1.1 三角形内角和定理 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形外角概念及内角和定理的两个推论，通过屋顶钢架等现实情境导入，引导学生从内角过渡到外角，以问题链搭建学习支架，衔接旧知（内角和定理）与新知。 其特色在于以情境创设激发数学眼光，通过定义辨析、推论证明等问题链培养推理能力，结合飞镖型、8字型等模型及中考真题练习，强化模型意识与应用能力。学生能深化知识理解，教师可依托清晰环节提升教学效率。

第一章 三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第2课时 三角形内角和定理的推论 1 学习目标 1．理解掌握三角形的外角的概念，掌握外角的两个定理． 2．综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行证明和计算． ▲重点 三角形外角的两个定理． ▲难点 灵活运用三角形外角的性质、定理解决问题． 2 导入新课 问题:在这些三角形结构中,除了我们之前学过的内角,你还能发现哪些特殊的角?比如,屋顶钢架中,三角形的一条边延长后与另一条边形成的角,它和三角形的内角有什么关系呢? 这样的角是三角形的外角,本节课我们就来探讨与三角形的外角相关的内容. 3 新知探究 环节一:认识三角形的外角 问题:什么是三角形的外角呢? 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角,叫作三角形的外角.如图,就是△ABC的一个外角. 外角的一条边是该内角的一边 外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线 外角的顶点是该内角的顶点 4 新知探究 你能在图中画出△ABC的其他外角吗? 一个三角形有多少个外角? 一个三角形有6个外角. 5 新知探究 如图,延长AC到点E,∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?∠ACD与∠BCE有什么关系? ∠BCE是△ABC的一个外角; ∠DCE不是△ABC的一个外角; ∠ACD与∠BCE是对顶角,相等. 6 新知探究 在三角形的每个顶点处有多少个外角?每个顶点处的外角有什么关系? 在三角形的每个顶点处相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角,相等. 7 新知探究 三角形的外角应具备的条件: ①角的顶点是三角形的顶点; ②角的一边是三角形的一边; ③另一边是三角形中一边的延长线. 8 跟踪练习 如图，△ACD的外角是（　C　） A. ∠EAD B. ∠BAC C. ∠ACB D. ∠CAE C 新知探究 环节二:探究三角形内角和定理的推论 问题:如图,∠1与△ABC的内角有什么关系? ∠1=∠2+∠3 你能证明你的结论吗? ∠1和哪个角组成平角? 这个角在三角形中是什么角? 三角形的三个内角的和是多少? 10 新知探究 已知:∠1是△ABC的一个外角,且∠1与∠4是邻补角. 求证:∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠1与∠4是邻补角, ∴∠1+∠4=180°. 又∵在△ABC中, ∠4+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理), ∴∠1=∠2+∠3. 推论1——三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 11 跟踪练习 如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠ACD＝（　B　） A. 110° B. 100° C. 55° D. 45° B 新知探究 推论1——三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 由这个结论,你们还能推出∠1与∠2,∠1与∠3的大小关系吗? ∵∠1=∠2+∠3, ∴∠1>∠2,∠1>∠3. 推论2——三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 13 跟踪练习 如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是（　B　） A. ∠A＞∠1＞∠2 B. ∠2＞∠1＞∠A C. ∠A＞∠2＞∠1 D. ∠2＞∠A＞∠1 B 新知探究 环节三:三角形内角和定理推论的应用 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 15 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∠B=∠C， ∴∠C= ∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAC= ∠EAC。 ∴∠DAC=∠C。 ∴AD // BC。 还有其他证法吗？ 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∠B=∠C， ∴∠B= ∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAE= ∠EAC。 ∴∠DAE=∠B。 ∴AD // BC。 例2 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC >∠A。 D 证明：如图，延长BP，交AC于点D。 ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。 ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。 ∴∠BPC＞∠A。 还有其他证法吗？ 有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点 D， ∵ ∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD， ∴ ∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD， 即∠BPC>∠BAC. B A C P D 例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 角度模型 飞镖型： ∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD 8字型： ∠A+∠B=∠C+∠D 1.如图，下列关于外角的说法正确的是( ) D A.是 的外角 B.是 的外角 C.是 的外角 D.是 的外角 （1）顶点是三角形的顶点；（2）一条边是三角形内角的一边；（3） 另一条边是该内角另一边的反向延长线。 课堂练习 21 2.教材随堂练习变式 [2025南充中考]如图，把 含有 的直角三角尺斜边放在直线 上，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 【解析】 。 22 3.[2025贵阳期中]将一副三角尺（厚度忽略不计） 按如图所示的方式摆放，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】 如图，在中， ， ， 。是 的外角， 。 23 4.[2025天水七中月考]如图，在中， 是它的 一个外角，为边上一点，延长到点 ，连接 。则下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为，，所以 ，故A项符合题意，B 项不符合题意；，而和不一定相等，所以 和 不一定相等，故C项、D项不符合题意。 24 5.[2025张掖甘州区期末]如图，是 中 的平分线，是 的外角的平分线， 若 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 是的平分线，是 的外角的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 25 6. 如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分 ∠ABC交AC于点D，E为线段BD上的任一点，连接CE. （1）求∠BDC的度数； 解：（1）因为∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5， 所以∠A＝ ×180°＝45°， ∠ABC＝ ×180°＝60°， ∠ACB＝ ×180°＝75°. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝ ∠ABC＝30°， 所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＝45°＋30°＝75°. （2）求证：∠BEC＞∠A. 解：（2）证明：因为∠BDC为△ABD的外角， 所以∠BDC＞∠A. 同理可得，∠BEC＞∠BDC， 所以∠BEC＞∠A. 6. 如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分 ∠ABC交AC于点D，E为线段BD上的任一点，连接CE. 7.阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题。 28 （1）探究1:如图1，在中，是与的平分线和 的 交点，试分析与 有怎样的关系？请说明理由。 解: 。理由如下： 和分别是与 的平分线， ，， ， 又 ， ， 。 29 （2）探究2:如图2，是与外角的平分线和 的交点，试 分析与 有怎样的关系？请说明理由。 解： 。理由如下： 和分别是与外角 的平分线， ， ， 又 ， ， 。 30 （3）探究3:如图3，是外角与外角的平分线和 的交点， 请直接写出与 的关系。 解： 。 ，， ， ，， ， 。在 中， 。 31 课堂总结 1.通过本节课,你学习到了什么知识? 2.你体会到了什么数学思想与数学方法? 3.你还有哪些疑惑? 32 课堂小结 三角形的外角 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 A B C 3 2 1 三角形的外角和等于360°。 $