精品解析：湖南省岳阳市湘阴县2025-2026学年高二上学期教学质量检测试卷数学试题

2025年下期教学质量检测试卷 高二数学 姓名______考号______ 本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效， 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 3. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】点在抛物线上，抛物线开口向右，， 又点到抛物线焦点的距离为4，，. 故选：C. 4. 已知向量与共线，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量与共线， 显然：,所以， 所以， 故． 故选：D 5. 已知圆与圆，则两圆（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆方程可得圆心和半径，根据圆心距和两圆半径之间关系可得结果. 【详解】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径； 圆心距，两圆外离. 故选：D. 6. 已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面的法向量，利用，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 7. 两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线，和圆“相切”，则a应满足（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 当两平行直线和圆相交时，由，求得a的范围，当两平行直线和圆相离时，由，求得a的取值范围；再把以上所求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求. 【详解】因为圆可化为，圆心为，半径为， 当两平行直线和圆相交时，有，解得． 当两平行直线和圆相离时，有，解得或． 故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求． 故所求的a的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键在于根据题中条件，在理解题中相切的定义时，先求出由直线与圆相交和相离两种情况下，参数的范围，再求其补集，即可得出结果. 8. 若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得为的中点，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，求得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由为的中点可得，利用弦长公式求出，表示出，根据，判断求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，， 联立，可得， 所以， 所以的面积为， 由，可得为的中点，所以， 因为点在椭圆上，所以，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得，， ， 设，，则，， ， 所以点坐标为， 因为点在椭圆上，所以， 因为原点到直线的距离为， ， 所以的面积为 ， 综上，，又， 又， 所以当时，的面积最大. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由可得为的中点，由此得到，将此关系代入并化简可将表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列数列中，是等差数列的是（ ） A. 1，4，7，10 B. C. D. 10，8，6，4，2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以等差数列，故D正确． 故选：ABD. 10. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共面向量定理可判断A；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD. 【详解】因为，所以共面，又均过点， 所以共面，所以平面，故A正确； 以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 当时，，所以， 所以，又，所以不平行于平面，故B错误； 所以，所以，所以平面，故C正确； 当时，， 所以点G到平面距离为，故D错误. 故选：AC. 11. 我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则（ ） A. 关于轴、轴对称 B. 当不在轴上时， C. 当时，纵坐标的最大值大于 D. 当，有公共点时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，写出轨迹方程，将，代入即可判断，对于B，由三角形两边之差小于第三边即可判断，对于C，通过即可判断，对于D，联立方程，得到，结合椭圆范围可判断. 【详解】对于选项A：设， 由，得， 将代入得到， 将将代入得到， 所以关于轴、轴均对称，A正确； 对于选项B：当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点， 所以，B错误； 对于选项C：当时，， 当时，可得：， 解得：，此时， 即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 对于选项D：由，得为椭圆， 且，其方程为， 所以，代入， 得， 所以，因为，所以， 解得：或舍去，D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：曲线关于轴、轴的对称对称性问题，可将，代入曲线方程，是否满足即可判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆：与圆：的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】联立， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 13. 已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量与夹角是_____． 【答案】90° 【解析】 【分析】根据数量积为0即可得结果. 【详解】∵=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα）， ∴， ∴ ∴与垂直， ∴向量与的夹角为：90° 故答案为：90° 14. 已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线与抛物线联立方程组可求得，进而根据基本不式求|的最小值即可. 【详解】抛物线与圆交于两点，且， 得到第一象限交点(1，2)在抛物线上，所以， 解得，所以C：，则， 设直线，与联立得， 设，所以， ， ， ， 当且仅当时等号成立. 即的最小值为. 故答案：. 【点睛】方法点睛： 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标； （2）求出，证明出结论. 【小问1详解】 根据空间直角坐标系可得，. 【小问2详解】 ∵，， ∴，. 即， ∴， 故. 16. 已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用的关系，求即可； （2）由，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 因为， 所以． 17. 已知直线与圆交于，两点． （1）当时． （i）若，求； （ii）求a的取值范围． （2）记坐标原点为O，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）（i）；（ii）， （2） 【解析】 【分析】（1）（i）在，条件下求得圆心到直线的距离，由此判断为直径，再求的长， （ii）在条件下求圆心到直线的距离，由条件可得，解不等式求结论， （2）分，两种情况确定的关系，求四边形的面积，再求其最大值. 【小问1详解】 圆的圆心的坐标为，半径， 当时，直线的方程为， （i）当时，点到直线的距离， 故直线过圆心，线段为直径，故， （ii）圆心到直线的距离， 由已知，所以， 【小问2详解】 当时，圆的圆心为，此时的方程为， 由可得，，直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时， 又，直线与直线的距离为， 所以四边形的面积为， 当时，直线的方程为，即， 因为，所以，故直线的方程为， 此时点到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交，， 又， 直线与直线的距离为， 所以四边形的面积为， 所以， 令，则，， 因函数在上单调递增， 所以， 综上，当时，四边形面积取最大值，最大值为. 18. 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点． 【答案】（1）. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得的值，即得答案. （2）当直线斜率存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合化简可得参数的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点. 【小问1详解】 根据椭圆定义得，，即 ， ，故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：， 则由题意得，将，代入整理得： （*）， 将代入椭圆方程整理得， 需满足 ，则， 代入（*）式得：， 整理得， 当时，过B点，不合题意； 故，直线的方程为， 故此时过定点； 当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ， 不妨设， 由可得 ，解得， 此时方程为，也过定点， 综合上述，过定点. 【点睛】方法点睛：关于直线和圆锥曲线的位置关系涉及直线过定点的问题，一般方法是设出直线方程，并和圆锥曲线方程联立，应用根与系数的关系式结合条件表示出参数之间的关系，从而将直线看作直线系方程，分离参数即可求得定点，同时要注意直线斜率不存在的情况. 19. 已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求的最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值； （2）首先利用点的坐标表示直线和的直线方程，并与椭圆方程联立，求点和点的坐标，利用平行线的性质，转化为坐标关系式，即可求解； （3）一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 利用直线与椭圆相交得交点坐标关系，结合点到直线距离公式得关于的关系式，利用基本不等式得最值即可得结论. 【小问1详解】 设，，， ， 当时，的最小值为； 【小问2详解】 ，与椭圆：联立， ，即， ，得， ，与椭圆：联立， ，， 得， 因为四边形为梯形，所以，所以， 于是，即， 整理为，整理为， 解得：， 故存在点，使得四边形为梯形； 【小问3详解】 由题设可知，一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 在直线上四点满足：, 由，消去得， 恒成立， 设，， 由根与系数的关系，得，， ， 所以，点到的距离， 则， 当且仅当，即时等号成立， 验证可知满足题意，因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期教学质量检测试卷 高二数学 姓名______考号______ 本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效， 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列公差为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 已知向量与共线，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 5. 已知圆与圆，则两圆（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 6. 已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线，和圆“相切”，则a应满足（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列数列中，是等差数列的是（ ） A 1，4，7，10 B. C. D. 10，8，6，4，2 10. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 11. 我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则（ ） A. 关于轴、轴对称 B. 当不在轴上时， C. 当时，纵坐标的最大值大于 D. 当，有公共点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆：与圆：的公共弦长为______. 13. 已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量与的夹角是_____． 14. 已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证： 16. 已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和． 17. 已知直线与圆交于，两点． （1）当时． （i）若，求； （ii）求a的取值范围． （2）记坐标原点为O，若，求四边形面积的最大值． 18. 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点． 19. 已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求的最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $