精品解析：湖北省十堰市郧阳中学2025-2026学年高二上学期元月期末数学学科练习试题

2024级高二元月 数学学科练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. 已知为椭圆的焦点，则的值为（ ） A. B. C. D. 20 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B. 与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C. 数列0，2，4，6，…可记为 D. 已知，则数列是递增数列 3. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于，的方程组无解，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 将一枚质地均匀的骰子连抛两次，记事件“第一次得到2点”，事件“两次得到的点数之和为7”，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 6. 过直线上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 或 B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则的重心坐标 B. 若，则直线的斜率为 C. ，，三点共线 D. 若线段的中点为，在上的射影为，则 11. 如图，在三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，P为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线OP和三个侧面所成的角分别为α，β，γ，则（ ） A. 该三棱锥的外接球半径为 B. C. D. 当时，P点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的标准方程为，直线过双曲线的右焦点，且与交于，两点，若，则满足条件的直线的条数为________． 13. 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为________． 14. 已知数列，满足，，，设数列的前项和为，则的前项和为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆的方程： （1）若直线与圆C没有公共点，求m的取值范围； （2）当圆被直线截得的弦长为时，求m的值． 16. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列满足，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从到），且各次抛掷硬币的结果相互独立，直到棋子跳到99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第站的概率为． （1）求、、的值； （2）求证：，其中，； （3）求玩该游戏获胜的概率． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，分别与交于，两点，若，两点的横坐标之和为，求直线的方程； （3）若不过点直线与椭圆交于，两点，且满足，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二元月 数学学科练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. 已知为椭圆的焦点，则的值为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆的标准方程，进而确定基本量，再结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 因为为椭圆的焦点，所以，， 可得，解得，符合题意，故C正确. 故选：C 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B. 与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C. 数列0，2，4，6，…可记为 D. 已知，则数列是递增数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的定义及通项公式的概念，依次判断每个选项的正确性即可. 【详解】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 3. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，是的中点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两边平方化简可得答案. 【详解】，，， 是的中点，， ，， ， 所以. 故选：C. 4. 若关于，的方程组无解，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线与直线平行，进而得，再根据配方求最值即可. 【详解】因为关于，的方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，即， 所以,即的最小值为. 故选：B 5. 将一枚质地均匀的骰子连抛两次，记事件“第一次得到2点”，事件“两次得到的点数之和为7”，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据列举法，结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，一枚质地均匀的骰子连抛两次的所有可能情况共36种， 事件的所有可能情况为，，，，，，共6种， 事件的所有可能情况为，，，，，，共6种， 事件的所有可能情况为，共1种， 所以，，， 所以. 故选：B. 6. 过直线上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的性质可得，进而可得，结合题意可得，即得. 【详解】由圆M：可知，圆心，半径为1， ∴， ∴四边形PAMB的面积为， ∴， 要使四边形PAMB的面积为的点P有两个， 则， 解得. 故选：A. 7. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 8. 已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分析几何关系，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】设交轴于点，则， ， 则，即， 即，结合椭圆离心率， 得， 则离心率的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列前项和公式得，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，所以且 又，所以 又因为 所以，即， 所以或（），即或. 当时，，故舍去； 所以. 对于A选项，，解得，故错误； 对于B选项，，即，故正确； 对于C选项，当时，； 当时，，故错误； 对于D选项，当时，； 当时，，故正确； 故选：BD 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则的重心坐标 B. 若，则直线的斜率为 C. ，，三点共线 D. 若线段的中点为，在上的射影为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】由抛物线定义推出焦半径与倾斜角的关系，联立直线方程与抛物线方程，得韦达定理；代入可判断A、B选项；由韦达定理得出，判断C选项；由梯形中位线以及抛物线定义，结合三角形的知识可判断D选项. 【详解】设准线与轴交点为，在轴上方，过作轴的垂线，垂足为， 则， 即，同理， 则， 设直线方程为，， 联立得， 由韦达定理得. A选项，若，，代入可得， , 则，， 则的重心坐标为，故A错误； B选项，若，则，得，， 若在轴下方，则，故B错误； C选项，, ,, 由于，则，即，，三点共线，C选项正确； D选项，由于，的中点为， 则由梯形中位线可得， 即， 则 结合三角形内角和可得，即，D选项正确； 故选：CD. 11. 如图，在三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，P为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线OP和三个侧面所成的角分别为α，β，γ，则（ ） A. 该三棱锥的外接球半径为 B. C. D. 当时，P点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，可将三棱锥补成长方体计算；选项B、C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成长方体，找到相应角进行计算；选项D，点的轨迹为以为球心，半径为的球面被三角形面所截得的三段圆弧，根据弧长公式计算. 【详解】对于A，由三条侧棱两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外接球也就是补成的长方体的外接球， 则外接球半径，故A正确； 对于B，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体， 则直线与所成角为记为，与所成角为记为，与所成角为记为， 则，，， 则，故B错误； 对于C，直线与平面、平面、平面所成角分别为， 则， 故 ，故C正确； 对于D，在该长方体中，，则， 故点的轨迹为以为球心，半径为的球面被三角形面所截得的圆弧， 设点到平面的距离为，则， 由，可得，解得， 则截面圆半径． 设内切圆半径为，则由，解得， 因为，所以轨迹为三段圆弧， 如图，设、分别为其中一段圆弧的两个端点，则， 由对称性易得由正弦定理，的外接圆半径， 在中由余弦定理，， 即，解得或（由对称性，此时，故舍去） 所以，所以弧对应的圆心角为，其长度为 所以点的轨迹长度为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的标准方程为，直线过双曲线的右焦点，且与交于，两点，若，则满足条件的直线的条数为________． 【答案】3 【解析】 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在进行讨论，先判断当直线斜率不存在时符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算求出直线方程，进而判断直线条数即可. 【详解】由题，双曲线方程为，右焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，，，满足题意； 如图，当直线的斜率存在时，设直线斜率为， 设，联立， 消去y得， ， 设，则， 由弦长公式得 ． 则，解得，即，满足， 故直线的方程为 ，或， 得到满足条件的直线的条数为3. 故答案为：3 13. 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设该填空题被破解为事件,则未被破解为，先求得，再根据求解即可. 【详解】设该填空题被破解为事件,则未被破解为， 因为三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，， 由题知， 所以，即该填空题被破解的概率为. 故答案为： 14. 已知数列，满足，，，设数列的前项和为，则的前项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，求出其前项和为，最后求出的前项和. 【详解】因为，则，将代入可得： ， ， ， ， ， ， 所以， 又因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 所以， 当为偶数时，， 根据平方差公式可得：， ， 当为奇数时，， ， , 综上所述，， 由可得， 设的前项和为， 则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆的方程： （1）若直线与圆C没有公共点，求m的取值范围； （2）当圆被直线截得的弦长为时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将圆改成标准方程，可得到圆心和半径，利用直线与圆C没有公共点列出不等式即可求解； （2）根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可. 【小问1详解】 ，， 曲线表示圆，，即， 又因为圆与直线没有公共点， 所以圆心到直线即的距离大于半径，即，解得 【小问2详解】 由（1）可知，圆心坐标为， 又直线，圆心到直线的距离， 直线截得的弦长为，， 解得： 16. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 法一：在正方形中， 由条件可知，所以， 所以，故， 即， 在正方体中，易知平面，又，分别是，中点，所以， 所以平面，又平面，， ，平面，平面； 法二：如图以为中心建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，，所以， 所以，则也是平面的一个法向量，平面； （2） 【解析】 【分析】（1）法一：证明、，即可利用线面垂直的判定定理证明；法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系，所以，， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以． 令，则，，即， 设平面与平面的夹角为， 则 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法求解通项公式即可； （2）首先求得，再利用错位相减法求和即可． 【小问1详解】 因为，且， 所以当时， 又也满足，所以. 【小问2详解】 由（1）知：， ， ① ， ② ①②得： ， 所以． 18. 某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从到），且各次抛掷硬币的结果相互独立，直到棋子跳到99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第站的概率为． （1）求、、的值； （2）求证：，其中，； （3）求玩该游戏获胜的概率． 【答案】（1），，； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析可得棋子在 0 站是一个必然事件，即可得 的值，进而分析棋子跳到1站以及棋子跳到2站的情况，据此求出 的值； （2）根据题意，分析可得 ，变形可得： ，即可得结论； （3）根据题意，由（2）的结论分析可得列 是以 为首项，公比为 的等比数列，则有 ，进而可得 ，计算可得游戏获胜的概率． 【小问1详解】 棋子开始在第0站为必然事件，，第一次掷出正面，棋子跳到第1站，其概率为，； 到第2站分两种情况：①前两次都掷出正面；②第一次掷出反面 . 【小问2详解】 棋子跳到第站分两种情况：①棋子先到站，又掷出反面，其概率为 ②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为． 整理得：． 【小问3详解】 由（2）知：当时，数列是首项为，公比为的等比数列， ，，……，， 累加可得：， ∴获胜的概率为. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设直线，分别与交于，两点，若，两点的横坐标之和为，求直线的方程； （3）若不过点直线与椭圆交于，两点，且满足，请问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点 【解析】 【分析】（1）由离心率以及过点，列方程求解即可； （2）设直线联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理表示出，两点的横坐标之和，带入求解即可； （3）设直线：联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理表示出，令其为0化简得的关系即可得定点. 【小问1详解】 ，代入点得：，又 解得：，， 所以椭圆的标准方程为： 【小问2详解】 设，，， 联立直线方程和椭圆方程得：， ，， ， 直线，所以，同理可得， ， 所以，代入直线方程得： 【小问3详解】 设，，当直线斜率存在时，设为：， 联立直线方程和椭圆方程得：， ， 所以，． ． 代入可得：， 当时，，此时，过点，不成立． 当时，，此时，过定点 若直线斜率不存在，， 此时，不妨取，，成立． 综上，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $