必修第一册综合检测2-2025-2026学年高一上学期数学人教A版

必修第一册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·辽宁·三模）若全集，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东枣庄·月考）是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川·月考）已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·天津·期中）下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①当时，的最小值是5； ②与表示同一函数； ③函数的定义域是，则函数的定义域是； ④已知，，且，则最小值为． A． B． C． D． 8．（25-26高三上·重庆·期中）是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·山东德州·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·重庆北碚·月考）记，定义域为，则下列选项正确的是（    ） A．为中心对称函数 B．的值域为 C．集合为的子集，若，则S可以为 D．，且满足，则 11．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（    ） A． B．，且，恒有 C．函数在上的值域为 D．对，恒有成立的充分不必要条件是 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2026高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 13．（25-26高三·全国·课后作业）已知一扇形的圆心角为（），扇形的周长是一定值（），当为 弧度时，该扇形面积取得最大值. 14．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，则 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一上·北京丰台·期末）记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·山西长治·期末）设为奇函数，a为常数. (1)求a的值； (2)判断函数在区间上的单调性并证明. 17．（25-26高三上·四川成都·月考）已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2． （1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式； （2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围． 18．（24-25高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 19．（25-26高一上·北京·期中）设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，. (1)求的值； (2)判断在区间内的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修第一册综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025·辽宁·三模）若全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集，补集与子集的意逐项判断即可. 【详解】因为，，所以，，故AD错误； 所以，，所以，，故B正确，C错误. 故选：B. 2．（25-26高三上·山东枣庄·月考）是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立. 【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立. 故选：A 3．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域为[0，2]，可知道使有意义的满足,再结合分母不为0，即可解出答案. 【详解】函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且 .所以 解得 故答案为：C. 【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题. 隐函数的定义域问题需掌握两点： ①定义域都是的取值范围.②同一个对应法则下，括号内的取值范围是一样的. 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中间值，根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递减， 可得，即； 且在定义域内单调递增， 可得，即； 又因为，即； 所以. 故选：A 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案. 【详解】 是定义在上的奇函数,且当时, 当,有, 即 在上是单调递增函数,且满足 不等式在恒成立, ,恒成立 对恒成立 解得: 则实数的取值范围是:. 故选:A. 【点睛】本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 6．（25-26高三上·四川·月考）已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意求出的解析式，再根据x的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期， ∴，解得：， 由于是函数的一条对称轴，且为的一个对称中心， ∴，（），则，（），则， 又∵，，由于，∴，故， ∵，∴，∴，∴. 故选：B． 7．（25-26高一上·天津·期中）下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①当时，的最小值是5； ②与表示同一函数； ③函数的定义域是，则函数的定义域是； ④已知，，且，则最小值为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③； 【详解】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误； 对于②与表示同一函数，故②正确； 对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误； 对于④已知，，且，所以，则 ，当且仅当，即，时取等号，故④正确； 故选：B 8．（25-26高三上·重庆·期中）是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：. 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称. 所以，即的周期为4. 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在上的图象. 令 若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点. 所以，即，解得. 故答案为：C 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·山东德州·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用、关系及角的范围判断函数值符号，进而确定对应函数值. 【详解】， 因为，则，故，A对； 由， 联立，解得，BD对，C错． 故选：ABD 10．（24-25高二下·重庆北碚·月考）记，定义域为，则下列选项正确的是（    ） A．为中心对称函数 B．的值域为 C．集合为的子集，若，则S可以为 D．，且满足，则 【答案】ACD 【分析】利用一次分式函数的性质（图象由反比例函数图象平移可得），计算可得对称点坐标，判断A，可用反解法求得函数值域（也可用特殊值）判断B，计算函数值后可判断C，利用C中计算结果，令代入计算求出判断D． 【详解】, 所以的图象关于点对称．A正确； ，因此B错； ，，，所以S可以为，C正确； 令  ① 令  ② 令  ③ 结合①②③可得，D正确． 故选：ACD． 11．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数是奇函数，下列选项正确的是（    ） A． B．，且，恒有 C．函数在上的值域为 D．对，恒有成立的充分不必要条件是 【答案】ABD 【分析】根据函数的奇偶性的概念即可得的值，从而可判断A；根据指数函数与反比例函数的性质可判断函数在上的单调性，从而可判断B；由函数的单调性求函数值即可得函数在上的值域，从而可判断C；由函数单调性解不等式，结合含参一元不等式恒成立即可求的取值范围，从而可判断D. 【详解】函数的定义域为，又是奇函数，所以，故，故A正确； ，由于函数在上递增，函数在上递增， 所以函数上递增，则，且，恒有，故B正确； 因为在上单调递增，，又，所以函数在上的值域为，故C错误； 若对，恒有成立，则，即整理得的解集为， 当时，不等式的解集为，不符合题意 当时，要使得解集为，则有，解得， 综上，对，恒有可得，其成立的充分不必要条件是，故D正确. 故选：ABD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2026高三·全国·专题练习）已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 13．（25-26高三·全国·课后作业）已知一扇形的圆心角为（），扇形的周长是一定值（），当为 弧度时，该扇形面积取得最大值. 【答案】2 【分析】设扇形半径为，由题有， 据此表示出扇形面积，后由基本不等式可得答案. 【详解】设扇形半径为，由题有， 则扇形面积为：. 则， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：2 14．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式化简，再将含的三角函数弦化切，通过变形即可求出. 【详解】因为， 所以 ， 得， 所以， 则 . 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一上·北京丰台·期末）记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，代入，进而可求得； （2）求出，再根据可得实数的取值范围． 【详解】（1），，即， 当时，，又集合或 ； （2）由已知， ， . 16．（25-26高一上·山西长治·期末）设为奇函数，a为常数. (1)求a的值； (2)判断函数在区间上的单调性并证明. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）利用函数单调性的定义求解. 【详解】（1）为奇函数， ∴， ∴ ∴，即， 解得或， 当时，，此时无意义， 当时，，符合题意， ∴ （2）由（1）知，， 任取，设，则， ∴. ∴，即， ∴在上是增函数. 17．（25-26高三上·四川成都·月考）已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2． （1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式； （2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【详解】试题分析 ：（1）首先由两角和的正弦公式可得，进而即可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示； 对于（2），首先由的取值范围，求出的取值范围，再对已知进行恒等变形可得在区间上恒成立，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围. 试题解析： （1）， 因为，所以，其中， 即，． （2）由（1）知，当时，，    又在区间上单调递增， 所以，从而， 要使不等式在区间上恒成立，只要，    解得：．     点晴:本题考查的是求函数的解析式及不等式恒成立问题. （1）首先，可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示;(2)先求二次函数，再解不等式. 18．（24-25高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长交于，延长交于， 由是正方形，是矩形，可知，， 由，可得，， 所以，， 故； （2）令由，可得， 所以， 则， 因为，， 所以，所以， 所以当，即或，即或时，取得最大值， 所以，此时或.    19．（25-26高一上·北京·期中）设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，. (1)求的值； (2)判断在区间内的单调性，并给出证明； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)增函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案； （2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立， 令，可得，所以， 令，可得，即，解得； （2）函数为增函数，证明如下： 设且， 令，根据题意，可得，即， 又由时，， 因为，可得，即，即， 所以函数在上的单调递增； （3）由题意和（1）可得：， 又由不等式，即， 可得，解得， 即不等式的解集为. 【点睛】关键点睛：令，构造大于1的实数是证明单调性的关键. 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $