动，滑块与传送带达到共速后，由于传送带做减速运动的加速度大于滑块的加速度，滑块开始做减速运动直至停止，因此滑块先匀加速运动，后匀减速运动直至停止，A正确； B．传送带做减速运动后，滑块与传送带达到共速时所用时间解得 此时滑块的速度为 滑块停下所用时间 滑块从轻放上传送带至停下，所用的时间为B错误； C．滑块与传送带达到共速时的位移 传送带的位移 滑块与传送带的相对位移是 可知此时滑块在传送带上留下的划痕为28m。滑块开始做匀减速运动到停下运动的位移 传送带与滑块达到共速后到停下运动的位移 此时滑块与传送带的相对位移是 可知此时滑块与传送带相对位移的大小8m产生的划痕与前面的划痕重叠，划痕取最大值，则有滑块在传送带上留下的划痕为28m，C正确； D．全程滑块与传送带间的相对位移大小为 滑块与传送带间产生的热量为 D错误。 故选AC。 【变式训练1-11】（多选）如图甲所示，一条绷紧的水平传送带AB以恒定速率v1做匀速直线运动，传送带右端的光滑水平台面与传送带上表面等高，二者间的空隙极小不会影响滑块的运动。滑块以速率v2向左从A点滑上传送带，在传送带上运动时动能随路程变化的Ek-x图像如图乙所示，已知滑块质量m=2 kg，可视为质点，重力加速度g=10 m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．传送带的运行速率为v1=1m/s B．滑块在传送带上的运动时间为4.5s C．若传送带的运动速率增大，则滑块在传送带上运动时间一定越来越小 D．滑块从滑上传送带到再次滑回平台的整个过程中因摩擦产生的热量为36J 【答案】BD 【详解】A．由图乙可知滑块的初动能为16J，结合动能的表达式 解得滑块的初速度大小为 滑块的速度大小减小到0时，位移大小为由 解得滑块在传送带上的加速度大小为该过程所用时间为 然后滑块反向加速到与传送带共速后速度不再发生变化，结合图乙可知，传送带的运行速率满足 解得故A错误； B．滑块与传送带共速所需的时间 滑块在t2=1 s时间内运动的位移大小为 方向水平向右，则剩下的3 m内滑块做匀速直线运动，所用时间为 滑块在传送带上运动的总时间为故B正确； C．滑块做减速运动的时间恒定，当传送带的运动速率稍微增大一些时，滑块返回到平台的时间会变短，当传送带的运动速率大于4m/s时，滑块返回到平台的时间不变，在传送带上运动的总时间也不变，故C错误； D．滑块向左运动时，滑块和传送带之间的相对位移大小为 滑块向右运动时，滑块和传送带之间的相对位移大小为 由牛顿第二定律得滑块与传送带间的摩擦力大小为 则滑块从滑上传送带到再次滑回平台的整个过程中因摩擦产生的热量为故D正确。 故选BD。 【变式训练1-12】如图所示为快递分拣车间的传送装置，固定斜面的倾角，底端由一小段光滑圆弧与水平传送带平滑连接，一长度的传送带正以速度沿顺时针方向匀速转动，一快递物件（可视为质点）的质量，从高的斜面上端由静止滑下，物件与斜面间的动摩擦因数、与传送带间的动摩擦因数，重力加速度。求： （1）物件刚滑到斜面底端时的速度大小； （2）物件与传送带间因摩擦产生的热量及物件在传送带上运动的时间。    【答案】（1）；（2）0.72J， 【详解】（1）物件在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动，设物件刚滑到斜面底端时的速度为，物件在斜面上的加速度为，由牛顿第二定律有又 解得 （2）由于，物件在传送带上先做匀减速运动，设物件在传送带上做匀减速运动的加速度大小为，由牛顿第二定律有解得由运动公式有 减速阶段的位移 故物件之后做匀速运动与皮带的相对位移 所以因摩擦而产生的热量匀速运动的时间 物件在传送带上运动的时间解得 【变式训练1-13】如图所示，倾角为37°的粗糙斜面底端通过一段光滑小圆弧与足够长的水平传送带平滑相接，传送带以v0=4m/s的恒定速率逆时针转动。质量为m=1.0kg的小滑块从斜面上A点由静止下滑，A点距离斜面底端的高度为h=9.6m，小滑块与斜面之间的动摩擦因数μ1=0.5，与水平传送带之间的动摩擦因数μ2=0.2，小滑块可视为质点，重力加速度大小g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小滑块第一次到达斜面底端时的速度大小； （2）小滑块第一次在传送带上的运动时间； （3）小滑块在斜面上运动时产生的热量。    【答案】（1）8m/s；（2）9.0s；（3）72J 【详解】（1）设小滑块第一次由静止到达斜面底端的速度为v1，根据动能定理有 解得 （2）小滑块在传送带上先向右做匀减速直线运动到速度为零，然后反向匀加速运动再匀速运动返回传送带的左端，小滑块在传送带上的加速度大小为 小滑块相对传送带滑动的时间为 小滑块匀速运动的距离为 小滑块匀速运动的时间为 小滑块在传送带上运动的时间为 代入数据解得 （3）小滑块第一次离开传送带时与传送带的速度大小相等，以后小滑块每次滑上传送带与离开传送带的速度大小相等，则从小滑块第一次滑上斜面到最终静止在斜面底端的过程，小滑块在斜面上运动的路程为s，则有 小滑块在斜面上运动产生的热量为联立解得 【变式训练1-14】如图所示，传送带以速率顺时针匀速转动，传送带与足够长的光滑水平面等高且紧挨。将小滑块A轻放在传送带左端M，A运动到右端N时与静止在水平面上的小滑块B发生弹性正碰。已知A、B质量分别为、，A与传送带间的动摩擦因数，传送带两端M、N间的距离，重力加速度g取。求： （1）A由左端M运动到右端N所用的时间t； （2）第1次碰撞后A、B的速度大小、； （3）第1次碰撞后A、B间距离的最大值。 【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】（1）A刚放上传送带时，滑块运动的加速度 设释放后经时间A与传送带速度相等，则 加速阶段的位移 然后A做匀速运动，匀速运动的时间 A由左端M运动到右端N所用的时间 （2）A与B发生弹性碰撞，根据动量守恒定律 根据机械能守恒定律 联立解得 即第1次碰撞后A、B的速度大小分别为 （3）由（2）可知碰撞后A反向运动，B向右做匀速直线运动，A和B速度相等所需的时间 第1次碰撞后A、B间距离的最大值 代入数据可得 【变式训练1-15】如图为模拟运送工件的水平传送带装置，绷紧的传送带在驱动电机作用下始终保持的恒定速率运行，传送带的水平部分AB距离水平地面的高度。质量的工件（可视为质点）由A端无初速度地放置在传送带上，到达B端时工件刚好从B点水平抛出，落地点与抛出点的水平距离。已知工件与传送带之间的动摩擦因数，不计空气阻力，取。 （1）求工件从B点抛出时的速度； （2）求因运送该工件驱动传送带的电机多消耗的能量，并根据计算结果提出不改变运送工件时间前提下，减少电机能量损耗的方式（不用说明理由）。 【答案】（1）4m/s；（2）20J，见解析。 【规范答题】（1）工件从B点抛出，在竖直方向有代入数据解得 在水平方向有代入数据解得 （2）因工件从B点抛出的速度为小于传送带，故工件从左到右一直做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有解得 则工件加速度的时间为 这段时间内工件的位移为 传送带的位移为则工件与传送带因摩擦产生的内能为 代入数据解得 工件增加的动能为 则因运送该工件驱动传送带的电机多消耗的能量为 减少电机能量损耗的方式：只要工件一直加速，时间不变，可以降低传送带运行速度为4m/s。 【变式训练1-16】如图所示，一足够长的水平传送带以v＝4m/s的速度顺时针转动，现将一质量为m＝1kg的小物块（可视为质点）以v0＝2m/s的速度从左端水平滑上传送带，当小物块运动到距离传送带左端的距离L＝4m时，由于某种故障，传送带立即以大小为a0＝4m/s2的加速度做匀减速运动直至停止转动。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度g＝10m/s2： （1）小物块从滑上传送带到运动L＝4m的位移所需要的时间； （2）小物块在传送带上运动的整个过程中，小物块和传送带系统因摩擦产生的热量Q。 【答案】（1）1.2s；（2）5J 【规范答题】（1）物块滑上传送带后做匀加速运动，加速度为 当物块与传送带共速时满足 解得t1=0.8s运动的距离 则小物块从滑上传送带到运动L＝4m的位移所需要的时间 （2）加速阶段，小物块与传送带由于摩擦生热 传送带刹车后因加速度a0>a1，则物块相对传送带向前滑动，当传送带和物块都停止运动时相对位移 则摩擦生热 总热量为 题型02：倾斜传送带 【典型例题1】如图，工人用传送带运送货物，传送带倾角为30°，顺时针匀速转动，把货物从底端A点运送到顶端B点，其速度随时间变化关系如图所示。已知货物质量为10kg，重力加速度取10。则（　　）    A．传送带匀速转动的速度大小为2m/s B．货物与传送带间的动摩擦因数为0.5 C．运送货物的整个过程中传送带多消耗的电能810J D．运送货物的整个过程中摩擦力对货物做功15J 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，物体在被传送带运送过程中，先做匀加速直线运动，加速到和传送带速度相同时，和传送带一起做匀速直线运动，故可知传送带匀速转动的速度大小为1m/s，故A错误； B．图像的斜率表示加速度，由图乙可知，加速度阶段物体的加速度为 由牛顿第二定律有 解得故B错误； C．内物块和传送带发生相对滑动，设物块的位移为，传送带的位移为，相对位移为，则有 因摩擦而产生的热量为 由图乙可得传送带的长度为 则可得运送货物的整个过程中传送带多消耗的电能为故C正确； D．运送物体的整个过程中，摩擦力对物体做功可分为两个阶段，第一阶段为滑动摩擦力做功，第二阶段为静摩擦力做功，则可得摩擦力对物块做的功为 D错误； 故选C。 【典型例题2】如图所示，传送带与水平地面的夹角，以的速率顺时针方向转动。将一质量为的物体（可视为质点）从A端无初速释放，经过运动到B端。物体与传送带间的动摩擦因数（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。则（　　） A．物体运动的加速度恒为 B．传送带的长为 C．物体运动到B端时的动量大小为 D．传送带与物体因摩擦产生的热量为 【答案】BD 【详解】AB．对小煤块进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得 小煤块下滑到与传送带速度相等解得 此时小煤块的位移解得 又因为， 小煤块继续下滑的加速度 解得 又 代入数据解得故故A错误，B正确； C．由 解得故C错误； D．第一阶段小煤块相对传送带位移解得 第二阶段小煤块相对传送带位移 解得m 摩擦产生的热量 解得故D正确。 故选BD。 【典型例题3】机场一般用可移动式皮带输送机给飞机卸货，皮带输送机可简化为倾角为，以速度逆时针匀速转动的传送带。时刻，货物以速度滑上传送带上端，如图乙所示，货物在传送带上运动的速度随时间变化的关系图像如图丙所示，则（　　）      A．内，传送带对货物做正功 B．匀速阶段，传送带对货物做负功 C．内，传送带对货物做功等于货物动能的增加量 D．内，传送带对货物做的功等于货物与传送带之间摩擦产生的热量 【答案】AB 【详解】A．根据图丙可知 即货物开始滑上传送带时相对皮带向上运动，皮带对货物有沿皮带向下的滑动摩擦力，传送带对货物的弹力不做功，滑动摩擦力做正功，即内，传送带对货物做正功，故A正确； B．匀速阶段，货物所受外力的合力为0，可知摩擦力方向沿皮带向上，货物向下匀速，则匀速阶段，传送带对货物的弹力不做功，摩擦力做负功，即匀速阶段，传送带对物体做负功，故B正确； C．内，货物所受摩擦力方向沿传送带向下，摩擦力做正功，则有 可知，内，传送带对货物做功小于货物动能的增加量，故C错误； D．内，货物的位移 货物对皮带相对位移的大小 可知令滑动摩擦力为f，根据上述，传送带对货物做功为 货物与传送带之间摩擦产生的热量可知故D错误。 故选AB。 【典型例题4】如图所示为某小型购物商场的电梯，长，倾角。在某次搬运货物时，售货员将质量为的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，电梯先以的加速度向上做匀加速运动，速度达到后匀速运动。已知货物与电梯表面的动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。，，求： （1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间； （2）货物从底端运动到顶端过程中物体和传送带之间产生的热量； （3）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）对货物进行受力分析，货物受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力，当摩擦力是滑动摩擦力时，货物获得的加速度最大，则有 解得 所以货物先向上做加速度为的匀加速运动，当速度与传送带速度相等时再做匀速直线运动。根据匀变速直线运动规律，货物加速阶段的位移为 解得 匀加速运动所需要的时间为 之后做匀速直线运动，匀速运动的时间为 货物从电梯底端运动到顶端所用的时间 （2）共速前，传送带通过的位移为 共速前，货物与传送带发生的相对位移为 货物从底端运动到顶端过程中物体和传送带之间产生的热量为 （3）根据功能关系，可知电机因运送该货物多做的功等于货物增加的动能和重力势能以及在皮带上产生的热量 解得 【典型例题5】如图所示，倾斜的传送带以恒定的速率逆时针运行。在时刻，将质量为1.0kg的物块（可视为质点）无初速度地放在传送带的最上端A点，经过1.0s，物块从最下端的B点离开传送带。取沿传送带向下为速度的正方向，则物块的对地速度随时间变化的图像如图乙所示，，求： (1)物块与传送带间的动摩擦因数； (2)从A到B的过程中，传送带对物块做的功。 (3)从A到B的过程中，物体和传送带间因摩擦产生的热量及物体和传送带间因摩擦所留在传送带上的划痕长度 【答案】：(1)；(2) -3.75J；(3) 3.75J，1m 【解析】：(1)由图像可知，物块在前0.5 s的加速度为 后0.5 s的加速度为 物块在前0.5 s受到的滑动摩擦力沿传送带向下，由牛顿第二定律得 物块在后0.5 s受到的滑动摩擦力沿传送带向上，由牛顿第二定律得 联立解得 (2)由v-t图像面积意义可知，在前0.5 s，物块对地位移为 则摩擦力对物块做功 在后0.5 s，物块对地位移为 则摩擦力对物块做功 所以传送带对物块做的总功联立解得 (3)由v-t图像可知，传送带的速率为 第一段过程传送带的对地位移为 从A到B的过程中，物体第一段和传送带间因摩擦产生的热量 第二段过程传送带的对地位移为 物体第二段和传送带间因摩擦产生的热量 从A到B的过程中，物体传送带间因摩擦产生的热量 第一段过程物体和传送带间因摩擦所留在传送带上的划痕长度 第二段过程物体和传送带间因摩擦所留在传送带上的划痕长度 此段划痕与第一段重叠，故从A到B的过程中留在传送带上的划痕长度 【变式训练2-1】如图所示，传送带的倾角（，从A到B长度为 16m，传送带以 10m/s 的速度逆时针转动。 时刻在传送带上A端无初速度地放一个质量 的黑色煤块， 时皮带被异物卡住不动了。 已知煤块与传送带之间的动摩擦因数为 ，煤块在传送带上经过会留下黑色划痕。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取）则（    ） A．煤块到达 B 点时的速度为 10m/s B．煤块从A到B的时间为3s C．煤块从A到B的过程中机械能减少了 12J D．煤块从A到B的过程中传送带上留下划痕的长度是16m 【答案】C 【详解】B．开始阶段，由牛顿第二定律得解得 煤块加速至传送带速度相等时需要的时间为 煤块发生的位移为 所以媒块加速到时仍未到达B点，此时皮带挒好被异物卡住不动了，此后摩擦力方向改变；第二阶段有 解得 设第二阶段煤块滑动到B点的时间为，则解得 则煤块从A到B的时间故B错误； A．根据得故A错误； D．第一阶段媒块的速度小于传送带速度，煤块相对传送带向上移动，煤块与传送带的相对位移大小为 故煤块相对于传送带上移；第二阶段媒块的速度大于传送带速度（为零），煤块相对传送带向下移动，媒块相对于传送带的位移大小为 即煤块相对传送带下移，故传送带表面留下黑色炭迹的长度为（前被覆盖），故D错误； C．煤块开始的机械能到达B点时机械能故C正确。故选C。 故C错误； D．根据题意，由能量守恒定律可知，多消耗的电能等于系统增加的机械能和内能之和，则有 故D错误。 故选A。 【变式训练2-2】如图甲所示，倾角为的传送带以恒定的速率v沿逆时针方向运行。时刻，质量的小物块以初速度从A端滑上传送带，小物块的速度随时间变化的图像如图乙所示，时小物块从B端滑离传送带。沿传送带向下为正方向，重力加速度g取，则（　　）    A．传送带的倾角 B．小物块对传送带做功 C．小物块在传送带上留下的痕迹长度为 D．小物块与传送带间因摩擦而产生的热量为 【答案】BC 【详解】A．由图示图象可知，物体先做初速度为2m/s的匀加速直线运动，速度达到传送带速度后（在t=0.25s时刻），由于重力沿斜面向下的分力大于摩擦力，物块继续向下做匀加速直线运动，从图象可知传送带的速度为4m/s； 开始匀加速运动的加速度 根据牛顿第二定律得 速度相等后，加速度 根据牛顿第二定律得 联立两式解得故A错误； B．小物块对传送带的摩擦力为 小物块对传送带做功为故B正确； CD．0~0.25s时间，小物块的位移为 相对位移 0.25s~1.25s时间，小物块的位移为 相对位移 所以小物块在传送带上留下的痕迹长度为；小物块与传送带间因摩擦而产生的热量 故C正确，D错误； 故选BC。 【变式训练2-3】如图所示，某工厂需要利用质量为300kg的物体B通过轻质绳及光滑定滑轮协助传送带将质量为200kg的物体A从传送带底端（与地面等高）由静止开始传送到距离地面H高处，已知传送带倾角为30°，与货物接触面间动摩擦因数为，传送带以5m/s的速度顺时针转动，物体B最初距离地面6.5m且落地后不反弹．某时刻将A释放，最终A刚好到达顶端，g取10m/s2。则（　　）    A．释放后瞬间物体A的加速度大小为a1=12.5m/s2 B．H=6.55m C．此过程中物体A会有2次与传送带达到共速 D．整个过程由于摩擦而产生的热量为J 【答案】BC 【详解】A．刚开始由于物体A的速度小于传送带速度，由牛顿第二定律，对A、B两物体分析，可得 解得故A错误； BC．物体A从静止加速至5m/s，发生的位移 物体A与传送带共速后，A继续加速，传送带给物体A向下的滑动摩擦力 解得 从物体A与传送带共速v1到物体B落地过程，设物体B落地瞬间速度大小为v2，则有 解得 物体B落地后，物体A向上做匀减速的加速度大小为 物体A从速度v2减速到再次与传送带共速，发生的位移为 物体A再次与传送带共速后，物体A继续向上做匀减速的加速度大小为 从共速v1到刚好到达顶端，发生的位移为 故整个过程物体A向上的位移为 可知高度故B、C正确； D．从开始到物体A与传送带第一次共速所用时间为 此过程物体A与传送带的相对位移大小为 此过程产生的内能为 从物体A与传送带共速到物体B落地过程，所用时间为 此过程物体A与传送带的相对位移大小为 此过程产生的内能为 物体A从速度v2减速到再次与传送带共速，所用时间为 此过程物体A与传送带的相对位移大小为 此过程产生的内能为 从再一次共速到刚好到达顶端，所用时间为 此过程物体A与传送带的相对位移大小为 此过程产生的内能为 故整个过程由于摩擦而产生的热量为故D错误。 故选BC。 【变式训练2-4】如图甲所示，浅色倾斜传送带两侧端点间距6m，皮带总长12m，倾角37°。t＝0时，一质量为1kg的煤块从传送带底部的A点，以10m/s的速度冲上传送带。t＝1s时，传送带开始沿顺时针方向匀加速转动，A点运动的v－t图像如图乙所示。煤块与传送带间动摩擦因数为0.5，传送轮和煤块大小均可以忽略（，，）。煤块在传送带上运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．煤块运动至最高点，位移为10m B．煤块在传送带上运动时间为2s C．煤块在传送带上留下的痕迹为12m D．煤块与传送带间产生的热量为90J 【答案】CD 【详解】A．煤块从传送带底部开始滑动，根据牛顿第二定律可知 解得煤块减速为零需要的时间 该过程煤块走过的位移为 由于 煤块减速为零后相对于皮带向下运动，所以煤块煤块运动至最高点，位移为5m，A错误； B．煤块速度减到零后开始向下运动，根据牛顿第二定律可知 解得 滑块下滑到传送带底端时解得 煤块在传送带上运动的总时间为B错误； C．有图乙可知，皮带的加速度为 煤块沿传送带下滑过程中皮带的位移 皮带的总长度为12m，所以划痕的长度为12m，C正确； D．煤块相对皮带运动的路程为 煤块与传送带间产生的热量为D正确。 故选CD。 【变式训练2-5】如图所示甲、乙两种粗糙面不同的传送带。倾斜于水平地面放置。以同样恒定速率向上运动。现将一质量为的小物体（视为质点）轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达处时恰好达到传送带的速率；在乙传送带上到达离竖直高度为的C处时达到传送带的速率。已知处离地面高度为，则在物体从A到的运动过程中（  ） A．两种传送带对小物体做功相等 B．将小物体传送到处，乙传送带上的划痕长 C．将小物体传送到处，乙系统由于摩擦产生的热量多 D．将小物体传送到处，甲上的小物体需要的时间较长 【答案】AD 【详解】A．传送带对物块做的功等于物块机械能的增加量，两种情况物块重力势能和动能增加量都相同，所以机械能增加量相同，所以两种传送带对小物体做功相等，A正确； B．设甲图中到达处时时间为，乙图中到达C处时时间为，根据题意可得乙图中物块到达C处后随传送带以速率匀速运动到B点，所以甲图中划痕长为 同理乙图中划痕长为 同时有， 可得所以有B错误； C．甲图中系统由于摩擦产生的热量为 根据动能定理有所以有 同理可得所以有C错误； D．传送到处，甲上的小物体需要的时间为 乙上的小物体需要的时间为 所以有D正确。故选AD。 【变式训练2-6】如图所示，工厂利用皮带传输机把货物从地面运送到高出水平地面的平台上，平台离地面的高度一定。运输机的皮带以一定的速度顺时针转动且不打滑。将货物轻轻地放在处，货物随皮带到达平台，货物在皮带上相对皮带滑动时会留下一定长度的痕迹。已知所有货物与皮带间的动摩擦因数为.若皮带的倾角、运行速度和货物质量都可以改变，且始终满足.可以认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力（　　） A．当倾角一定时，若增大运行速度，则运送时间一定变短 B．当倾角一定时，若增大运行速度，皮带上留下的痕迹一定变长 C．当倾角和速度一定时，货物质量越大，皮带上留下的痕迹越长 D．当倾角和速度一定时，货物质量越大，皮带上摩擦产生的热越多 【答案】BD 【详解】A．对物理受力分析，求得运动时加速度 ，倾角一定，加速度一定，物体可能先做匀加速直线运动，达到传送带速度后做匀速运动，也可能一直做匀加速直线运动。增大皮带运行速度，若物体先加速再匀速，平均速度增大，时间减少，若物体一直做匀加速，a不变，位移不变，时间也不变，故A错误； 【变式训练2-7】粮食事关国运民生，粮食安全是国家安全的重要基础。在大型粮仓系统中，常使用传送带来搬运粮食。如图甲所示，倾角为的传送带以恒定的速率逆时针方向转动，皮带始终是绷紧的，将质量的粮袋（可视为质点）轻放在传送带上的A端，经过1.2s到达传送带的B端。用速度传感器分别测得粮袋与传送带的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。已知重力加速度，，求： （1）A、B两点间的距离； （2）粮袋从A运动到B的过程中，粮袋与传送带间因摩擦产生的热量。    【答案】（1）3.2m；（2）120J 【详解】（1）由图像可知，A、B两点间的距离为 （2）由图像可知，在0~0.2s内，粮袋的加速度大小为 在0~1.2s内，粮袋相对传送带滑动的路程为 在0~0.2s内，由牛顿第二定律得解得 由功能关系可得，从A运动到B的过程中，粮袋与传送带间因摩擦产生的热量 代入数据，解得 【变式训练2-8】如图所示为把货物运送到车上，在车前架设一与水平面夹角为37°逆时针匀速转动的传送带，传送带长，传送带匀速运动的速度为，货物与传送带间的动摩擦因数，传送带不打滑。现在传送带底端由静止释放一货物，其质量为。已知重力加速度，，，货物可视为质点。求： （1）货物在传送带上的运动时间； （2）从货物滑上传送带到离开传送带该装运系统额外消耗的电能。 【答案】（1）；（2） 【规范答题】（1）对货物，根据牛顿第二定律 设匀加速运动时间为，则 匀加速运动的位移 达到与传送带速度相同后，货物匀速运动，设货物匀速运动时间为，则 货物在传送带上的运动时间 联立以上各式解得 （2）设货物匀加速运动时间内相对传送带的位移为，则有 此过程中因摩擦产生的热量为Q，则 每传送一只货物需额外消耗的电能为，由能量守恒定律得 其中， 解得 【变式训练2-9】如今网购已经与我们的生活密不可分，部分电商已经能够实现“今日达”。在包裹运输的自动化分拣环节中，皮带传输机起着重要的作用。如图所示，某传送带的倾角，顶端与底端的高度差m，以v＝3m/s的速度向上匀速运行，现将一件质量m＝5kg的货物（可视为质点）轻放在底端，若货物与传送带间的动摩擦因数，g取，求： （1）该件货物由底端经多长时间与传送带共速？ （2）该件货物由底端运送到顶端的过程中，摩擦力做了多少功？ （3）与未放货物相比，传送带电动机运输该件货物需多消耗多少电能？    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对货物进行受力分析，根据牛顿第二定律，有 代入数据解得 根据运动学规律 解得货物由底端到与传送带共速所需时间为 （2）加速过程货物位移 滑动摩擦力对货物做功为 匀速过程静摩擦力做功 全过程摩擦力做功 （3）加速过程货物相对传动带位移为 因此摩擦产生的热量为 电动机多消耗的电能为 【变式训练2-10】大型超市通常安装有倾斜自动扶梯以方便顾客的通行，如图所示，自动扶梯长L=6m，与水平面的夹角θ=30°，以速度v0=2m/s匀速向上运动，小李使用该扶梯运送两箱质量均为m=10kg的货物，某时刻小李将第一箱货物轻放在扶梯底端，待第一箱货物与扶梯共速时，小李沿扶梯向上用恒力F=110N推动第二箱货物，使其以速度v1=7m/s从底端沿扶梯匀速向上运动，两箱货物与扶梯间的动摩擦因数均为μ，取重力加速度g=10m/s2，货物可视为质点，若货物间发生碰撞则瞬间粘在一起。 （1）求动摩擦因数μ； （2）求第一箱货物从出发到与传送带共速过程中摩擦产生的热量Q1； （3）若第二箱货物匀速运动，∆t=0.28s后，推力调整为F=35N，试判断两箱货物能否在扶梯上发生碰撞，若能发生碰撞，求碰撞过程中损失的能量Q2。 【答案】（1）；（2）120J；（3）40J 【详解】（1）第二箱货物做匀速直线运动，受力平衡，有 货物受到的摩擦力为解得 （2）对第一箱货物有根据动力学公式 解得 对扶梯有 第一箱货物从出发到与传送带共速过程中摩擦产生的热量为 （3）第二箱货物匀速运动∆t=0.28s后，两箱货物相距 推力F改变后，对第二箱货物 解得 假设两箱货物可以发生碰撞，设从∆t=0.28s后至两箱货物相碰经历的时间为，则有 解得 全过程第一箱货物的位移 假设成立，即两箱货物能发生碰撞，碰撞时第二箱货物的速度 两箱货物发生碰撞，有 碰撞过程中损失的能量 【变式训练2-11】机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率v1=0.6m/s逆时针运行的传送带与水平面间的夹角，转轴间距L=3.95m。工作人员沿传送方向以速度v2=1.6m/s从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。已知小包裹的质量为m=1.0kg，小包裹与传送带间的动摩擦因数μ=0.8。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小包裹通过传送带所需的时间t； （2）小包裹与传送带之间因摩擦产生的热量Q和小包裹通过传送带时摩擦力对它做的功Wf。 【答案】（1）4.5s；（2）8.0J，-24.8J 【详解】（1）小包裹的速度大于传送带的速度，则小包裹受到传送带的摩擦力沿传送带向上，根据牛顿第二定律可知解得 可知小包裹开始阶段在传送带上做匀减速直线运动，根据运动规律，减速时间和位移大小为 小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传送带方向下的分力，即 则小包裹与传送带共速时摩擦力发生动-静突变，之后做匀速直线运动至传送带底端，匀速运动的时间为 小包裹通过传送带的时间为 （2）小包裹减速运动时受滑动摩擦力f1作用，匀速运动时受静摩力f2作用，都做负功 根据功能关系，小包裹与传送带之间因摩擦产生的热量为 根据功的概念，小包裹通过传送带时摩擦力对它做的功为 【变式训练2-12】人们用传送带从低处向高处运送货物，如图所示，一长的倾斜传送带在电动机带动下以速度沿顺时针方向匀速转动，传送带与水平方向的夹角，某时刻将质量为的货物A轻轻放在传送带底端，已知货物A与传送带间的动摩擦因数，取，，重力加速度。 （1）求货物A刚开始运动时的加速度大小及在传送带上运动的时间； （2）为了提高运送货物的效率，人们采用了“配重法”，即将货物A用跨过定滑轮的轻绳与质量为的重物B连接，如图中虚线所示，A与定滑轮间的绳子与传送带平行，不可伸长的轻绳足够长，不计滑轮的质量与摩擦，在A运动到传送带顶端前重物B都没有落地，求： ①货物A在传送带上运动的时间； ②货物A在传送带上运动过程中摩擦力对其做的功。 【答案】（1），；（2）①3.5s，②432J 【详解】（1）对货物A受力分析，由牛顿第二定律解得 设货物一直加速，则由运动学公式有解得 此时货物A的速度为 符合题意。 （2）①对货物A受力分析，由牛顿第二定律 对重物B受力分析，由牛顿第二定律 联立解得 当达到与传送带共速时间为 货物A运动的位移为 之后匀速，则匀速的时间为 则货物A从底端到达顶端所需的时间为 ②在货物A加速阶段，摩擦力为 摩擦力对其做的功为 在货物A匀速阶段，摩擦力为 则摩擦力对其做的功为 即货物A在传送带上运动过程中摩擦力对其做的功为 工料的速度从增大到的位移满足 则传送带A、B两端间的距离为 解得m 【变式训练2-13】如图甲所示，足够长的倾斜直传送带以速度沿顺时针方向运行，可视为质点的物块在时刻以速度从传送带底端开始沿传送带上滑，物块的质量。物块在传送带上运动时传送带对物块的摩擦力的功率与时间的关系图像如图乙所示，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。求： （1）倾斜传送带与水平方向的夹角θ和物块与传送带间的动摩擦因数μ （2）物块与传送带间的划痕长度L （3）0—0.4s内物块机械能的变化量 【答案】（1），；（2）；（3） 【规范答题】（1）由题图乙可得，0~0.2 s内 滑动摩擦力的功率为 当时，代入数据得 物块匀速运动时受到静摩擦力的作用，摩擦力的功率 代入数据得 解得 ， （2）由图像可知物块与传送带间的划痕长度为 （3）0—0.4s内物块动能的变化量为 物体运动距离为 物块重力势能的变化量为 则机械能的变化量为 【变式训练2-14】如图所示，某快递中转站里有一传送带与水平面之间的夹角为，其两端A、B两点间的距离为，传送带在电动机的带动下以的速度顺时针匀速运动。现将一质量为的快递包裹（视为质点）轻放在传送带上的A点，已知包裹与传送带之间的动摩擦因数，包裹在从A点到B点的运动过程中一直加速，且传送带速度始终不变。g取，求： （1）包裹获得的加速度大小； （2）包裹的机械能增加量； （3）电动机因运送该包裹而多输出的能量。 【答案】（1）2.5m/s2；（2）13.5J；（3）27J 【详解】（1）对包裹根据牛顿第二定律 解得a=2.5m/s2 （2）到达B点时的速度 包裹的机械能增加量 （3）包裹与传送带之间由于摩擦产生的热量 电动机因运送该包裹而多输出的能量 【变式训练2-15】如图所示，一足够长的倾斜传送带以速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转动，传送带与水平方向的夹角θ=37°。质量m1=5kg的小物块A和质量m2=5kg的小物块B由跨过定滑轮的轻绳连接，A与定滑轮间的绳子与传送带平行，轻绳足够长且不可伸长。某时刻开始给物块A以沿传送带方向的初速度v0=8m/s（此时物块A、B的速率相等，且轻绳绷紧），使物块A从传送带下端冲上传送带，已知物块A与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，不计滑轮的质量与摩擦，整个运动过程中物块B都没有上升到定滑轮处。取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，求 （1）物块A刚冲上传送带时加速度的大小及方向； （2）物块A冲上传送带沿传送带向上运动的最远距离及此过程中传送带对物块A做的功； （3）若传送带以不同的速率v（0<v<v0）沿顺时针方向转动，当v取多大时，物块A沿传送带运动到最远处过程中与传送带因摩擦产生的热量有最小值，请求出最小值。 【答案】（1）10m/s2，方向沿传送带向下；（2），；（3）3m/s，40J 【规范答题】（1）物块A刚冲上传送带时，A受重力、垂直于传送带斜向左上方的支持力、沿传送带向下的摩擦力和沿绳向下的拉力，根据牛顿第二定律有 B受向下的重力和沿绳向上的拉力，根据牛顿第二定律有 联立以上两式解得 故物块A刚冲上传送带时的加速度大小为10m/s2，方向沿传送带向下； （2）物块减速到与传送带共速后，物块继续向上做匀减速直线运动 对A物块，根据牛顿第二定律 对B物块，根据牛顿第二定律 联立上式解得 当物块A的速度减为零时，其沿传送带向上运动的距离最远，故 代入数据解得 此过程中传送带对物块A做的功 解得 （3）共速之前物块A与传送带的相对位移为 则共速之前摩擦生热为 同理，共速后有 此过程摩擦生热为 故物块A运动到最远处的生热为 根据二次函数的知识，有 【变式训练2-16】如图，相距L=11.5m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定。质量m=10 kg的载物箱（可视为质点），以初速度v0=5.0 m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数μ= 0.10，重力加速度取g =10m/s2。 (1)若v=4.0 m/s，求载物箱通过传送带所需的时间； (2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度； (3)若v=6.0m/s，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。 【答案】(1)2.75s；(2) ， ；(3)0，方向竖直向上 【详解】(1)传送带的速度为时，载物箱在传送带上先做匀减速运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有： ① 设载物箱滑上传送带后匀减速运动的距离为x1，由运动学公式有② 联立①②式，代入题给数据得x1=4.5m；③ 因此，载物箱在到达右侧平台前，速度先减小至v，然后开始做匀速运动，设载物箱从滑上传送带到离开传送带所用的时间为t1，做匀减速运动所用的时间为t2，由运动学公式有 ④ ⑤ 联立①③④⑤式并代入题给数据有t1=2.75s；⑥ (2)当载物箱滑上传送带后一直做匀减速运动时，到达右侧平台时的速度最小，设为v1，当载物箱滑上传送带后一直做匀加速运动时，到达右侧平台时的速度最大，设为v2.由动能定理有 ⑦ ⑧ 由⑦⑧式并代入题给条件得 ，⑨ (3)传送带的速度为时，由于，载物箱先做匀加速运动，加速度大小仍a。设载物箱做匀加速运动通过的距离为x2，所用时间为t3，由运动学公式有 ⑩ ⑪ 联立①⑩⑪式并代入题给数据得 t3=1.0s⑫ x2=5.5m⑬ 因此载物箱加速运动1.0s、向右运动5.5m时，达到与传送带相同的速度。此后载物箱与传送带共同匀速运动的时间后，传送带突然停止，设载物箱匀速运动通过的距离为x3有 ⑭ 由①⑫⑬⑭式可知 即载物箱运动到右侧平台时速度大于零，设为v3，由运动学公式有， ⑮则 减速运动时间 设载物箱通过传送带的过程中，传送带在水平方向上和竖直方向上对它的冲量分别为I1、I2。由动量定理有 ，方向竖直向上 则在整个过程中，传送带给载物箱的冲量 ，方向竖直向上 【变式训练2-17】如图所示，传送带的水平部分ab长度，倾斜部分bc长度，bc与水平方向的夹角为θ＝37°。传送带沿图示顺时针方向匀速率运动，速率v＝4m/s，现将质量m＝2kg的小煤块（视为质点）由静止轻放到a处，之后它将被传送到c点，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，且此过程中小煤块不会脱离传送带，取重力加速度大小，求： （1）煤块从a运动到c的时间； （2）煤块在传送带上留下的黑色痕迹的长度； （3）煤块与传送带间的摩擦生热。 【答案】（1）5.5s；（2）8.8m；（3） 【详解】（1）煤块在水平部分的运动时，由牛顿第二定律 可得煤块运动的加速度 煤块从静止加速到与传送带共速的距离为 故煤块在水平部分先加速，后匀速运动，加速时间的时间为 匀速运动的时间 在倾斜传送带上，由于 故煤块在斜传送带上做加速运动，由牛顿第二定律 可得煤块在倾斜传送带上的加速度为 根据匀加速运动的位移与时间的关系有解得或（舍去） 故煤块从a运动到c的时间 （2）煤块在水平传送带的相对位移为 煤块在倾斜传送带的相对位移为 由于与是重复痕迹，故煤块在传送带上留下的黑色痕迹长度为8.8m。 （3）煤块在水平传送带的摩擦生热其中 解得 煤块在倾斜传送带的摩擦生热其中解得 故 【变式训练2-18】如图，一汽缸质量为M=15kg（不含活塞），汽缸中光滑活塞质量m=5kg、横截面积S=10cm2，汽缸内封闭了一定质量的理想气体，不计活塞厚度且汽缸导热性良好，一倾角θ=37°的足够长斜置传送带以速度v=2m/s顺时针匀速运行。将汽缸开口沿传送带向下、一侧面轻放在底端，汽缸沿斜面向上运动，刚开始一段时间内，汽缸内封闭气柱长L1=7cm，一段时间后活塞上升△L=2mm。大气压强恒为p0=1105Pa，环境温度保持不变，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求汽缸与传送带的动摩擦因数μ； （2）求整个过程汽缸与传送带产生的热量Q。 【答案】（1）0.8；（2）640J 【规范答题】（1）汽缸轻放在传送带上向上加速，以活塞为研究对象，设该阶段汽缸内的压强为，根据牛顿第二定律得 当汽缸的速度达到与传送带速度一样时，开始向上匀速运动，设该阶段汽缸内的压强为，根据平衡条件得 根据玻意耳定律得解得 在开始加速阶段以汽缸为研究对象，有 解得 （2）设汽缸加速位移为 传送带在汽缸加速过程中的位移 整个过程汽缸与传送带产生的热量解得 【变式训练2-19】足够长的传送带与水平面间的夹角，传送带以的速度沿逆时针方向匀速转动。用胶水把质量的两个完全相同的物块上下粘在一起形成一个组合体，时，把组合体无初速度放在传送带的顶端，如图所示。已知物块与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）整个过程物块和传送带由于摩擦产生的内能； （2）下面物块在粘接处给上面物块的作用力的大小。 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（1）把组合体无初速度放在传送带的顶端，根据牛顿第二定律可得 解得组合体的加速度为 组合体从放在顶端到与传送带公式所用时间为 组合体与传送带共速前发生的相对位移为 由于 可知组合体与传送带共速后相对静止一起匀速运动，故整个过程物块和传送带由于摩擦产生的内能为 （2）组合体与传送带共速前，以上面物块为对象，有 ，解得 则组合体与传送带共速前，下面物块在粘接处给上面物块的作用力的大小为 组合体与传送带共速后，滑块与传送带相对静止做匀速运动，以上面物块为对象，有 ， 则组合体与传送带共速后，下面物块在粘接处给上面物块的作用力的大小为 【变式训练2-20】如图所示，静止的粗糙传送带与水平面夹角为，传送带顶端到底端的距离为L=14.25m，平行于传送带的轻绳一端连接质量为m1=0.3kg的小物体A，另一端跨过光滑定滑轮连接质量为m2=0.1kg的小物体B，在外力的作用下，小物体A静止于传送带的顶端。t=0时，撤去外力，同时传送带从静止开始以加速度大小为a0=7m/s2、顺时针方向匀加速转动，传送带速率达到v=7m/s后匀速转动。已知小物体A与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，小物体B始终未与定滑轮相撞，重力加速度大小为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）传送带匀加速转动瞬间，小物体A加速度的大小； （2）小物体A从传送带顶端运动到底端的时间。 【答案】（1）3.5m/s2；（2）3s 【详解】（1）设小物块A加速度的大小为a1，绳子的拉力为T1，则对A物体列牛顿第二定律 对B物体列牛顿第二定律解得 （2）从静止到速度等于7m/s的过程有 当A、B整体的速度等于7m/s时，摩擦力会改变方向，设小物块A此时的加速度为a2，绳子的拉力为T2，则对A物体列牛顿第二定律 对B物体列牛顿第二定律 解得 所以，总时间为 【变式训练2-21】传送带是建筑工地常见的运输装置，如图所示为传送带的简易图，传送带的倾角为，以的速度顺时针匀速转动，工人将质量的工料（可视为质点）轻轻地放到传送带的底端，并用平行于传送带的轻绳拴接在工料上，启动电动机，电动机对工料提供的牵引力恒为，经过关闭电动机，一段时间后工件刚好到达传送带的最高点。已知工料与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度，不计空气阻力。求： （1）经过时间时，工料的速度大小； （2）传送带两端间的距离。 【答案】（1）10m/s；（2）31.25m 【详解】（1）工料放上传送带后，对工料受力分析，如图所示． 由牛顿第二定律得又 解得 工料向上加速运动，经时间与传送带共速，则有 此后摩擦力突变为沿传送带向下由牛顿第二定律得 解得 方向沿传送带向上；再经的时间关闭发动机，此时工料的速度为 （2）关闭发动机后，由于工料的速度大于传送带的速度，摩擦力方向仍沿传送带向下， 由牛顿第二定律得解得 方向沿传送带向下 由前可知，工料在时间内通过的位移为 工料在时间内的位移为 关闭发动机后，工料向上做减速运动，经时间工料与传送带共速，则 该时间内工料的位移为 工料与传送带再次共速后，工料所受的摩擦力沿传送带向上，则由牛顿第二定律得 解得方向沿传送带向下； 此后工料一直减速到0刚好运动到最高点，工料经时间速度减为零，则有 该时间内工料的位移为 则传送带的两端间的距离为 【变式训练2-22】如图所示，倾角的传送带，正以速度顺时针匀速转动。长度，质量为m的木板轻放于传送带顶端，木板与传送带间的动摩擦因数，当木板前进时机器人将另一质量也为m（形状大小忽略不计）的货物轻放在木板的右端，货物与木板间的动摩擦因数，从此刻开始，每间隔机器人将取走货物而重新在木板右端轻放上相同的货物（一共放了两次货物），重力加速度为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，传送带足够长，求： （1）木板前进时的速度大小； （2）取走第一个货物时，木板的速度大小； （3）取走第二个货物时，木板的速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【规范答题】（1）木板放在传送带上受到重力、支持力和沿传送带向下的滑动摩擦力作用 根据牛顿第二定律有 代入数据，解得 前进3m，由位移速度关系 代入数据，木板前进时的速度大小 （2）放上货物后，货物受重力、支持力、滑动摩擦力作用 向下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 代入数据，解得 木板受到重力、压力、支持力、货物对木板向上的摩擦力和皮带对木板向下的摩擦力 因为 木板向下做减速运动，根据牛顿第二定律 解得0.5 货物加速，木板减速，当两者速度相等时解得s， 之后，两者一起匀加速到与传送带共速，则有 再次加速至与传送带共速，则有 与传送带共速后木板与货物一起继续匀加，则有 解得 则整体继续向下加速0.5s，则此时速度为 取走第一个货物时，木板的速度大小为； （3）取走第一个货物，轻放上第二货物时，对货物有 对木板有 且木板以做匀减速运动，设木板与传送带共速时，则有 此时货物的速度为 则木板与传送带先共速，接下来传送带仍以原加速度匀加，木板以 做匀减速，直至二者共速，则有 解得， 二者共速后的加速度为 再次加速至与传送带共速的时间 与传送带共速后木板与货物一起继续匀加，则有 取走货物时 【变式训练2-23】如图所示，倾斜传送带与水平地面的夹角，底端A点到顶端B点间传送带长度，B端与一水平台面平滑连接，传送带以的恒定速率沿顺时针方向运动。在A端轻放质量为的小滑块（可视为质点），一段时间后小滑块被运送到B端，然后做抛体运动，最终落到水平台面上。已知小滑块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度g取。求： （1）小滑块在传送带上的运动时间； （2）小滑块在平台上的落点与B点的距离。（结果可用根式表示） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）以小滑块为研究对象，在传送带上匀加速运动的过程，由牛顿第二定律可得 解得小滑块匀加速运动的时间为 小滑块匀加速运动的位移为 则小滑块匀速运动的时间为 故小滑块在传送带上的运动时间为 （2）小滑块到达B点后做抛体运动，将小滑块在B点的初速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可得 由抛体运动的对称性可知，小滑块在空中的运动时间为 小滑块在平台上的落点距B点的距离 题型03:传送带与曲线 【典型例题1】如图所示，一质量为kg的滑块从半径为m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A处由静止滑下，A点和圆弧对应的圆心O点等高，圆弧的底端B与水平传送带平滑相接。已知传送带匀速运行的速度为m/s，B点到传送带右端C的距离为m，当滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同（）。 以下说法正确的是（　　） A．滑块滑到B点时对轨道的压力大小为20N B．滑块与传送带之间的动摩擦因数为0.3 C．运动过程中，滑块和传送带间产生的摩擦热为12J D．以上说法都不正确 【答案】B 【详解】A．滑块从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得 解得 在B点，由牛顿第二定律得代入解得 由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小为故A错误； BD．滑块从B运动到C的过程中，根据牛顿第二定律得 又联立以上两式解得故B正确，D错误； C．设滑块从B运动到C的时间为t，加速度 由得 在这段时间内传送带的位移为 传送带与滑块的相对位移为 故滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量故C错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，光滑的圆弧轨道竖直放置，在右侧点与一倾斜传送带相切。为圆弧轨道最低点，圆弧所在圆的圆心为，水平，。一质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最左端以的初速度向下运动。已知圆弧轨道半径，传送带，在电机驱动下始终以速度顺时针匀速转动（与轮子间无相对滑动），小物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度取，，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）小物块下滑到点时轨道对物块的支持力的大小； （2）小物块从滑上传送带减速至与传送带运动速度相等过程的时间； （3）传送带在传送小物块过程中，因摩擦力做功而产生的热量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【规范答题】（1）小物块从到过程，根据动能定理可得 解得 小物块下滑到点时，根据牛顿第二定律可得 解得 （2）小物块从到过程，根据动能定理可得解得 小物块在传送带减速过程的加速度大小为 小物块减速至与传送带运动速度相等过程的时间为 （3）小物块减速至与传送带运动速度相等过程的位移为 此过程传送带的位移为 小物块与传送带发生的相对位移为 小物块与传送带速度相同后，由于 可知共速后小物块与传送带保持相对静止，一直匀速运动到传送带顶端，故传送带在传送小物块过程中，因摩擦力做功而产生的热量为 【变式训练3-1】如图所示，半径的光滑半圆形轨道竖直固定，它的最底端跟水平传送带的B端平滑连接，轨道上C点和圆心O的连线与水平方向成角。将小滑块（视为质点）无初速度放在传送带A端，同时对小滑块施加水平向右的恒力，当小滑块到达传送带B端时，撤去恒力F。已知小滑块的质量，与传送带之间的动摩擦因数；传送带的长度，始终以的速度顺时针转动，取重力加速度，，。求： （1）小滑块在传送带上的运动时间； （2）小滑块在C点对轨道的压力大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小滑块刚放上传送带时，受力分析如图所示 根据牛顿第二定律解得 设小滑块达到与传送带共同速度所用时间为，该段时间内的位移为，则有， 解得， 达到共同速度后，对小滑块受力分析如图所示 根据牛顿第二定律解得 设小滑块又经时间到达传送带B端，则有解得 那么小滑块在传送带上运动的时间为解得 （2）设小滑块到达传送带右端时的速度为，则有 小滑块沿半圆形轨道滑至C点的过程，根据机械能守恒定律 在轨道上C点，设小滑块受到的弹力为，根据牛顿第二定律 联立解得 根据牛顿第三定律，小滑块在C点对轨道的压力大小 【变式训练3-2】如图，相距的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接．传送带向右匀速运动，根据需要设定驱动系统的速度大小。质量的货物（可视为质点）放在距传送带左侧处的P点，右侧平台的人通过一根轻绳用恒力水平向右拉货物。已知货物与平台间的动摩擦因数，货物与传送带间的动摩擦因数，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。求： （1）货物运动到传送带左端时的速度大小； （2）货物在传送带上运动的时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据牛顿第二定律 得货物在左端平台上时加速度为 由运动学规律有， 解得货物运动到传送带左端时的速度大小为 （2）由于，故可知货物滑上传送带后受到的摩擦力向左，此时 加速度为 故货物开始做匀减速运动，设经过时间与传送带共速，得 该段时间货物位移为 共速后货物匀速运动，设再经过时间到达传送带右端，得 故货物在传送带上运动的时间为 【变式训练3-3】某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系，建立如图所示的物理模型．竖直平面内有一倾角θ=37°的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过．转轮半径R=0.4m、转轴间距L=2m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H=2.2m．现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右．已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5．（sin37°=0.6） （1）若h=2.4m，求小物块到达B端时速度的大小； （2）若小物块落到传送带左侧地面，求h需要满足的条件 （3）改变小物块释放的高度h，小物块从传送带的D点水平向右抛出，求小物块落地点到D点的水平距离x与h的关系式及h需要满足的条件． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）物块由静止释放到B的过程中： 解得vB=4m/s （2）左侧离开，D点速度为零时高为h1 解得h<h1=3.0m （3）右侧抛出，D点的速度为v，则 x=vt可得 为使能在D点水平抛出则： 解得h≥3.6m 【变式训练3-4】轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。 (1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离； (2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。 【答案】：　(1)　2l　(2)m≤M＜m 【解析】：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为Ep＝5mgl① 设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得Ep＝Mv＋μMg·4l② 联立①②式，取M＝m并代入题给数据得vB＝③ 若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足 －mg≥0④ 设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得 mv＝mv＋mg·2l⑤ 联立③⑤式得vD＝⑥ vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2l＝gt2⑦ P落回到AB上的位置与B点之间的距离为x＝vDt⑧ 联立⑥⑦⑧式得x＝2l⑨ (2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知5mgl＞μMg·4l⑩ 要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有 Mv≤Mgl⑪ 联立①②⑩⑪式得m≤M＜m⑫ 题型04：传送带与动量 【典型例题1】生产、运输过程中常常利用传送带运输物品。如题图所示，某场地利用倾斜的传送带将一物品从低处运往高处，在物品随传送带一起向上匀速运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．传送带对物品做正功 B．传送带对物品不做功 C．物品重力不做功 D．物品重力的冲量为零 【答案】A 【详解】AB．在物品随传送带一起向上匀速运动过程中，物品机械能增加，传送带对物品做正功，故A正确，B错误； C．物品克服重力做功，故C错误； D．根据 可知物品重力的冲量不为0，故D错误。 故选A。 【典型例题2】如图所示，在竖直平面内有一倾角的传送带，两皮带轮轴心之间的距离，沿顺时针方向以匀速运动，一质量的物块P从传送带顶端无初速度释放，物块与传送带间的动摩擦因数。物块P离开传送带后在C点沿切线方向无能量损失地进入半径为的光滑圆弧形轨道，并与位于圆弧轨道最低点F的物块Q发生碰撞，碰撞时间极短，物块Q的质量，物块P和Q均可视为质点，重力加速度，，。则（　　） A．物块P到达C点时的速度一定为4m/s B．物块P从释放到下滑到C点的过程中系统增加的内能为9.6J C．物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P的速度可能为1.5m/s D．物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P对轨道的压力大小可能为35N 【答案】ABD 【详解】A．物块P与传送带没有达到共速前，物块P受摩擦力方向沿传送带向下，设其加速度为a1，由牛顿第二定律可得， 物块P与传送带达到共速所用时间 物块P在传送带上的位移为 物块P与传送带达到共速后，由于 可知摩擦力方向沿传送带向上，设此时物块P的加速度为a2，由牛顿第二定律可得 ，解得 物块P在传送带上运动的距离为 设物块P运动到传送带底端C点时的速度为v1，由速度位移关系公式可得 A正确； B．物块P与传送带达到共速时，传送带的位移为 物块P与传送带达到共速后到滑到C点时所用时间 在1s时间内传送带的位移为 物块P与传送带相对位移为 物块P从释放到下滑到C点的过程中系统增加的内能为 B正确； C．设物块P运动到F点时的速度为v2，由动能定理可得，解得 若物块P与物块Q产生完全弹性碰撞，设物块P碰撞后的速度为v3，物块Q碰撞后速度为v4，两物块碰撞中动量守恒和机械能守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得 ，解得 若物块P与物块Q产生完全非弹性碰撞，则有，解得 可知 因此物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P的速度不可能是1.5m/s，C错误； D．在F点，由牛顿第二定律可得，解得 由牛顿第三定律可知，物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P对轨道的压力大小可能为35N，D正确。 故选ABD。 【典型例题3】如图所示，光滑水平面AB的左侧有一固定的竖直挡板，在 B端放置两个滑块，滑块甲的质量 滑块乙的质量 两滑块间固定一压缩弹簧（图中未画出），弹簧储存的弹性势能EP=48J，水平面 B 端紧靠倾角 的传送带，传送带与水平面通过 B端小圆弧平滑连接，传送带以速率 逆时针转动。现解除滑块间弹簧，两滑块分别向左、右弹开，滑块乙经过 B 处冲上传送带，恰好到达C端，然后返回到 B端。已知光滑水平面A、B长度为滑块与传送带间的动摩擦因数 重力加速度 g取10m/s2，滑块甲与竖直挡板、两滑块间的碰撞均为弹性碰撞，滑块通过 B 处时无机械能损失，两滑块均可看作为质点。求： （1）B、C两端传送带的长度L； （2）滑块乙从 B端滑上传送带到第一次回到 B 端的时间t； （3）滑块乙第一次返回到 AB面上后与滑块甲碰撞的位置。 【答案】（1）3.2m；（2）2s；（3）在距B端 1m处 【详解】（1）两物块在弹开过程中，根据动量守恒，得弹簧储存的弹性势能 联立解得 设滑块乙上滑过程中的加速度大小为 a1，根据牛顿第二定律，有解得 滑块乙上滑过程中做匀减速运动直至速度减为零，有 （2）设滑块乙从 B 点运动到C 点所用时间为 t1，有 滑块乙下滑过程中，受力分析可知，刚开始下滑阶段加速度大小为 设滑块乙从 C点向下加速到与传送带速度相同的时间为t2，位移为 x1，根据运动学有 解得 由于 mgsinθ>μmgcosθ，滑块乙继续向下加速，设加速度大小为 a3，运动到 B 点所用时间为t3，根据牛顿第二定律，有解得 由运动学，有解得 则滑块乙从 B 端滑上传送带到第一次回到 B 端的时间 （3）滑块乙回到 B端的速度大小为 在滑块乙回到B端的过程中，滑块甲通过的路程为S甲=v甲t=8m 此时滑块甲与挡板碰撞后返回到距B端2m处，由于 可知两滑块在距 B端 1m 处发生碰撞。 【典型例题4】根据国家邮政局公布的数据，2021年全年，我国快递业务量达1083亿件，同比增长29.9％，包裹数量占全球一半以上。如此巨大的业务量需要依靠智能、高效的分拣系统来完成，传送带就被广泛地应用在该系统中。现将某快递智能分拣系统的一部分简化成如图（b）所示的模型，倾斜传送带上下端A、B间的距离为L=1m，与水平面的夹角θ＝37°，传送带以v0＝5m/s的速度沿顺时针方向匀速转动。光滑水平面上放置一右端带有竖直挡板的平板小车，总质量为M=6kg，小车左端与传送带的B端通过一小段可忽略的光滑轨道（未画出）平滑连接。将可视为质点的质量为m=2kg的包裹从传送带的上端A处由静止释放，离开传送带后水平滑上静止的小车，一段时间后与右侧挡板发生弹性碰撞，最终包裹恰好未从小车上滑落。已知包裹与传送带间的动摩擦因数μ1=0.25，与小车间的动摩擦因数μ2=0.3，不计空气阻力，重力加速度大小取g=10m／s2，求： （1）小车的长度d； （2）包裹从A点释放到相对小车静止过程中因摩擦而产生的内能Q。 【答案】（1）；（2） 【规范答题】（1）包裹刚放到传送带上时，由牛顿第二定律 解得 假设包裹从A到B一直做匀加速运动，则解得 因为，故假设成立，包裹一直加速到B点，速度为 包裹滑上小车后系统动量守恒，设最终共同速度为，则解得 由能量守恒可得解得 （2）设包裹在传送带上运动时间为t，则解得得所以包裹相对传送带运动的距离为 由能量守恒，故包裹因摩擦而产生的内能为 【变式训练4-1】如图，长为的传送带以大小为的速度沿顺时针方向匀速转动，一足够长的长木板紧靠传送带右端放在光滑的水平面上，长木板的上表面与传送带的上表面在同一水平面上，水平地面右侧有一竖直固定的弹性挡板。一可视为质点、质量为的物块轻放在传送带的左端A，随传送带运动到端，以速度滑上长木板，并与长木板一起向右运动，长木板与挡板第一次碰撞前物块与长木板已达到共同速度。已知长木板的质量为，物块与长木板间的动摩擦因数为0.4，长木板与挡板碰撞是弹性碰撞，重力加速度为。求： （1）物块与传送带的动摩擦因数至少为多少；物块在传送带上运动的时间最长为多少； （2）开始时，长木板的右端离挡板的距离至少为多少； （3）长木板与挡板第次碰撞前一瞬间，长木板的速度为多大。    【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）物块以速度v滑上长木板，设物块与传送带的动摩擦因数至少为，由牛顿第二定律及匀变速直线运动规律得，，解得 物块在传送带上一直加速时运动的时间最长，最长时间为 （2）物块第一次在木板上滑动的过程中，由动量守恒定律得 设此过程中木板的位移为x，对木板由动能定理得，解得 即开始时长木板的右端离挡板的距离至少为 （3）长木板与挡板第一次碰撞到第二次碰撞，由动量守恒定律得 长木板与挡板第二次碰撞到第三次碰撞，由动量守恒定律得 可知，长木板与挡板第次碰撞前一瞬间，长木板的速度为 【变式训练4-2】如图所示，水平平台上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点，平台AB段光滑，BC段长度x＝1 m，与滑块间的动摩擦因数μ1＝0.25。平台右端与水平传送带相接于C点，传送带顺时针旋转，运行速度v＝2 m/s，长度L＝2.75 m，与滑块间的动摩擦因数μ2＝0.2，传送带右端D点与竖直固定放置的光滑圆弧形轨道刚好相切，光滑圆弧的半径R＝0.2 m。现将一质量m1＝2 kg的滑块P向左压缩轻弹簧到某处锁定，此时弹簧的弹性势能Ep＝41 J，然后突然解除锁定，滑块P开始运动，并最终与静止在D点的质量为m2的滑块Q发生弹性碰撞(碰撞时间极短)。已知重力加速度g＝ 10 m/s2，不计空气阻力，滑块P和Q均可看成质点。 (1)求滑块P到达C点时的速度vC； (2)求滑块P第一次经过传送带的过程中，系统因摩擦产生的内能E内； (3)若滑块Q的质量m2可以改变，要使滑块Q在中途不脱离圆弧形轨道，则滑块Q的质量m2的范围为多少？(结果可带根号) 【思路分析】首先应用能量守恒求出初速度，在根据假设法判断物块在传送带上的运动形式然后应用牛顿第二定律及运动学公式求解位移和相对位移再由功能关系求内能；物块离开传送带后根据碰撞规律求解速度，在分类讨论物块不脱离轨道的情境在应用动能定理列式求解。 【答案】　(1)6 m/s　(2)7 J (3)0<m2≤(2－2)kg或m2≥8 kg 【解析】　(1)以滑块P为研究对象，从释放到运动到C点的过程中，根据能量守恒定律有Ep－μ1m1gx＝m1v 解得vC＝6 m/s。 (2)假设滑块P从C到D一直减速，根据动能定理有 －μ2m1gL＝m1v－m1v 解得vD＝5 m/s>v，假设正确。 设滑块P在传送带上做匀减速运动，加速度的大小为a，根据牛顿第二定律有 μ2m1g＝m1a，解得a＝2 m/s2 设滑块P在传送带上运动时间为t，则 vD＝vC－at，解得t＝0.5 s 传送带在t时间内所走的位移为x＝vt＝1 m 滑块P相对于传送带所运动的位移为 Δx＝L－x＝1.75 m 所以经过传送带过程中系统因摩擦产生的内能为E内＝μ2m1gΔx，E内＝7 J。 (3)滑块P和Q在D点发生弹性碰撞，设碰撞后滑块P的速度为vD′，滑块Q的速度为v′，对系统由动量守恒定律得 m1vD＝m1vD′＋m2v′ 由机械能守恒定律得 m1v＝m1vD′2＋m2v′2 联立解得v′＝vD＝(m/s) ①设滑块Q在E点的速度为vE时，恰好通过圆弧最高点，此时Q在D点的速度为vD′，由重力提供向心力得m2g＝m2 滑块Q从D点运动到E点的过程中，由动能定理得 －m2g·2R＝m2v－m2vD′2 解得vD′＝ m/s 所以滑块Q在D点时的速度v′≥ m/s 联立解得0<m2≤(2－2)kg。 ②设滑块Q恰好运动到圆弧处速度为零，此时Q在D点的速度为vD″ 此过程由动能定理得 －m2gR＝0－m2vD″2，解得vD″＝2 m/s 所以滑块Q在D点时的速度0<v′≤2 m/s 联立解得m2≥8 kg 综上所述，滑块Q的质量m2的范围为 0<m2≤(2－2)kg或m2≥8 kg。 【变式训练4-3】图为某一食品厂生产流水线的一部分，AB是半径为R的光滑半圆轨道，产品2加工后以的速率从A点沿半圆轨道下滑，到达轨道最低点B处时，与静止在此处的产品1发生弹性碰撞（假设每一个产品的质量均为m），被碰后的产品1沿粗糙的水平轨道BC滑动，以的速度滑上运行速度为v的传送带CD。其中BC段为生产线中的杀菌平台，长度为4R，传送带的摩擦因数为，长度为14R，求： （1）为了保证产品以最短的时间经过CD，则传送带的速度应满足什么条件？ （2）BC段杀菌平台的摩擦因数是多少？ （3）调整产品从A点出发的速度可以调整杀菌的时间，则产品既不脱轨又能滑上传送带的最长杀菌时间t是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）若产品由到一直加速，则传送时间最短，设加速获得的最大速度为，由动能定理 解得 则传送带速度应满足 （2）产品2从A运动到的过程，由动能定理得 产品2和产品1发生弹性碰撞，由动量守恒 机械能守恒 解得， 产品1进入杀菌平台后滑行到点前，由动能定理得 解得 （3）若要保证不脱轨，则产品在点的最小速度满足 同第（2）问原理知，产品进入杀菌平台的最小速度 产品减速到0的距离为，由动能定理得 解得 滑行距离为，恰能到达传送带上，此时产品进入杀菌平台后杀菌时间最长，由动量定理得 解得 【变式训练4-4】为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 【答案】（1）10m/s；31.2；（2）0；（3）0.2m 【详解】（1）滑块a从D到F，由能量关系 在F点解得FN=31.2N （2）滑块a返回B点时的速度vB=1m/s，滑块a一直在传送带上减速，加速度大小为 根据 可得在C点的速度vC=3m/s 则滑块a从碰撞后到到达C点 解得v1=5m/s 因ab碰撞动量守恒，则 解得碰后b的速度v2=5m/s 则碰撞损失的能量 （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，则ab碰后的共同速度 解得v=2.5m/s 当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度 则 当弹簧被压缩到最短时压缩量为x1，由能量关系 解得 同理当弹簧被拉到最长时伸长量为x2=x1 则弹簧最大长度与最小长度之差 【变式训练4-5】如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知，，，，，物块与MN、CD之间的动摩擦因数，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点，取。 （1）若，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度的大小； （2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力与h间满足的关系； （3）若物块b释放高度，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，水平向右为正，建立x轴）。 【答案】（1）； （2）（方向竖直向上）； （3）当时，，当时， 【详解】（1）滑块b摆到最低点过程中，由机械能守恒定律有 解得 与发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得 联立解得 （2）由（1）分析可知，物块与物块在A发生弹性正碰，速度交换。 （I）设物块刚好可以到达点，物块的释放高度为，则根据动能定理可得 解得 此时物块a到达E点时的速度恰好为零，则有 （方向竖直向上） （II）根据（I）中分析可知，当时，在E点管道外壁将对物块a有弹力的作用，在E点由牛顿第二定律有 由动能定理 联立可得（，方向竖直向下） 若取竖直向下为正方向，则综上可得 （，方向竖直向下） （3）当时，物块位置在点或点右侧，根据动能定理得 从点飞出后，竖直方向 水平方向 根据几何关系可得 联立解得 代入数据解得 当时，从释放时，根据动能定理可得 解得 可知物块达到距离点0.8m处静止，滑块a由E点速度为零，返回到时，根据动能定理可得 解得 距离点0.6m，综上可知当时代入数据得 【变式训练4-6】如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直放置，底端与一水平传送带相切，一质量的小物块a从圆弧轨道最高点P由静止释放，到最低点Q时与另一质量小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知圆弧轨道半径，传送带的长度L=1.25m，传送带以速度顺时针匀速转动，小物体与传送带间的动摩擦因数，。求 （1）碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小； （2）碰后小物块a能上升的最大高度； （3）小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间。 【答案】（1）30N；（2）0.2m；（3）1s 【详解】（1）设小物块a下到圆弧最低点未与小物块b相碰时的速度为，根据机械能守恒定律有 代入数据解得 小物块a在最低点，根据牛顿第二定律有代入数据解得 根据牛顿第三定律，可知小物块a对圆弧轨道的压力大小为30N。 （2）小物块a与小物块b发生弹性碰撞，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得， 小物块a反弹，根据机械能守恒有解得 （3）小物块b滑上传送带，因，故小物块b先做匀减速运动，根据牛顿第二定律有 解得 则小物块b由2m/s减至1m/s，所走过的位移为 代入数据解得 运动的时间为代入数据解得 因，故小物块b之后将做匀速运动至右端，则匀速运动的时间为 故小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间 【变式训练4-7】一个小孩做推物块的游戏，如图所示，质量为m的小物块A放置在光滑水平面上，紧靠物块右端有一辆小车B，小孩蹲在小车上，小孩与车的总质量为6m，一起静止在光滑水平面上，物块A左侧紧挨着足够长的水平传送带MN，传送带的上表面与水平面在同一高度，传送带以速度v顺时针转动。游戏时，A被小孩以相对水平面的速度向左推出，一段时间后返回到传送带右端N，继续向右追上小孩后又立即被小孩以相对水平面的速度向左推出，如此反复，直至A追不上小孩为止。已知物块A与传送带MN间的动摩擦因数为，重力加速度为g。 （1）求物块第一次被推出后，小孩与车的速度大小； （2）若传送带转动的速度，求物块被小孩第一次推出后到返回传送带右端N所用的时间。 【答案】（1）；（2） 【规范答题】（1）地面光滑，物块A与小孩、车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，则有 解得 （2）物块被小孩第一次推出到与传送带共速期间物块的受力如图所示 该过程中物块的加速度为，则有 解得 物块被小孩第一次推出到与传送带共速所用时间为，对地位移为 解得 物块与传送带共速之后将以的速度匀速运动至，匀速运动用时 物块被小孩第一次推出后到返回传送带右端N所用的时间为 【变式训练4-8】如图所示，水平传送带两轮间的距离，传送带以恒定的速率顺时针匀速转动，两质量分别为、的小滑块、用一根轻绳（未画出）连接，中间夹着一根被压缩的轻质弹簧（弹簧与物体不拴接），此时弹簧的弹性势能，现把、从传送带的最左端由静止开始释放，时轻绳突然断裂，瞬间弹簧恢复至原长（不考虑弹簧的长度的影响）。已知两滑块块与传送带之间的动摩擦因数均为，重力加速度，求： （1）从出发到轻绳突然断裂的过程中，两滑块与传送带之间摩擦所产生的热量； （2）两滑块离开传送带的时间差。 【答案】（1）36J；（2）5.125s 【规范答题】（1）绳子断前对P、Q整体 解得 假设绳子断前、一直加速 假设成立。可见 该过程中传送带的位移 与传送带之间的相对位移 两滑块与传送带摩擦而产生的热量 （2）绳断到弹簧恢复原长的过程，、与弹簧系统动量、能量守恒，向右为正，则 解得 绳断后向左运动 可见从右侧掉落。 向左减速为零时间 向右加速到与传送带速度相同 向右匀速直到掉下 解得 向右减速到传送带速度 解得 向右匀速直到掉下 解得 时间差 【变式训练4-9】如图所示，质量为长木板A静止在光滑的平台上，长木板A的上表面与水平传送带齐平，二者间的缝隙可忽略，传送带左右两端距离，沿逆时针方向以恒定速度转动。传送带的上表面距地面的高度，质量为的物块B以初速度从光滑水平面的下方点斜向上抛出，点距传送带右端的水平距离为，恰好无碰撞地滑上水平传送带。物块B与传送带、长木板A间的动摩擦因数均为，物块B可视为质点，重力加速度。求： （1）物块B抛出的初速度的大小和方向； （2）若传送带的速度，则物块B在传送带上运动的时间t； （3）若传送带的速度，若物块B不能滑离长木板A，求木板A的长度至少为多少？    【答案】（1），与水平方向夹角为；（2）；（3）4.5m 【详解】（1）物块B做斜抛运动，设与水平方向的夹角为，由运动的合成与分解规律得 解得 （2）物块B在传送带上运动，由牛顿第二定律得 由匀变速直线运动规律得 则 又有则 由匀速直线运动规律得 则 物块B在传送带上运动的时间为解得 （3）若物块B不能滑离长木板A，设二者共速时速度为，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 解得 【变式训练4-10】如图为某自动控制装置的示意图，平台左右等高，在两平台中间有一个顺时针匀速转动的水平传送带，传送带的速度大小v和长度L都可以根据需要由自动驱动系统调节。一质量的物体（可视为质点）以初速度从左侧平台滑上传送带、物体与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度取。 （1）若，传送带的长度，要求物体运动到传送带右端的时间最短，求该过程中摩擦力对物体的冲量大小I； （2）若，传送带的长度，当物体运动到传送带右端时、刚好与传送带相对静止，求物体与传送带之间的相对位移大小x。    【答案】（1）；（2）0.5m 【详解】（1）若，物体受到传送带向右的滑动摩擦力，若物体一直做加速直线运动，时间最短，设物体运动的加速度为a，运动到传送带右端的时间为t，速度为v1，根据牛顿第二定律有 由匀变速直线运动的规律有 又解得 （2）若，由题意，物体运动到传送带右端时刚好与传送带共速。设物体运动到传送带右端的时间为，根据匀变速直线运动的规律有 相对位移解得 【变式训练4-11】如图所示，一长的水平传送带在电动机带动下以速度沿顺时针方向匀速转动，质量的小物块和质量的小物块B由跨过定滑轮的轻绳连接，绳不可伸长，A与定滑轮间的绳子与传送带平行。某时刻将物块A轻轻放在传送带最左端，已知物块A与传送带间的动摩擦因数，滑轮的质量和绳与滑轮间的摩擦不计，重力加速度，两物块均可视为质点。求： （1）把物块A放上去瞬间B的加速度的大小； （2）物块A从传送带左端运动到右端过程中传送带对物块A的冲量大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据题意，设物块A放上去瞬间绳子的拉力为，由牛顿定律，对物块A有 对物块B有 解得， （2）根据（1）分析可知，物块A在传送带上做匀加速直线运动，设加速到与传送带共速的时间为，则有 运动的距离为 由于物块A与传送带间的最大静摩擦力 可知，物块A与传送带共速后，一起匀速到右端，运动时间为 此时绳子的拉力为 设物块A从传送带左端运动到右端过程中传送带对物块A的水平方向冲量为，对物块A，由动量定理有 竖直方向的冲量为      总冲量为 即物块A从传送带左端运动到右端过程中传送带对物块A的冲量大小。 【变式训练4-12】如图，足够长的水平传送带AB以的速率逆时针方向匀速运行。质量为m的木板CD置于光滑的水平面上，木板与传送带上表面等高，B与C之间的缝隙不计。现将质量为的小滑块a置于木板上，让质量也为m的小滑块b以的初速度从传送带的A端沿传送带向左滑动，从小滑块b滑上木板开始计时，经时间与小滑块a弹性正碰。已知小滑块a与木板间的动摩擦因数，小滑块b与木板间的动摩擦因数，小滑块b与传送带间的动摩擦因数为取。 （1）求小滑块b从A端滑上传送带开始到与传送带共速所需时间； （2）求小滑块b刚滑上木板时，小滑块a的加速度大小； （3）求小滑块b与小滑块a碰前瞬间，小滑块a的速度大小； （4）若碰后小滑块a不会滑离木板，求小滑块a相对木板滑行的最大距离s。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）对小滑块b，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 联立解得 （2）小滑块b滑上木板后，假设小滑块a与木板一起以相同的加速度向左做匀加速直线运动．对小滑块a，由牛顿第二定律得 解得 对小滑块a与木板整体，由牛顿第二定律得 解得 假设成立，因此小滑块a与木板一起以相同的加速度向左做匀加速直线运动，则 （3）设小滑块b与小滑块a碰前瞬间小滑块b的速度大小为，则 解得 （4）设碰后瞬间小滑块a、b的速度大小分别为，则 解得 小滑块b与小滑块a碰后，两者速度交换，小滑块b与木板速度相同，一起以相同的加速度向左做匀加速直线运动 【变式训练4-13】如图所示，两轮轴间长为的水平传送带以的速度沿顺时针方向转动，质量为的小物块（可视为质点）从传送带最左端A处以水平向右、大小为的初速度滑上传送带，传送带与小物块间的动摩擦因数，重力加速度g取，求： （1）小物块在传送带上匀减速运动的距离； （2）小物块在传送带上从最左端A处运动到最右端B处所用的时间。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设小物块的加速度大小为a，由牛顿第二定律有，解得 设小物块滑上传送带后做匀减速运动的位移大小为，由运动学公式有，解得 （2）设小物块做匀减速运动所用的时间为，由运动学公式有，解得 设小物块做匀速运动所用的时间为，则 小物块从A处运动到B处的时间 设三者相对静止后，共同速度为，由动量守恒定律和能量守恒定律得 联立解得 【变式训练4-14】如图，足够长的水平传送带AB以的速率逆时针方向匀速运行。质量为m的木板CD置于光滑的水平面上，木板与传送带上表面等高，B与C之间的缝隙不计。现将质量为的小滑块a置于木板上，让质量也为m的小滑块b以的初速度从传送带的A端沿传送带向左滑动，从小滑块b滑上木板开始计时，经时间与小滑块a弹性正碰。已知小滑块a与木板间的动摩擦因数，小滑块b与木板间的动摩擦因数，小滑块b与传送带间的动摩擦因数为取。 （1）求小滑块b从A端滑上传送带开始到与传送带共速所需时间； （2）求小滑块b刚滑上木板时，小滑块a的加速度大小； （3）求小滑块b与小滑块a碰前瞬间，小滑块a的速度大小； （4）若碰后小滑块a不会滑离木板，求小滑块a相对木板滑行的最大距离s。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）对小滑块b，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 联立解得 （2）小滑块b滑上木板后，假设小滑块a与木板一起以相同的加速度向左做匀加速直线运动．对小滑块a，由牛顿第二定律得 解得 对小滑块a与木板整体，由牛顿第二定律得解得 假设成立，因此小滑块a与木板一起以相同的加速度向左做匀加速直线运动，则 （3）设小滑块b与小滑块a碰前瞬间小滑块b的速度大小为，则 解得 （4）设碰后瞬间小滑块a、b的速度大小分别为，则 解得 小滑块b与小滑块a碰后，两者速度交换，小滑块b与木板速度相同，一起以相同的加速度向左做匀加速直线运动． 设三者相对静止后，共同速度为，由动量守恒定律和能量守恒定律得 联立解得 【变式训练4-15】如图所示的游戏装置放置在水平地面上，该装置由水平直轨道OB、两个相同的四分之一圆弧构成的竖直细管道BC、水平直轨道CD和水平传送带DE平滑连接而成。传送带以恒定速度做顺时针转动。一轻质弹簧左端固定，原长时右端处于O点。质量的滑块a将弹簧压缩至A处（图中未标出），此时弹性势能。释放后滑块通过ABC段，进入轨道CD与质量的滑块b发生弹性碰撞，碰后滑块b从E点水平飞出。已知OB段长，滑块a与OB段的动摩擦因数，圆弧半径，传送带长，滑块b与传送带的动摩擦因数，滑块均可视为质点，装置其余部分均光滑，不计空气阻力。求： （1）在竖直光滑细管道C点时滑块a受到管道的作用力大小； （2）滑块a最终静止的位置与管道最低点B的距离； （3）滑块b平抛的水平距离x与传送带速度大小v的关系。 【答案】（1）；（2）点左侧处；（3）见解析 【详解】（1）根据功能关系可知，解得 在C点，根据牛顿第二定律有，解得 （2）与滑块b发生弹性碰撞，则动量守恒且能量守恒， 解得， 而由于 则不会再弹上，解得 而由于 故最终停在点左侧处。 （3）根据平抛运动规律有，解得 若一直减速则有，解得 若一直加速，则有，解得 则若，则 若，则 若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 传送带模型与功能动量 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 5 题型01：水平传送带 5 题型02：倾斜传送带 15 题型03:传送带与曲线 30 题型04：传送带与动量 34 一、高考地位与考情 1. 高频考点：近5年全国/新高考卷出现率约80%，分值8%–15%，常为动力学压轴题 2.核心模块：牛顿运动定律+运动学+功能关系+相对运动综合 3.命题趋势：贴近实际（安检、流水线）、多过程、临界分析、能量计算、v‑t图像 二、模型分类与核心特征 1. 水平传送带（最基础） ①轻放（v₀=0）：先匀加速→共速后匀速（传送带足够长）；全程加速（传送带短） ②有初速（v₀≠v）： v₀<v：先加速后匀速 v₀>v：先减速后匀速 反向初速：可能先减速→反向加速→匀速（传送带足够长） ③ 临界：v物=v传 → 滑动摩擦→无摩擦，加速度突变 2. 倾斜传送带（难点） ①先判μ与tanθ： μ≥tanθ：共速后静摩擦、匀速（自锁） μ<tanθ：共速后继续加速/减速，摩擦力反向 ②上行/下行、初速方向不同，运动组合极多 三、解题三步法（万能模板） S1. 定初始，判摩擦 比v物与v带，定滑动摩擦方向 求加速度，画v‑t草图 S2. 抓临界，析共速 算共速时间t₁、位移x₁ 共速后：水平→匀速；倾斜→判μ与tanθ，定后续运动 S3. 细计算，分阶段 分阶段列运动学/动力学方程 能量题：明确Q、W、ΔE三者关系 四、典型题型与考法 ①运动过程分析：求时间、速度、位移、能否到达端点 ②临界问题：恰好共速、恰好不掉落、最短时间 ③能量综合：摩擦生热、电机做功、机械能变化 ④图像结合：v‑t图像分析多过程、求相对位移 1. 会识别：能判断水平、倾斜、同向、反向等不同传送带模型。 2. 会受力分析：能根据物体与传送带的相对运动，正确判断摩擦力大小与方向。 3. 会分段运动：抓住共速时刻这一临界点，能把全过程拆成加速、匀速、减速、反向运动等阶段。 4. 会算三类位移： ①物体对地位移 ② 传送带位移 ③相对位移（划痕、生热用） 5. 会用规律解题： ①牛顿第二定律 + 运动学公式 ②动能定理 / 能量守恒 ③摩擦生热公式：Q = f∆x 6. 会处理倾斜传送带难点：能通过比较μ与tanθ，判断共速后是匀速还是继续加速/减速。 7. 会画v‑t图像：能用图像直观分析多过程、求时间、位移、相对位移。 8. 会解决高考典型题： ①求时间、速度、位移 ②临界与极值（恰好共速、恰好不滑落） ③能量、做功、电机功率综合题 知识点一:传送带 在解有关传送带问题时，首先应选择传送带及传送带上的物体作为研究对象； 其次对传送带模型的临界状态进行分析：①摩擦力发生突变，②物体的运动状态发生突变。 然后对传送带模型中的力和运动进行分析，确定是水平传送带还是倾斜传送带， ①水平传送带：先根据物体的受力和传送带的速度计算物体加速的时间和位移。再由和传送带长度的大小关系判断物体的运动状态。 ②倾斜传送带：若，且物体能与传送带共速，则共速后物体匀速运动；若，则物体必定有向下的加速度。 最后通过进一步计算物体在传送带上运动的时间、物体的位移、物体相对传送带的位移等得出结论。 1．水平传送带常见类型及滑块运动情况 类型 滑块运动情况 (1)，物体一直加速 (2)，物体先加速后匀速 (1)时，若，物体一直减速，若，物体先减速再匀速。 (2)时，若，物体一直加速，若，物体先加速再匀速 (1)时，物体一直做减速运动直到从传送带的另一端离开传送带。 (2)时，当时，物体先沿着方向减速，再反方向加速，直至从放入端离开传送带；当时，物体先沿着方向减速，再反方向加速，最后匀速，直至从放入端离开传送带。 2.倾斜传送带常见类型及滑块运动情况 类型 滑块运动情况 (1)时，若，传送带比较短，物体一直以向上匀加速运动；传送带足够长，物体先以向上匀加速运动再向上匀速运动。若，物体以向下的加速度运动。 (2)时，若，传送带比较短，物体一直以向上作匀减速运动；传送带足够长，物体先以向上作匀减速运动再向上匀速运动。若，传送带比较短，物体一直以向上匀减速运动；传送带足够长，物体先以向上作匀减速运动再以向上作匀减速运动，最后向下作匀加速运动。 (1)时，若，传送带比较短，物体一直以向下作匀加速运动；传送带足够长，物体先以向下作匀加速运动再向下作匀速运动。若，传送带比较短，物体一直以向下作匀加速运动；传送带足够长，物体先以向下作匀加速运动再以向下作匀加速运动。 (2)时，若，传送带比较短，物体一直以向下作匀减速运动；传送带足够长，物体先以向下作匀减速运动再向下作匀速运动。若，物体一直以向下作匀加速运动。 知识点二：传送带模型能量分析 1.传送带克服摩擦力做的功：W＝fx传（x传为传送带对地的位移） 2.系统产生的内能：Q＝fx相对（x相对为总的相对路程）． 3. 求解电动机由于传送物体而多消耗的电能一般有两种思路 ①运用能量守恒 以倾斜传送带为例，电动机多消耗的电能为E电，则：E电＝Ek增＋Ep增＋Q. ②运用功能关系 传送带多消耗的电能等于传送带克服阻力做的功E电=fx传(特别注意：如果物体在倾斜传送带上的运动分匀变速和匀速两个运动过程，这两个过程中传送带都要克服摩擦力做功，匀变速运动过程中两者间的摩擦力是滑动摩擦力，匀速运动过程中两者间的摩擦力是静摩擦力) 4、分析流程 题型01：水平传送带 【典型例题1】水平传送带顺时针匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带上。设工件初速为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止。设工件质量为m，它与传送带间的滑动摩擦系数为，则在工件相对传送带滑动的过程中，以下说法错误的是（   ）    A．滑动摩擦力对工件做的功为 B．工件的机械能增量为 C．工件相对于传送带滑动的位移大小为 D．该过程产生的热量为 【答案】D 【详解】A．在运动的过程中只有摩擦力对物体做功，由动能定理可知，摩擦力对物体做的功等于物体动能的变化，即为故A正确； B．工件动能增加量为势能不变，所以工件的机械能增量为故B正确； C．根据牛顿第二定律知道工件的加速度为 所以速度达到v而与传送带保持相对静止时间工件的位移为 传送带的位移 工件相对于传送带滑动的路程大小为故C正确。 D．该过程产生的热量故D错误；本题选错误选项，故选D。 【典型例题2】(多选)如图所示，水平传送带以恒定速度顺时针匀速运行，左、右两端A、B之间距离。现将一质量可看做质点的物块轻轻放到传送带的A端，同时对物块施加一水平向右的恒力．已知物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度g取。物块从A端运动到B端的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．物块先匀加速运动后匀速运动 B．物块从A端运动到B端的时间为 C．物块运动到B端时，恒力F的瞬时功率为 D．物块与传送带间因克服摩擦产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】AB．物块速度加速到与传送带速度相等之前，物块所受传送带的摩擦力水平向右，根据牛顿第二定律有 解得物块的加速度大小 此过程加速的时间 物块向右运动的距离 摩擦力反向，根据牛顿第二定律有 解得物块的加速度大小 由位移时间关系式有 解得此过程加速的时间 可知物块从A端运动到B端的过程中，物块一直做匀加速运动，运动的时间为 故A错误，B正确； C．物块运动到B端时的速度大小为 恒力F的瞬时功率为 故C错误； D．由能量守恒有 故D正确。 故选BD。 【典型例题3】(多选)为了保证乘客的安全，通常情况下在进入火车站前应对旅客携带的物品安检，安检时将物品无初速度地放到沿水平方向向右传送的运输带一端，已知运输带以恒定的速度匀速传动，如图甲所示，整个过程中物品的速度随时间的变化规律如图乙所示。物品可视为质点，且质量为，运输带两端相距，经测量该物品在运输带上留下了一条长为的划痕，重力加速度g取。则下列说法正确的是（　　） A．整个过程中，物品始终受到向右的摩擦力 B．物品与运输带间的动摩擦因数为0.25 C．运输带对物品摩擦力的冲量大小为 D．整个过程因传送该物品多消耗的电能为 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，物品在内做匀加速直线运动，则运输带对物品的摩擦力为滑动摩擦力，方向沿运输带水平向右；末物品与运输带具有相同的速度，则的时间内物品所受的摩擦力为零，故A错误； B．在内物品加速的位移为 物品匀速的位移为 在内运输带的位移为 又 由以上可解得 则物品加速时的加速度大小为 由牛顿第二定律得代入数据解得故B正确； C．物体在运输带上加速时受摩擦力的作用，匀速时不受摩擦力，则运输带对物品摩擦力的冲量为 故C正确； D．由能量守恒定律得因传送物品多消耗的电能为 故D错误。 故选BC。 【典型例题4】如图所示，有一个可视为质点、质量为m=1kg的小物块，初速为零，经由水平顺时针转动的传送带从最左端A送到最右端B，滑过水平光滑BC面后，滑上紧靠BC面末端C点、质量为M=2kg的静止长木板。已知传送带速度恒为，传送带AB间长度L=3m，木板上表面与BC面相平，木板下表面光滑，小物块与传送带、长木板间的动摩擦因数均为0.4，不计空气阻力，g取。求： （1）小物块到达C点的速度大小； （2）传送带将小物块从A端送到B端过程的摩擦发热； （3）若长木板长度s=2m，小物块能否滑出长木板？若能，求滑出瞬间物块的速度大小；若不能，求小物块与长木板的最终共同速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3）不能， 【解析】（1）小物块在传送带上的加速度大小 达到与传送带相同速度时的位移 可判断物块到达B端时已经与传送带同速，且 （2）达到与传送带相同速度的时间为 传送带的移动距离为 所以摩擦发热 （3） 设小物块刚好滑到木板右端且达到共同速度的大小为， 滑行过程中，小物块加速度大小为 长木板的加速度 小物块与长木板的速度分别为 解得 对小物块和木板组成的系统，由能量守恒定律得 联立解得 因为，故小物块不能滑出长木板，共同速度的大小为。 【典型例题5】如图甲所示，在民航机场和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。旅客把行李缓慢轻放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始运动，随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。一水平传送带装置的示意图如图乙所示，若传送带匀速前进的速度v为0.4m/s，某木箱与传送带之间的动摩擦因数μ为0.4，木箱质量m＝16kg，重力加速度g取。求： （1）该木箱放在传送带上后，木箱在传送带上的相对滑行时间t； （2）该木箱放在传送带上后，木箱与传送带的相对位移L的大小； （3）木箱从传送带A移到B过程，传送带对该木箱所做的功W。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据牛顿第二定律得：木箱的加速度 木箱由静止开始运动达到传送带速度所需的时间 （2）t时间内木箱的位移为 传送带的位移 木箱与传送带的相对位移 （3）根据动能定理可知，传送带对该木箱所做的功 【变式训练1-1】如图所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终以速度匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体经过一段时间能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带保持相对静止这一过程，下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　）    A．物体在传送带上的划痕长 B．传送带克服摩擦力做的功为m2 C．由于摩擦产生的内能为m2 D．由于传送物体电动机额外多做的功为m2 【变式训练1-2】如图所示，水平传送带以恒定速度顺时针匀速运行，左右两端A、B之间距离。现将一质量可看做质点的物块轻轻放到传送带A端，同时对物块施加一水平向右的恒力。已知物块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度。物块从A端运动到B端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块从A端运动到B端的过程先匀加速运动后匀速运动 B．物块从A端运动到B端的时间 C．摩擦力对物块做功 D．物块运动到B端时，恒力F的瞬时功率 【变式训练1-3】如图所示，某快递公司为提高工作效率，利用传送带传输包裹，水平传送带长为4m，由电动机驱动以4m/s的速度顺时针转动。现将一体积很小、质量为10kg的包裹无初速的放到传送带A 端，包裹和传送带间的动摩擦因数为0.1， 重力加速度为g则包裹从A 运动到 B 的过程（　　） A．时间为 1s B．时间为 4s C．电动机多输出的电能为40J D．电动机多输出的电能为 【变式训练1-4】如图甲所示一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带在变速电机带动下先加速后减速，传送带的速度-时间图像如图乙所示，假设传送带足够长，经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹，，则下列说法正确的是（　　）    A．黑色痕迹的长度为 B．煤块在传送带上的相对位移为 C．若煤块的质量为，则煤块与传送带间因摩擦产生的热量为 D．煤块的质量越大黑色痕迹的长度越长 【变式训练1-5】如图所示为速冻食品加工厂生产和包装饺子的一道工序。将饺子轻放在匀速运转的足够长的水平传送带上，不考虑饺子之间的相互作用和空气阻力。关于饺子在水平传送带上的运动，下列说法正确的是（　　） A．饺子一直做匀加速运动 B．传送带的速度越快，饺子的加速度越大 C．饺子由静止开始加速到与传送带速度相等的过程中，增加的动能等于因摩擦产生的热量 D．传送带多消耗的电能等于饺子增加的动能 【变式训练1-6】如图所示，一质量为2kg可视为质点的小物块自斜面上A点由静止开始下滑，斜面AB的倾角为37°，A、B间距离为2m，经1s运动到B点后通过小段光滑的衔接弧面滑上与地面等高的传送带，传送带以6m/s的恒定速率顺时针运行，传送带左右两端间距离为9m，小物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，不计空气阻力和小物块在衔接弧面运动的时间，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，下列说法中正确的是（　　） A．小物块在传送带上运动的时间为2s B．小物块在传送带上因摩擦产生的热量为20J C．小物块在传送带上运动过程中传送带对小物块做的功为24J D．若传送带以3m/s的恒定速率逆时针运行，其他条件不变，小物块从A点静止释放以后，在AB上运动的总路程为4.25m 【变式训练1-7】（多选）如图1所示，水平传送带以恒定的速度顺时针转动，质量为的箱子在水平传送带上由静止释放，经过后，箱子滑离传送带，箱子的图像如图2所示，对于箱子从静止释放到相对传送带静止这一过程，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．箱子与传送带间的动摩擦因数为0.075 B．箱子对传送带做功为 C．传送带对箱子做功为 D．箱子与传送带因摩擦产生的热量为 【变式训练1-8】（多选）近年来网上购物的飞速增长催生了物流行业的快速发展。物流公司常用水平传送带装卸包裹，如图所示。接通电源后，传送带以的加速度沿顺时针方向开始运转。当速度达到后开始匀速运转。在传送带刚启动时，工作人员将质量为的包裹从传送带左端无初速释放，经过包裹运动到传送带的右端。已知包裹与传送带之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．水平传送带左、右两端的距离为 B．包裹所受摩擦力的冲量为 C．传送带对包裹的作用力做功为 D．整个过程中产生的热量为 【变式训练1-9】（多选）如图甲所示一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带在外力作用下先加速后减速，其速度—时间（v-t）图像如图乙所示，假设传送带足够长，经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹，，则下列说法正确的是（　　）    A．黑色痕迹的长度为36m B．煤块在传送带上的相对位移为16m C．若煤块的质量为1kg，则煤块与传送带间因摩擦产生的热量为160J D．煤块的质量越大黑色痕迹的长度越短 【变式训练1-10】（多选）如图（a）所示，在t=0时将一质量为0.1kg的滑块轻放置于传送带的左端，传送带在t=4s时因为突然断电而做减速运动，从t=0到减速停下的全程，传送带的v-t图像如图（b）所示。已知传送带顺时针运动，滑块与传送带间的动摩擦因数为0.08，传送带两轮间的距离足够长，重力加速度大小为10m/s2.，下列关于滑块说法正确的是（　　） A．滑块先匀加速运动，后匀减速运动直至停止 B．滑块从轻放上传送带至停下，所用的时间为6s C．滑块在传送带上留下的划痕为28m D．全程滑块与传送带间产生的热量为2.24J 【变式训练1-11】（多选）如图甲所示，一条绷紧的水平传送带AB以恒定速率v1做匀速直线运动，传送带右端的光滑水平台面与传送带上表面等高，二者间的空隙极小不会影响滑块的运动。滑块以速率v2向左从A点滑上传送带，在传送带上运动时动能随路程变化的Ek-x图像如图乙所示，已知滑块质量m=2 kg，可视为质点，重力加速度g=10 m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．传送带的运行速率为v1=1m/s B．滑块在传送带上的运动时间为4.5s C．若传送带的运动速率增大，则滑块在传送带上运动时间一定越来越小 D．滑块从滑上传送带到再次滑回平台的整个过程中因摩擦产生的热量为36J 【变式训练1-12】如图所示为快递分拣车间的传送装置，固定斜面的倾角，底端由一小段光滑圆弧与水平传送带平滑连接，一长度的传送带正以速度沿顺时针方向匀速转动，一快递物件（可视为质点）的质量，从高的斜面上端由静止滑下，物件与斜面间的动摩擦因数、与传送带间的动摩擦因数，重力加速度。求： （1）物件刚滑到斜面底端时的速度大小； （2）物件与传送带间因摩擦产生的热量及物件在传送带上运动的时间。    【变式训练1-13】如图所示，倾角为37°的粗糙斜面底端通过一段光滑小圆弧与足够长的水平传送带平滑相接，传送带以v0=4m/s的恒定速率逆时针转动。质量为m=1.0kg的小滑块从斜面上A点由静止下滑，A点距离斜面底端的高度为h=9.6m，小滑块与斜面之间的动摩擦因数μ1=0.5，与水平传送带之间的动摩擦因数μ2=0.2，小滑块可视为质点，重力加速度大小g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小滑块第一次到达斜面底端时的速度大小； （2）小滑块第一次在传送带上的运动时间； （3）小滑块在斜面上运动时产生的热量。    【变式训练1-14】如图所示，传送带以速率顺时针匀速转动，传送带与足够长的光滑水平面等高且紧挨。将小滑块A轻放在传送带左端M，A运动到右端N时与静止在水平面上的小滑块B发生弹性正碰。已知A、B质量分别为、，A与传送带间的动摩擦因数，传送带两端M、N间的距离，重力加速度g取。求： （1）A由左端M运动到右端N所用的时间t； （2）第1次碰撞后A、B的速度大小、； （3）第1次碰撞后A、B间距离的最大值。 【变式训练1-15】如图为模拟运送工件的水平传送带装置，绷紧的传送带在驱动电机作用下始终保持的恒定速率运行，传送带的水平部分AB距离水平地面的高度。质量的工件（可视为质点）由A端无初速度地放置在传送带上，到达B端时工件刚好从B点水平抛出，落地点与抛出点的水平距离。已知工件与传送带之间的动摩擦因数，不计空气阻力，取。 （1）求工件从B点抛出时的速度； （2）求因运送该工件驱动传送带的电机多消耗的能量，并根据计算结果提出不改变运送工件时间前提下，减少电机能量损耗的方式（不用说明理由）。 【变式训练1-16】如图所示，一足够长的水平传送带以v＝4m/s的速度顺时针转动，现将一质量为m＝1kg的小物块（可视为质点）以v0＝2m/s的速度从左端水平滑上传送带，当小物块运动到距离传送带左端的距离L＝4m时，由于某种故障，传送带立即以大小为a0＝4m/s2的加速度做匀减速运动直至停止转动。已知小物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度g＝10m/s2： （1）小物块从滑上传送带到运动L＝4m的位移所需要的时间； （2）小物块在传送带上运动的整个过程中，小物块和传送带系统因摩擦产生的热量Q。 题型02：倾斜传送带 【典型例题1】如图，工人用传送带运送货物，传送带倾角为30°，顺时针匀速转动，把货物从底端A点运送到顶端B点，其速度随时间变化关系如图所示。已知货物质量为10kg，重力加速度取10。则（　　）    A．传送带匀速转动的速度大小为2m/s B．货物与传送带间的动摩擦因数为0.5 C．运送货物的整个过程中传送带多消耗的电能810J D．运送货物的整个过程中摩擦力对货物做功15J 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，物体在被传送带运送过程中，先做匀加速直线运动，加速到和传送带速度相同时，和传送带一起做匀速直线运动，故可知传送带匀速转动的速度大小为1m/s，故A错误； B．图像的斜率表示加速度，由图乙可知，加速度阶段物体的加速度为 由牛顿第二定律有 解得故B错误； C．内物块和传送带发生相对滑动，设物块的位移为，传送带的位移为，相对位移为，则有 因摩擦而产生的热量为 由图乙可得传送带的长度为 则可得运送货物的整个过程中传送带多消耗的电能为故C正确； D．运送物体的整个过程中，摩擦力对物体做功可分为两个阶段，第一阶段为滑动摩擦力做功，第二阶段为静摩擦力做功，则可得摩擦力对物块做的功为 D错误； 故选C。 【典型例题2】如图所示，传送带与水平地面的夹角，以的速率顺时针方向转动。将一质量为的物体（可视为质点）从A端无初速释放，经过运动到B端。物体与传送带间的动摩擦因数（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。则（　　） A．物体运动的加速度恒为 B．传送带的长为 C．物体运动到B端时的动量大小为 D．传送带与物体因摩擦产生的热量为 【答案】BD 【详解】AB．对小煤块进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得 小煤块下滑到与传送带速度相等解得 此时小煤块的位移解得 又因为， 小煤块继续下滑的加速度 解得 又 代入数据解得故故A错误，B正确； C．由 解得故C错误； D．第一阶段小煤块相对传送带位移解得 第二阶段小煤块相对传送带位移 解得m 摩擦产生的热量 解得故D正确。 故选BD。 【典型例题3】机场一般用可移动式皮带输送机给飞机卸货，皮带输送机可简化为倾角为，以速度逆时针匀速转动的传送带。时刻，货物以速度滑上传送带上端，如图乙所示，货物在传送带上运动的速度随时间变化的关系图像如图丙所示，则（　　）      A．内，传送带对货物做正功 B．匀速阶段，传送带对货物做负功 C．内，传送带对货物做功等于货物动能的增加量 D．内，传送带对货物做的功等于货物与传送带之间摩擦产生的热量 【答案】AB 【详解】A．根据图丙可知 即货物开始滑上传送带时相对皮带向上运动，皮带对货物有沿皮带向下的滑动摩擦力，传送带对货物的弹力不做功，滑动摩擦力做正功，即内，传送带对货物做正功，故A正确； B．匀速阶段，货物所受外力的合力为0，可知摩擦力方向沿皮带向上，货物向下匀速，则匀速阶段，传送带对货物的弹力不做功，摩擦力做负功，即匀速阶段，传送带对物体做负功，故B正确； C．内，货物所受摩擦力方向沿传送带向下，摩擦力做正功，则有 可知，内，传送带对货物做功小于货物动能的增加量，故C错误； D．内，货物的位移 货物对皮带相对位移的大小 可知令滑动摩擦力为f，根据上述，传送带对货物做功为 货物与传送带之间摩擦产生的热量可知故D错误。 故选AB。 【典型例题4】如图所示为某小型购物商场的电梯，长，倾角。在某次搬运货物时，售货员将质量为的货物无初速度放在电梯的最下端，然后启动电机，电梯先以的加速度向上做匀加速运动，速度达到后匀速运动。已知货物与电梯表面的动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。，，求： （1）货物从电梯底端运动到顶端所用的时间； （2）货物从底端运动到顶端过程中物体和传送带之间产生的热量； （3）电机因运送该货物多做的功（忽略电梯自身动能的变化）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）对货物进行受力分析，货物受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力，当摩擦力是滑动摩擦力时，货物获得的加速度最大，则有 解得 所以货物先向上做加速度为的匀加速运动，当速度与传送带速度相等时再做匀速直线运动。根据匀变速直线运动规律，货物加速阶段的位移为 解得 匀加速运动所需要的时间为 之后做匀速直线运动，匀速运动的时间为 货物从电梯底端运动到顶端所用的时间 （2）共速前，传送带通过的位移为 共速前，货物与传送带发生的相对位移为 货物从底端运动到顶端过程中物体和传送带之间产生的热量为 （3）根据功能关系，可知电机因运送该货物多做的功等于货物增加的动能和重力势能以及在皮带上产生的热量 解得 【典型例题5】如图所示，倾斜的传送带以恒定的速率逆时针运行。在时刻，将质量为1.0kg的物块（可视为质点）无初速度地放在传送带的最上端A点，经过1.0s，物块从最下端的B点离开传送带。取沿传送带向下为速度的正方向，则物块的对地速度随时间变化的图像如图乙所示，，求： (1)物块与传送带间的动摩擦因数； (2)从A到B的过程中，传送带对物块做的功。 (3)从A到B的过程中，物体和传送带间因摩擦产生的热量及物体和传送带间因摩擦所留在传送带上的划痕长度 【答案】：(1)；(2) -3.75J；(3) 3.75J，1m 【解析】：(1)由图像可知，物块在前0.5 s的加速度为 后0.5 s的加速度为 物块在前0.5 s受到的滑动摩擦力沿传送带向下，由牛顿第二定律得 物块在后0.5 s受到的滑动摩擦力沿传送带向上，由牛顿第二定律得 联立解得 (2)由v-t图像面积意义可知，在前0.5 s，物块对地位移为 则摩擦力对物块做功 在后0.5 s，物块对地位移为 则摩擦力对物块做功 所以传送带对物块做的总功联立解得 (3)由v-t图像可知，传送带的速率为 第一段过程传送带的对地位移为 从A到B的过程中，物体第一段和传送带间因摩擦产生的热量 第二段过程传送带的对地位移为 物体第二段和传送带间因摩擦产生的热量 从A到B的过程中，物体传送带间因摩擦产生的热量 第一段过程物体和传送带间因摩擦所留在传送带上的划痕长度 第二段过程物体和传送带间因摩擦所留在传送带上的划痕长度 此段划痕与第一段重叠，故从A到B的过程中留在传送带上的划痕长度 【变式训练2-1】如图所示，传送带的倾角（，从A到B长度为 16m，传送带以 10m/s 的速度逆时针转动。 