1.1 三角形内角和定理 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

这是一份初中数学同步教学课件，共34页，以三角形内角和定理为核心，通过撕角拼图导入、多种证明方法探究（拼接法、平行线法等）、例题解析及变式练习，构建“操作-证明-应用”的学习支架，同步覆盖定理推导与AAS全等判定等内容。 资料注重核心素养培养，通过撕角拼图直观操作引导学生用数学眼光发现问题，以延长法、过顶点作平行线等多种证明方法渗透转化思想，结合中考真题变式练习提升应用能力。适用于八年级学生，帮助其夯实基础、发展推理意识，为教师提供结构化教学方案，提升课堂效率。

第一章 三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 1 学习目标 1．通过操作与探究，发现并理解三角形内角和等于180°. 2．掌握至少两种证明三角形内角和定理的方法(拼接法与平行线法)． 3．能运用定理解决简单的角度计算问题． 4．利用相关的基本事实和已经学过的定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，并掌握全等三角形的性质． 2 学习目标 ▲重点 探索三角形的内角和． ▲难点 三角形内角和定理及“AAS”定理的推导和论证． 3 导入新课 问题:在八年级上册“证明”一章中,给出了八条基本事实,并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.七年级时,是如何探索三角形三个内角的和的? 通过撕角拼图 4 导入新课 如图,如果只把∠A移动到∠1的位置,那么你能说明三角形三个内角的和等于180°吗? 根据两直线平行,同旁内角互补能说明三角形三个内角的和等于180°. 5 导入新课 如果不移动∠A,那么还有什么方法可以达到同样的效果? 6 导入新课 通过撕角拼图活动,我们得出了三角形三个内角的和等于180°的直观结论,但尚未进行严谨的逻辑证明. 今天我们就运用已学的基本事实、定义和定理来证明三角形内角和定理及其应用. 7 新知探究 环节一:证明三角形内角和定理 问题:我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你能证明这个结论吗? 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 从上面的操作过程中,你能发现证明的思路吗? 8 新知探究 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 证明:如图,延长BC至点D,过点C作射线CE,使CE∥BA,则∠1=∠A,∠2=∠B. ∵点B,C,D在同一条直线上, ∴∠1+∠2+∠ACB=180°. ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线. 9 新知探究 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 对于三角形内角和定理,还有其他证明方法吗? 证明:(方法一)如图,过点A作PQ∥BC. ∵PQ∥BC, ∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等). ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°, ∴∠B+∠BAC+∠C=180°. 10 新知探究 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 证明:(方法二)如图,过点A作AD∥BC. ∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等), ∠B+∠BAD=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∴∠B+∠BAC+∠1=180°. ∴∠B+∠BAC+∠C=180°. 11 A B C 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。 1 2 3 D E F 证法三 证明：如图，过点D作DE // AC交AB于点E，DF // AB交AC于点F，则 ∠1=∠C，∠3=∠B， ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°。 ∴∠A=∠2。 ∵点B，D，C在同一条直线上， ∴∠1+∠2+∠3=180°。 ∴∠A+∠B+∠C=180°。 除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部或外部构造平角。 思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 两直线平行，同旁内角互补 讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？ A B C A B C 根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法。 l D E F A B C E D A B C l A B C D E F A B C l A B C D E F 思考：多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？ 转化思想 添加辅助线（平行线） 利用平行线的性质，转移角 转化为平角或同旁内角 新知探究 多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么? 为了证明三角形三个内角的和等于180°,可将其转化为一个平角或一组互补的同旁内角,这种转化思想是数学中常用的方法. 16 例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. B C A D 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). ∵ ∠B=38°，∠C=62°， ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°. ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD=∠CAD = ∠BAC=×80°=40°. 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理). ∵ ∠B=38°，∠BAD=40°， ∴ ∠ADB=180°-38°- 40°=102°. 环节二:运用三角形内角和定理解决问题 变式练习 [2025上海长宁区期末]如图，在中，已知是 的 平分线，点是内一点，且， ， ， 那么____ 。 58 18 【解析】 ， ， ， ，即 ， ，即 ， ，是 的平分 线， ， 。 19 新知探究 环节三:尝试·思考——推导全等三角形定理“AAS” 我们学过的三角形全等的判定定理有哪些? SSS,SAS,ASA,AAS. 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)”这个结论,你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 20 新知探究 已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证:△ABC≌△DEF. 分析:①由三角形内角和定理,得∠C=∠F; ②结合BC=EF,用“ASA”证明两个三角形全等. 证明：在△ABC和△DEF中, ∠A+∠B+∠C=180°,∠D +∠E+∠F=180°. 因为∠A=∠D,∠B=∠E,所以∠C=∠F. 又BC=EF ,所以△ABC≌△DEF（ ASA ）. 根据全等三角形的定义,我们可以得到,全等三角形的对应边相等、对应角相等. 21 根据全等三角形的定义，我们可以得到 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 变式练习 如图，AB∥CD，E为BD上一点，AB＝ED，连接CE，且∠1＝∠C. (1)求证：△ABD≌△EDC； 【方法指导】(1)根据AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，结合已知条件，根据AAS即可证明． (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BDC. 又∵AB＝ED，∠1＝∠C， ∴△ABD≌△EDC(AAS). (2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度数． (2)解：∵△ABD≌△EDC， (2)根据△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根据三角形内角和定理即可求解． ∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°， ∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°， ∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°. 1.[2025南昌期中]将一副三角尺如图摆放，则图 中 的度数是( ) B A. B. C. D. 【解析】 如图， ， ， ， 。 课堂练习 25 2.[2024烟台期中]如图，把沿线段折叠，使点 落 在线段上的点处，。若 ，则 ____ 。 32 【解析】 由折叠的性质，知 ，因为 ，所以 。因为 ，所以 。所以 。 26 3.如图，点,点在 上，， ， 添加一个条件，不能证明 的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，，即。当 时，利用可证明，A项不符合题意；当 时，利用可证明，B项不符合题意；当 时， 利用可证明，C项不符合题意；当 时，无法 证明 ，D项符合题意。 27 4.教材习题变式 [2025西安西光中学月考]如 图，， ，且 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 28 【解析】 在中， ，所以 。因为 ，，所以 ， ，所以 。 在中， ，所以 。（整体思想） 29 5.[2025芜湖三模]如图，，两点分别在 的两 边，上，连接，已知 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 ， ， ， ， 。 30 6. 如图，在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，点D在边AC 上，AE和BD相交于点O. （1）若∠2＝42°，求∠AEB的度数； 解：（1）∵∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B， ∴∠AEB＝∠2＝42°. （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED. 解：（2）证明：∵∠2＋∠BDE＋∠EDC＝180°， ∠1＋∠C＋∠EDC＝180°，∠2＝∠1， ∴∠C＝∠BDE. 在△AEC和△BED中， ∴△AEC≌△BED（AAS）. 6. 如图，在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，点D在边AC 上，AE和BD相交于点O. 课堂总结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获? 2.本节课中,蕴含了哪些数学思想?你还有什么疑惑? 33 课堂小结 1.三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 A B C 转化思想 添加辅助线（平行线） 利用平行线的性质，转移角 转化为平角或同旁内角 2.全等三角形的性质与判定 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 $