不等式中的恒（能）成立问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

不等式中的恒（能）成立问题 1. 不等式恒成立问题的常见结论 ①恒成立； ②恒成立； ③恒成立. 2. 不等式有解问题的常见结论 ①成立； ②成立. 3. 双变量恒成立与能成立问题的四种类型 (1) ； . (2) . (3) . (4) ； . · 分离参数法解决恒（能）成立问题 【例1.】 已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】由题意可得在上恒成立，令，则只需即可，利用导数求解即可. 【详解】要使在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则只需即可. 因为， 令，则， 所以在上单调递增， 又，， 所以有唯一零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以， 两边同时取自然对数，则有， 即， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 又， 即，即， 即. 于是实数的取值范围是. 故选：D. 【例2.】 已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，由奇函数定义可得为奇函数，再利用导数求得其单调性，利用单调性得恒成立，记， 利用导数法求得函数的最小值，即可得解. 【详解】由知， . 令，因为， 又定义域为R，则为奇函数. 因为，所以为R上的单调递增函数. 则，等价于， 即，也即， 所以，即， 记， ，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 故选：C 【例3.】 若存在，使 成立，则a 的取值范围为 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先同构变形化简不等式，构造函数及，利用导数研究其单调性与最值计算即可. 【详解】不等式成立等价于， 令，易知， 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则上述不等式等价于有解， 设，可知，显然在上单调递增， 即，则. 故答案为：. 【例4.】 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为恒成立，根据的单调性得出，再利用导函数求出的最小值即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 即恒成立， 令，因为在上单调递增，所以，故， 即在时恒成立即可， 设，，则，， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增，则，所以， 又，所以a的取值范围为． 故答案为： 【例5.】 已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】化简得到，利用导数求得是增函数，且是奇函数，把不等式转化为在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，得到，利用导数求得的单调性和最小值，即可求解. 【详解】由函数， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以在上恒成立，所以函数是增函数， 因为，所以是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 令，则，且函数等价于， 因为，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为， 即的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 【例6.】 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【答案】(1) (2)函数的极大值为，极小值为 (3) 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导研究函数得单调区间，进而根据单调区间确定函数的极值； （3）根据题意转化为在内有解，进而构造函数求解最大值即可. 【详解】（1）解：由题知， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）解：由（1）知，定义域为， 令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值. 综上，函数的极大值为，极小值为 （3）解：函数，在定义域内有解， 故在内有解， 即在内有解， 所以在内有解， 所以 令 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上的值域为， 令，则， 显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以有最大值， 所以，即的取值范围为 · 分类讨论法求参数问题 【例7.】 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先根据恒成立代入特殊值求出的大致范围，再利用导数证明所求范围内恒成立即可. 【详解】由可得. 因为当时，恒成立，所以时，； 设，，所以为增函数， 又，所以，即. 当时，，， 所以， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即. 所以当时，恒成立， 的取值范围为. 故答案为： 【例8.】 已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，分和讨论，判断导数正负，求得单调性； （2）由（1）在上单调递减，在上单调递增，分和讨论，判断单调性求出最小值，得解. 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，由，得或（舍）， 则时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1），当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，即，在上单调递减，在上单调递增. ，解得， 若，即，所以在上单调递减， ，不合题意； 综上，的取值范围为. 【例9.】 已知，若，，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】变换得到，令，求导得到函数的单调区间，考虑和两种情况，得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案. 【详解】不等式等价于，即， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，分如下情况讨论， ①当时，由在单调递增， 可知恒成立，等价于恒成立 ②当时, ，又时，，得到恒成立， 综上所述，，即对任意恒成立. 令，则， 故在上单调递增，，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 【例10.】 已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对函数求导，对参数分类讨论，根据导数判断函数单调性； （2）结合（1）进而求得函数的最大值，再结合不等式求解参数取值范围. 【详解】（1）函数的定义域， 对函数求导得， ①当时，，因为，所以，则， 函数在上单调递增. ②当时，令，即，解得（舍）或， 当，所以，则，函数单调递增. 当，所以，则，函数单调递减. ③当时，令，即，解得（舍）或， 因为，所以，则，函数在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增， 所以当，，则存在，使成立. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 所以 ， 若存在，使，即 令， 求导， 令，， 令，解得或（舍）， 当，，函数单调递增. 