时刻在传送带上A端无初速度地放一个质量 的黑色煤块， 时皮带被异物卡住不动了。 已知煤块与传送带之间的动摩擦因数为 ，煤块在传送带上经过会留下黑色划痕。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取）则（    ） A．煤块到达 B 点时的速度为 10m/s B．煤块从A到B的时间为3s C．煤块从A到B的过程中机械能减少了 12J D．煤块从A到B的过程中传送带上留下划痕的长度是16m 【变式训练2-2】如图甲所示，倾角为的传送带以恒定的速率v沿逆时针方向运行。时刻，质量的小物块以初速度从A端滑上传送带，小物块的速度随时间变化的图像如图乙所示，时小物块从B端滑离传送带。沿传送带向下为正方向，重力加速度g取，则（　　）    A．传送带的倾角 B．小物块对传送带做功 C．小物块在传送带上留下的痕迹长度为 D．小物块与传送带间因摩擦而产生的热量为 【变式训练2-3】如图所示，某工厂需要利用质量为300kg的物体B通过轻质绳及光滑定滑轮协助传送带将质量为200kg的物体A从传送带底端（与地面等高）由静止开始传送到距离地面H高处，已知传送带倾角为30°，与货物接触面间动摩擦因数为，传送带以5m/s的速度顺时针转动，物体B最初距离地面6.5m且落地后不反弹．某时刻将A释放，最终A刚好到达顶端，g取10m/s2。则（　　）    A．释放后瞬间物体A的加速度大小为a1=12.5m/s2 B．H=6.55m C．此过程中物体A会有2次与传送带达到共速 D．整个过程由于摩擦而产生的热量为J 【变式训练2-4】如图甲所示，浅色倾斜传送带两侧端点间距6m，皮带总长12m，倾角37°。t＝0时，一质量为1kg的煤块从传送带底部的A点，以10m/s的速度冲上传送带。t＝1s时，传送带开始沿顺时针方向匀加速转动，A点运动的v－t图像如图乙所示。煤块与传送带间动摩擦因数为0.5，传送轮和煤块大小均可以忽略（，，）。煤块在传送带上运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．煤块运动至最高点，位移为10m B．煤块在传送带上运动时间为2s C．煤块在传送带上留下的痕迹为12m D．煤块与传送带间产生的热量为90J 【变式训练2-5】如图所示甲、乙两种粗糙面不同的传送带。倾斜于水平地面放置。以同样恒定速率向上运动。现将一质量为的小物体（视为质点）轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达处时恰好达到传送带的速率；在乙传送带上到达离竖直高度为的C处时达到传送带的速率。已知处离地面高度为，则在物体从A到的运动过程中（  ） A．两种传送带对小物体做功相等 B．将小物体传送到处，乙传送带上的划痕长 C．将小物体传送到处，乙系统由于摩擦产生的热量多 D．将小物体传送到处，甲上的小物体需要的时间较长 【变式训练2-6】如图所示，工厂利用皮带传输机把货物从地面运送到高出水平地面的平台上，平台离地面的高度一定。运输机的皮带以一定的速度顺时针转动且不打滑。将货物轻轻地放在处，货物随皮带到达平台，货物在皮带上相对皮带滑动时会留下一定长度的痕迹。已知所有货物与皮带间的动摩擦因数为.若皮带的倾角、运行速度和货物质量都可以改变，且始终满足.可以认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力（　　） A．当倾角一定时，若增大运行速度，则运送时间一定变短 B．当倾角一定时，若增大运行速度，皮带上留下的痕迹一定变长 C．当倾角和速度一定时，货物质量越大，皮带上留下的痕迹越长 D．当倾角和速度一定时，货物质量越大，皮带上摩擦产生的热越多 【变式训练2-7】粮食事关国运民生，粮食安全是国家安全的重要基础。在大型粮仓系统中，常使用传送带来搬运粮食。如图甲所示，倾角为的传送带以恒定的速率逆时针方向转动，皮带始终是绷紧的，将质量的粮袋（可视为质点）轻放在传送带上的A端，经过1.2s到达传送带的B端。用速度传感器分别测得粮袋与传送带的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。已知重力加速度，，求： （1）A、B两点间的距离； （2）粮袋从A运动到B的过程中，粮袋与传送带间因摩擦产生的热量。    【变式训练2-8】如图所示为把货物运送到车上，在车前架设一与水平面夹角为37°逆时针匀速转动的传送带，传送带长，传送带匀速运动的速度为，货物与传送带间的动摩擦因数，传送带不打滑。现在传送带底端由静止释放一货物，其质量为。已知重力加速度，，，货物可视为质点。求： （1）货物在传送带上的运动时间； （2）从货物滑上传送带到离开传送带该装运系统额外消耗的电能。 【变式训练2-9】如今网购已经与我们的生活密不可分，部分电商已经能够实现“今日达”。在包裹运输的自动化分拣环节中，皮带传输机起着重要的作用。如图所示，某传送带的倾角，顶端与底端的高度差m，以v＝3m/s的速度向上匀速运行，现将一件质量m＝5kg的货物（可视为质点）轻放在底端，若货物与传送带间的动摩擦因数，g取，求： （1）该件货物由底端经多长时间与传送带共速？ （2）该件货物由底端运送到顶端的过程中，摩擦力做了多少功？ （3）与未放货物相比，传送带电动机运输该件货物需多消耗多少电能？    【变式训练2-10】大型超市通常安装有倾斜自动扶梯以方便顾客的通行，如图所示，自动扶梯长L=6m，与水平面的夹角θ=30°，以速度v0=2m/s匀速向上运动，小李使用该扶梯运送两箱质量均为m=10kg的货物，某时刻小李将第一箱货物轻放在扶梯底端，待第一箱货物与扶梯共速时，小李沿扶梯向上用恒力F=110N推动第二箱货物，使其以速度v1=7m/s从底端沿扶梯匀速向上运动，两箱货物与扶梯间的动摩擦因数均为μ，取重力加速度g=10m/s2，货物可视为质点，若货物间发生碰撞则瞬间粘在一起。 （1）求动摩擦因数μ； （2）求第一箱货物从出发到与传送带共速过程中摩擦产生的热量Q1； （3）若第二箱货物匀速运动，∆t=0.28s后，推力调整为F=35N，试判断两箱货物能否在扶梯上发生碰撞，若能发生碰撞，求碰撞过程中损失的能量Q2。 【变式训练2-11】机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率v1=0.6m/s逆时针运行的传送带与水平面间的夹角，转轴间距L=3.95m。工作人员沿传送方向以速度v2=1.6m/s从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。已知小包裹的质量为m=1.0kg，小包裹与传送带间的动摩擦因数μ=0.8。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小包裹通过传送带所需的时间t； （2）小包裹与传送带之间因摩擦产生的热量Q和小包裹通过传送带时摩擦力对它做的功Wf。 【变式训练2-12】人们用传送带从低处向高处运送货物，如图所示，一长的倾斜传送带在电动机带动下以速度沿顺时针方向匀速转动，传送带与水平方向的夹角，某时刻将质量为的货物A轻轻放在传送带底端，已知货物A与传送带间的动摩擦因数，取，，重力加速度。 （1）求货物A刚开始运动时的加速度大小及在传送带上运动的时间； （2）为了提高运送货物的效率，人们采用了“配重法”，即将货物A用跨过定滑轮的轻绳与质量为的重物B连接，如图中虚线所示，A与定滑轮间的绳子与传送带平行，不可伸长的轻绳足够长，不计滑轮的质量与摩擦，在A运动到传送带顶端前重物B都没有落地，求： ①货物A在传送带上运动的时间； ②货物A在传送带上运动过程中摩擦力对其做的功。 【变式训练2-13】如图甲所示，足够长的倾斜直传送带以速度沿顺时针方向运行，可视为质点的物块在时刻以速度从传送带底端开始沿传送带上滑，物块的质量。物块在传送带上运动时传送带对物块的摩擦力的功率与时间的关系图像如图乙所示，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。求： （1）倾斜传送带与水平方向的夹角θ和物块与传送带间的动摩擦因数μ （2）物块与传送带间的划痕长度L （3）0—0.4s内物块机械能的变化量 【变式训练2-14】如图所示，某快递中转站里有一传送带与水平面之间的夹角为，其两端A、B两点间的距离为，传送带在电动机的带动下以的速度顺时针匀速运动。现将一质量为的快递包裹（视为质点）轻放在传送带上的A点，已知包裹与传送带之间的动摩擦因数，包裹在从A点到B点的运动过程中一直加速，且传送带速度始终不变。g取，求： （1）包裹获得的加速度大小； （2）包裹的机械能增加量； （3）电动机因运送该包裹而多输出的能量。 【变式训练2-15】如图所示，一足够长的倾斜传送带以速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转动，传送带与水平方向的夹角θ=37°。质量m1=5kg的小物块A和质量m2=5kg的小物块B由跨过定滑轮的轻绳连接，A与定滑轮间的绳子与传送带平行，轻绳足够长且不可伸长。某时刻开始给物块A以沿传送带方向的初速度v0=8m/s（此时物块A、B的速率相等，且轻绳绷紧），使物块A从传送带下端冲上传送带，已知物块A与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，不计滑轮的质量与摩擦，整个运动过程中物块B都没有上升到定滑轮处。取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，求 （1）物块A刚冲上传送带时加速度的大小及方向； （2）物块A冲上传送带沿传送带向上运动的最远距离及此过程中传送带对物块A做的功； （3）若传送带以不同的速率v（0<v<v0）沿顺时针方向转动，当v取多大时，物块A沿传送带运动到最远处过程中与传送带因摩擦产生的热量有最小值，请求出最小值。 【变式训练2-16】如图，相距L=11.5m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定。质量m=10 kg的载物箱（可视为质点），以初速度v0=5.0 m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数μ= 0.10，重力加速度取g =10m/s2。 (1)若v=4.0 m/s，求载物箱通过传送带所需的时间； (2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度； (3)若v=6.0m/s，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。 【变式训练2-17】如图所示，传送带的水平部分ab长度，倾斜部分bc长度，bc与水平方向的夹角为θ＝37°。传送带沿图示顺时针方向匀速率运动，速率v＝4m/s，现将质量m＝2kg的小煤块（视为质点）由静止轻放到a处，之后它将被传送到c点，已知小煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，且此过程中小煤块不会脱离传送带，取重力加速度大小，求： （1）煤块从a运动到c的时间； （2）煤块在传送带上留下的黑色痕迹的长度； （3）煤块与传送带间的摩擦生热。 【变式训练2-18】如图，一汽缸质量为M=15kg（不含活塞），汽缸中光滑活塞质量m=5kg、横截面积S=10cm2，汽缸内封闭了一定质量的理想气体，不计活塞厚度且汽缸导热性良好，一倾角θ=37°的足够长斜置传送带以速度v=2m/s顺时针匀速运行。将汽缸开口沿传送带向下、一侧面轻放在底端，汽缸沿斜面向上运动，刚开始一段时间内，汽缸内封闭气柱长L1=7cm，一段时间后活塞上升△L=2mm。大气压强恒为p0=1105Pa，环境温度保持不变，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求汽缸与传送带的动摩擦因数μ； （2）求整个过程汽缸与传送带产生的热量Q。 【变式训练2-19】足够长的传送带与水平面间的夹角，传送带以的速度沿逆时针方向匀速转动。用胶水把质量的两个完全相同的物块上下粘在一起形成一个组合体，时，把组合体无初速度放在传送带的顶端，如图所示。已知物块与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）整个过程物块和传送带由于摩擦产生的内能； （2）下面物块在粘接处给上面物块的作用力的大小。 【变式训练2-20】如图所示，静止的粗糙传送带与水平面夹角为，传送带顶端到底端的距离为L=14.25m，平行于传送带的轻绳一端连接质量为m1=0.3kg的小物体A，另一端跨过光滑定滑轮连接质量为m2=0.1kg的小物体B，在外力的作用下，小物体A静止于传送带的顶端。t=0时，撤去外力，同时传送带从静止开始以加速度大小为a0=7m/s2、顺时针方向匀加速转动，传送带速率达到v=7m/s后匀速转动。已知小物体A与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25，小物体B始终未与定滑轮相撞，重力加速度大小为g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）传送带匀加速转动瞬间，小物体A加速度的大小； （2）小物体A从传送带顶端运动到底端的时间。 【变式训练2-21】传送带是建筑工地常见的运输装置，如图所示为传送带的简易图，传送带的倾角为，以的速度顺时针匀速转动，工人将质量的工料（可视为质点）轻轻地放到传送带的底端，并用平行于传送带的轻绳拴接在工料上，启动电动机，电动机对工料提供的牵引力恒为，经过关闭电动机，一段时间后工件刚好到达传送带的最高点。已知工料与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度，不计空气阻力。求： （1）经过时间时，工料的速度大小； （2）传送带两端间的距离。 【变式训练2-22】如图所示，倾角的传送带，正以速度顺时针匀速转动。长度，质量为m的木板轻放于传送带顶端，木板与传送带间的动摩擦因数，当木板前进时机器人将另一质量也为m（形状大小忽略不计）的货物轻放在木板的右端，货物与木板间的动摩擦因数，从此刻开始，每间隔机器人将取走货物而重新在木板右端轻放上相同的货物（一共放了两次货物），重力加速度为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，传送带足够长，求： （1）木板前进时的速度大小； （2）取走第一个货物时，木板的速度大小； （3）取走第二个货物时，木板的速度大小。 【变式训练2-23】如图所示，倾斜传送带与水平地面的夹角，底端A点到顶端B点间传送带长度，B端与一水平台面平滑连接，传送带以的恒定速率沿顺时针方向运动。在A端轻放质量为的小滑块（可视为质点），一段时间后小滑块被运送到B端，然后做抛体运动，最终落到水平台面上。已知小滑块与传送带之间的动摩擦因数为，重力加速度g取。求： （1）小滑块在传送带上的运动时间； （2）小滑块在平台上的落点与B点的距离。（结果可用根式表示） 题型03:传送带与曲线 【典型例题1】如图所示，一质量为kg的滑块从半径为m的光滑四分之一圆弧轨道的顶端A处由静止滑下，A点和圆弧对应的圆心O点等高，圆弧的底端B与水平传送带平滑相接。已知传送带匀速运行的速度为m/s，B点到传送带右端C的距离为m，当滑块滑到传送带的右端C时，其速度恰好与传送带的速度相同（）。 以下说法正确的是（　　） A．滑块滑到B点时对轨道的压力大小为20N B．滑块与传送带之间的动摩擦因数为0.3 C．运动过程中，滑块和传送带间产生的摩擦热为12J D．以上说法都不正确 【答案】B 【详解】A．滑块从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律得 解得 在B点，由牛顿第二定律得代入解得 由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小为故A错误； BD．滑块从B运动到C的过程中，根据牛顿第二定律得 又联立以上两式解得故B正确，D错误； C．设滑块从B运动到C的时间为t，加速度 由得 在这段时间内传送带的位移为 传送带与滑块的相对位移为 故滑块与传送带之间的摩擦而产生的热量故C错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，光滑的圆弧轨道竖直放置，在右侧点与一倾斜传送带相切。为圆弧轨道最低点，圆弧所在圆的圆心为，水平，。一质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最左端以的初速度向下运动。已知圆弧轨道半径，传送带，在电机驱动下始终以速度顺时针匀速转动（与轮子间无相对滑动），小物块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度取，，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： （1）小物块下滑到点时轨道对物块的支持力的大小； （2）小物块从滑上传送带减速至与传送带运动速度相等过程的时间； （3）传送带在传送小物块过程中，因摩擦力做功而产生的热量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【规范答题】（1）小物块从到过程，根据动能定理可得 解得 小物块下滑到点时，根据牛顿第二定律可得 解得 （2）小物块从到过程，根据动能定理可得解得 小物块在传送带减速过程的加速度大小为 小物块减速至与传送带运动速度相等过程的时间为 （3）小物块减速至与传送带运动速度相等过程的位移为 此过程传送带的位移为 小物块与传送带发生的相对位移为 小物块与传送带速度相同后，由于 可知共速后小物块与传送带保持相对静止，一直匀速运动到传送带顶端，故传送带在传送小物块过程中，因摩擦力做功而产生的热量为 【变式训练3-1】如图所示，半径的光滑半圆形轨道竖直固定，它的最底端跟水平传送带的B端平滑连接，轨道上C点和圆心O的连线与水平方向成角。将小滑块（视为质点）无初速度放在传送带A端，同时对小滑块施加水平向右的恒力，当小滑块到达传送带B端时，撤去恒力F。已知小滑块的质量，与传送带之间的动摩擦因数；传送带的长度，始终以的速度顺时针转动，取重力加速度，，。求： （1）小滑块在传送带上的运动时间； （2）小滑块在C点对轨道的压力大小。 【变式训练3-2】如图，相距的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接．传送带向右匀速运动，根据需要设定驱动系统的速度大小。质量的货物（可视为质点）放在距传送带左侧处的P点，右侧平台的人通过一根轻绳用恒力水平向右拉货物。已知货物与平台间的动摩擦因数，货物与传送带间的动摩擦因数，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。求： （1）货物运动到传送带左端时的速度大小； （2）货物在传送带上运动的时间。 【变式训练3-3】某砂场为提高运输效率，研究砂粒下滑的高度与砂粒在传送带上运动的关系，建立如图所示的物理模型．竖直平面内有一倾角θ=37°的直轨道AB，其下方右侧放置一水平传送带，直轨道末端B与传送带间距可近似为零，但允许砂粒通过．转轮半径R=0.4m、转轴间距L=2m的传送带以恒定的线速度逆时针转动，转轮最低点离地面的高度H=2.2m．现将一小物块放在距离传送带高h处静止释放，假设小物块从直轨道B端运动到达传送带上C点时，速度大小不变，方向变为水平向右．已知小物块与直轨道和传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5．（sin37°=0.6） （1）若h=2.4m，求小物块到达B端时速度的大小； （2）若小物块落到传送带左侧地面，求h需要满足的条件 （3）改变小物块释放的高度h，小物块从传送带的D点水平向右抛出，求小物块落地点到D点的水平距离x与h的关系式及h需要满足的条件． 【变式训练3-4】轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。 (1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离； (2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。 题型04：传送带与动量 【典型例题1】生产、运输过程中常常利用传送带运输物品。如题图所示，某场地利用倾斜的传送带将一物品从低处运往高处，在物品随传送带一起向上匀速运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．传送带对物品做正功 B．传送带对物品不做功 C．物品重力不做功 D．物品重力的冲量为零 【答案】A 【详解】AB．在物品随传送带一起向上匀速运动过程中，物品机械能增加，传送带对物品做正功，故A正确，B错误； C．物品克服重力做功，故C错误； D．根据 可知物品重力的冲量不为0，故D错误。 故选A。 【典型例题2】如图所示，在竖直平面内有一倾角的传送带，两皮带轮轴心之间的距离，沿顺时针方向以匀速运动，一质量的物块P从传送带顶端无初速度释放，物块与传送带间的动摩擦因数。物块P离开传送带后在C点沿切线方向无能量损失地进入半径为的光滑圆弧形轨道，并与位于圆弧轨道最低点F的物块Q发生碰撞，碰撞时间极短，物块Q的质量，物块P和Q均可视为质点，重力加速度，，。则（　　） A．物块P到达C点时的速度一定为4m/s B．物块P从释放到下滑到C点的过程中系统增加的内能为9.6J C．物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P的速度可能为1.5m/s D．物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P对轨道的压力大小可能为35N 【答案】ABD 【详解】A．物块P与传送带没有达到共速前，物块P受摩擦力方向沿传送带向下，设其加速度为a1，由牛顿第二定律可得， 物块P与传送带达到共速所用时间 物块P在传送带上的位移为 物块P与传送带达到共速后，由于 可知摩擦力方向沿传送带向上，设此时物块P的加速度为a2，由牛顿第二定律可得 ，解得 物块P在传送带上运动的距离为 设物块P运动到传送带底端C点时的速度为v1，由速度位移关系公式可得 A正确； B．物块P与传送带达到共速时，传送带的位移为 物块P与传送带达到共速后到滑到C点时所用时间 在1s时间内传送带的位移为 物块P与传送带相对位移为 物块P从释放到下滑到C点的过程中系统增加的内能为 B正确； C．设物块P运动到F点时的速度为v2，由动能定理可得，解得 若物块P与物块Q产生完全弹性碰撞，设物块P碰撞后的速度为v3，物块Q碰撞后速度为v4，两物块碰撞中动量守恒和机械能守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得 ，解得 若物块P与物块Q产生完全非弹性碰撞，则有，解得 可知 因此物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P的速度不可能是1.5m/s，C错误； D．在F点，由牛顿第二定律可得，解得 由牛顿第三定律可知，物块P与物块Q第一次发生碰撞后的瞬间，物块P对轨道的压力大小可能为35N，D正确。 故选ABD。 【典型例题3】如图所示，光滑水平面AB的左侧有一固定的竖直挡板，在 B端放置两个滑块，滑块甲的质量 滑块乙的质量 两滑块间固定一压缩弹簧（图中未画出），弹簧储存的弹性势能EP=48J，水平面 B 端紧靠倾角 的传送带，传送带与水平面通过 B端小圆弧平滑连接，传送带以速率 逆时针转动。现解除滑块间弹簧，两滑块分别向左、右弹开，滑块乙经过 B 处冲上传送带，恰好到达C端，然后返回到 B端。已知光滑水平面A、B长度为滑块与传送带间的动摩擦因数 重力加速度 g取10m/s2，滑块甲与竖直挡板、两滑块间的碰撞均为弹性碰撞，滑块通过 B 处时无机械能损失，两滑块均可看作为质点。求： （1）B、C两端传送带的长度L； （2）滑块乙从 B端滑上传送带到第一次回到 B 端的时间t； （3）滑块乙第一次返回到 AB面上后与滑块甲碰撞的位置。 【答案】（1）3.2m；（2）2s；（3）在距B端 1m处 【详解】（1）两物块在弹开过程中，根据动量守恒，得弹簧储存的弹性势能 联立解得 设滑块乙上滑过程中的加速度大小为 a1，根据牛顿第二定律，有解得 滑块乙上滑过程中做匀减速运动直至速度减为零，有 （2）设滑块乙从 B 点运动到C 点所用时间为 t1，有 滑块乙下滑过程中，受力分析可知，刚开始下滑阶段加速度大小为 设滑块乙从 C点向下加速到与传送带速度相同的时间为t2，位移为 x1，根据运动学有 解得 由于 mgsinθ>μmgcosθ，滑块乙继续向下加速，设加速度大小为 a3，运动到 B 点所用时间为t3，根据牛顿第二定律，有解得 由运动学，有解得 则滑块乙从 B 端滑上传送带到第一次回到 B 端的时间 （3）滑块乙回到 B端的速度大小为 在滑块乙回到B端的过程中，滑块甲通过的路程为S甲=v甲t=8m 此时滑块甲与挡板碰撞后返回到距B端2m处，由于 可知两滑块在距 B端 1m 处发生碰撞。 【典型例题4】根据国家邮政局公布的数据，2021年全年，我国快递业务量达1083亿件，同比增长29.9％，包裹数量占全球一半以上。如此巨大的业务量需要依靠智能、高效的分拣系统来完成，传送带就被广泛地应用在该系统中。现将某快递智能分拣系统的一部分简化成如图（b）所示的模型，倾斜传送带上下端A、B间的距离为L=1m，与水平面的夹角θ＝37°，传送带以v0＝5m/s的速度沿顺时针方向匀速转动。光滑水平面上放置一右端带有竖直挡板的平板小车，总质量为M=6kg，小车左端与传送带的B端通过一小段可忽略的光滑轨道（未画出）平滑连接。将可视为质点的质量为m=2kg的包裹从传送带的上端A处由静止释放，离开传送带后水平滑上静止的小车，一段时间后与右侧挡板发生弹性碰撞，最终包裹恰好未从小车上滑落。已知包裹与传送带间的动摩擦因数μ1=0.25，与小车间的动摩擦因数μ2=0.3，不计空气阻力，重力加速度大小取g=10m／s2，求： （1）小车的长度d； （2）包裹从A点释放到相对小车静止过程中因摩擦而产生的内能Q。 【答案】（1）；（2） 【规范答题】（1）包裹刚放到传送带上时，由牛顿第二定律 解得 假设包裹从A到B一直做匀加速运动，则解得 因为，故假设成立，包裹一直加速到B点，速度为 包裹滑上小车后系统动量守恒，设最终共同速度为，则解得 由能量守恒可得解得 （2）设包裹在传送带上运动时间为t，则解得得所以包裹相对传送带运动的距离为 由能量守恒，故包裹因摩擦而产生的内能为 【变式训练4-1】如图，长为的传送带以大小为的速度沿顺时针方向匀速转动，一足够长的长木板紧靠传送带右端放在光滑的水平面上，长木板的上表面与传送带的上表面在同一水平面上，水平地面右侧有一竖直固定的弹性挡板。一可视为质点、质量为的物块轻放在传送带的左端A，随传送带运动到端，以速度滑上长木板，并与长木板一起向右运动，长木板与挡板第一次碰撞前物块与长木板已达到共同速度。已知长木板的质量为，物块与长木板间的动摩擦因数为0.4，长木板与挡板碰撞是弹性碰撞，重力加速度为。求： （1）物块与传送带的动摩擦因数至少为多少；物块在传送带上运动的时间最长为多少； （2）开始时，长木板的右端离挡板的距离至少为多少； （3）长木板与挡板第次碰撞前一瞬间，长木板的速度为多大。    【变式训练4-2】如图所示，水平平台上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点，平台AB段光滑，BC段长度x＝1 m，与滑块间的动摩擦因数μ1＝0.25。平台右端与水平传送带相接于C点，传送带顺时针旋转，运行速度v＝2 m/s，长度L＝2.75 m，与滑块间的动摩擦因数μ2＝0.2，传送带右端D点与竖直固定放置的光滑圆弧形轨道刚好相切，光滑圆弧的半径R＝0.2 m。现将一质量m1＝2 kg的滑块P向左压缩轻弹簧到某处锁定，此时弹簧的弹性势能Ep＝41 J，然后突然解除锁定，滑块P开始运动，并最终与静止在D点的质量为m2的滑块Q发生弹性碰撞(碰撞时间极短)。已知重力加速度g＝ 10 m/s2，不计空气阻力，滑块P和Q均可看成质点。 (1)求滑块P到达C点时的速度vC； (2)求滑块P第一次经过传送带的过程中，系统因摩擦产生的内能E内； (3)若滑块Q的质量m2可以改变，要使滑块Q在中途不脱离圆弧形轨道，则滑块Q的质量m2的范围为多少？(结果可带根号) 【变式训练4-3】图为某一食品厂生产流水线的一部分，AB是半径为R的光滑半圆轨道，产品2加工后以的速率从A点沿半圆轨道下滑，到达轨道最低点B处时，与静止在此处的产品1发生弹性碰撞（假设每一个产品的质量均为m），被碰后的产品1沿粗糙的水平轨道BC滑动，以的速度滑上运行速度为v的传送带CD。其中BC段为生产线中的杀菌平台，长度为4R，传送带的摩擦因数为，长度为14R，求： （1）为了保证产品以最短的时间经过CD，则传送带的速度应满足什么条件？ （2）BC段杀菌平台的摩擦因数是多少？ （3）调整产品从A点出发的速度可以调整杀菌的时间，则产品既不脱轨又能滑上传送带的最长杀菌时间t是多少？ 【变式训练4-4】为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 【变式训练4-5】如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知，，，，，物块与MN、CD之间的动摩擦因数，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点，取。 （1）若，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度的大小； （2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力与h间满足的关系； （3）若物块b释放高度，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，水平向右为正，建立x轴）。 【变式训练4-6】如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直放置，底端与一水平传送带相切，一质量的小物块a从圆弧轨道最高点P由静止释放，到最低点Q时与另一质量小物块b发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知圆弧轨道半径，传送带的长度L=1.25m，传送带以速度顺时针匀速转动，小物体与传送带间的动摩擦因数，。求 （1）碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小； （2）碰后小物块a能上升的最大高度； （3）小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间。 【变式训练4-7】一个小孩做推物块的游戏，如图所示，质量为m的小物块A放置在光滑水平面上，紧靠物块右端有一辆小车B，小孩蹲在小车上，小孩与车的总质量为6m，一起静止在光滑水平面上，物块A左侧紧挨着足够长的水平传送带MN，传送带的上表面与水平面在同一高度，传送带以速度v顺时针转动。游戏时，A被小孩以相对水平面的速度向左推出，一段时间后返回到传送带右端N，继续向右追上小孩后又立即被小孩以相对水平面的速度向左推出，如此反复，直至A追不上小孩为止。已知物块A与传送带MN间的动摩擦因数为，重力加速度为g。 （1）求物块第一次被推出后，小孩与车的速度大小； （2）若传送带转动的速度，求物块被小孩第一次推出后到返回传送带右端N所用的时间。 【变式训练4-8】如图所示，水平传送带两轮间的距离，传送带以恒定的速率顺时针匀速转动，两质量分别为、的小滑块、用一根轻绳（未画出）连接，中间夹着一根被压缩的轻质弹簧（弹簧与物体不拴接），此时弹簧的弹性势能，现把、从传送带的最左端由静止开始释放，时轻绳突然断裂，瞬间弹簧恢复至原长（不考虑弹簧的长度的影响）。已知两滑块块与传送带之间的动摩擦因数均为，重力加速度，求： （1）从出发到轻绳突然断裂的过程中，两滑块与传送带之间摩擦所产生的热量； （2）两滑块离开传送带的时间差。 【变式训练4-9】如图所示，质量为长木板A静止在光滑的平台上，长木板A的上表面与水平传送带齐平，二者间的缝隙可忽略，传送带左右两端距离，沿逆时针方向以恒定速度转动。传送带的上表面距地面的高度，质量为的物块B以初速度从光滑水平面的下方点斜向上抛出，点距传送带右端的水平距离为，恰好无碰撞地滑上水平传送带。物块B与传送带、长木板A间的动摩擦因数均为，物块B可视为质点，重力加速度。求： （1）物块B抛出的初速度的大小和方向； （2）若传送带的速度，则物块B在传送带上运动的时间t； （3）若传送带的速度，若物块B不能滑离长木板A，求木板A的长度至少为多少？    【变式训练4-10】如图为某自动控制装置的示意图，平台左右等高，在两平台中间有一个顺时针匀速转动的水平传送带，传送带的速度大小v和长度L都可以根据需要由自动驱动系统调节。一质量的物体（可视为质点）以初速度从左侧平台滑上传送带、物体与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度取。 （1）若，传送带的长度，要求物体运动到传送带右端的时间最短，求该过程中摩擦力对物体的冲量大小I； （2）若，传送带的长度，当物体运动到传送带右端时、刚好与传送带相对静止，求物体与传送带之间的相对位移大小x。    【变式训练4-11】如图所示，一长的水平传送带在电动机带动下以速度沿顺时针方向匀速转动，质量的小物块和质量的小物块B由跨过定滑轮的轻绳连接，绳不可伸长，A与定滑轮间的绳子与传送带平行。某时刻将物块A轻轻放在传送带最左端，已知物块A与传送带间的动摩擦因数，滑轮的质量和绳与滑轮间的摩擦不计，重力加速度，两物块均可视为质点。求： （1）把物块A放上去瞬间B的加速度的大小； （2）物块A从传送带左端运动到右端过程中传送带对物块A的冲量大小。 【变式训练4-12】如图，足够长的水平传送带AB以的速率逆时针方向匀速运行。质量为m的木板CD置于光滑的水平面上，木板与传送带上表面等高，B与C之间的缝隙不计。现将质量为的小滑块a置于木板上，让质量也为m的小滑块b以的初速度从传送带的A端沿传送带向左滑动，从小滑块b滑上木板开始计时，经时间与小滑块a弹性正碰。已知小滑块a与木板间的动摩擦因数，小滑块b与木板间的动摩擦因数，小滑块b与传送带间的动摩擦因数为取。 （1）求小滑块b从A端滑上传送带开始到与传送带共速所需时间； （2）求小滑块b刚滑上木板时，小滑块a的加速度大小； （3）求小滑块b与小滑块a碰前瞬间，小滑块a的速度大小； （4）若碰后小滑块a不会滑离木板，求小滑块a相对木板滑行的最大距离s。 【变式训练4-13】如图所示，两轮轴间长为的水平传送带以的速度沿顺时针方向转动，质量为的小物块（可视为质点）从传送带最左端A处以水平向右、大小为的初速度滑上传送带，传送带与小物块间的动摩擦因数，重力加速度g取，求： （1）小物块在传送带上匀减速运动的距离； （2）小物块在传送带上从最左端A处运动到最右端B处所用的时间。    【变式训练4-14】如图，足够长的水平传送带AB以的速率逆时针方向匀速运行。质量为m的木板CD置于光滑的水平面上，木板与传送带上表面等高，B与C之间的缝隙不计。现将质量为的小滑块a置于木板上，让质量也为m的小滑块b以的初速度从传送带的A端沿传送带向左滑动，从小滑块b滑上木板开始计时，经时间与小滑块a弹性正碰。已知小滑块a与木板间的动摩擦因数，小滑块b与木板间的动摩擦因数，小滑块b与传送带间的动摩擦因数为取。 （1）求小滑块b从A端滑上传送带开始到与传送带共速所需时间； （2）求小滑块b刚滑上木板时，小滑块a的加速度大小； （3）求小滑块b与小滑块a碰前瞬间，小滑块a的速度大小； （4）若碰后小滑块a不会滑离木板，求小滑块a相对木板滑行的最大距离s。 【变式训练4-15】如图所示的游戏装置放置在水平地面上，该装置由水平直轨道OB、两个相同的四分之一圆弧构成的竖直细管道BC、水平直轨道CD和水平传送带DE平滑连接而成。传送带以恒定速度做顺时针转动。一轻质弹簧左端固定，原长时右端处于O点。质量的滑块a将弹簧压缩至A处（图中未标出），此时弹性势能。释放后滑块通过ABC段，进入轨道CD与质量的滑块b发生弹性碰撞，碰后滑块b从E点水平飞出。已知OB段长，滑块a与OB段的动摩擦因数，圆弧半径，传送带长，滑块b与传送带的动摩擦因数，滑块均可视为质点，装置其余部分均光滑，不计空气阻力。求： （1）在竖直光滑细管道C点时滑块a受到管道的作用力大小； （2）滑块a最终静止的位置与管道最低点B的距离； （3）滑块b平抛的水平距离x与传送带速度大小v的关系。 1 学科网（北京）股份有限公司 $