当，，函数单调递减. 所以有最大值， 可知，在单调递减，且，当，， 当时，. 综上，实数的取值范围 【例11.】 已知函数． (1)当时，证明：恒成立； (2)若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）已知条件，令，得，并判断函数的单调性，因为，所以 ，由可得； （2）令，得令，令，令．然后分、、三种情况讨论，根据单调性求解即可 【详解】（1）当时，． 令，则． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ，， ， 即当时，在上恒成立． （2）令， 若对于任意的恒成立，则． 令， 令， 令． ①当时，由（1）可知，在上恒成立且不恒为零，则在上为增函数． ， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增， ，符合题意． ②当时，． 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以， 函数在上单调递增． ，， 存在，使得， 当时，，则函数在上单调递减， ，则函数在上单调递减， ，则函数在上单调递减， 故当时，，不符合题意． ③当时，，若，由②知在上单调递增，则存在，使得，且当时，； 若，由②知在上单调递增，当时，． 当时，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， ，函数在上单调递增， 故当时，，不符合题意． 综上所述，存在，使得对于任意的，都有恒成立， 实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. · 双变量的恒（能）成立问题 【例12.】 已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 【例13.】 已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】将问题转化为，即可利用二次函数的性质，以及导数求解函数最值即可. 【详解】对，使得等价于： 当时，， 因为在上单调递增， 所以，而， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 由，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【例14.】 已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意得，，进而利用导数分析两种函数的单调性，进而求得最小值，即可求解. 【详解】由题意得，， 由，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，， 则， 所以函数在上单调递增， 则， 由，则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【例15.】 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 【例16.】 设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】由题意可知，存在唯一的整数，使得，构造函数，对新函数进行求导，求出函数的单调性以及极值，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】由题意可知，存在唯一的整数，使得， 构造函数，则． 当时，；当时，． 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 函数在处取得极小值， 如下图所示，由于，，所以，， 结合图象可知，，解得. 故选：B 【例17.】 已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】当时，求得，令，得到，得出的单调性和最大值，得到，当时，求得，得到，根据题意，得到，列出不等式，即可求得的取值范围. 【详解】当时，可得，则， 令，可得， 当时，，单调递增，即在上单调递增； 当时，，单调递减，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为， 且时，，所以， 当时，，可得，可得， 因为对于任意的，总存在， 使得的图象上点与处的切线平行， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 【例18.】 已知函数 （1）求函数的单调区间和的极值； （2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、已知函数最值求参数 【分析】（1）对f（x）求导，再求导，得到二次导数恒大于0，又，得到及的x的范围，即可得到函数的单调区间及极值. （2）由题意，只需，结合（1）可得最小值为，比较与得到最大值，可求得结论. 【详解】（1）∵，，其中是的导函数. 显然，，因此单调递增， 而，所以在上为负数，在上为正数， 因此在上单调递减，在上单调递增, 当时，取得极小值为f(0)=1，无极大值. ∴的极小值为1,无极大值.单增区间为，单减区间为. （2）依题意，只需 由（1）知，在上递减，在上递增， ∴在上的最小值为； 最大值为和中的较大者 而 ， 因此， ∴在上的最大值为 所以，，解得或. ∴实数的取值范围是：. 【强化训练】 1. 若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】通过分参得到有解，构造函数，求导确定单调性求得最小值，即可求解. 【详解】当时，不等式显然不成立，当时，可得有解， 令，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故. 故选：D. 2. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】存在实数，使得，即不等式在上有解. 由 设函数（），则不等式可化为（*）. 易得函数在上单调递增， 故（*）式等价于. 又，所以有解，只需即可. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以，又，所以. 故选：B 3. 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先将不等式变形构造得到恒成立，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数研究函数的最大值. 【详解】因为且， 所以，即， 令，易知恒成立，则单调递增． 因为， 所以， 则，即， 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为． 故答案为： 4. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意得，即，令，即，利用导数研究单调性，进而得，再令，即，利用导数研究单调性，进而求解. 【详解】由题意有：，又， 所以， 令，即， 又，由， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，所以，令，即， 所以， 所以当时，，所以在单调递减， 所以，所以，又， 所以， 故答案为：. 5. 设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可得解. 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 6. 已知函数，． Ⅰ当时，讨论函数的单调性； Ⅱ若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】试题分析：（Ⅰ）求出，对分四种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）令 ，原问题等价于在区间上恒成立，因为，要想在区间上恒成立，只需，可得当时，利用导数研究函数的单调性，从而求出，进而可得结论. 试题解析：（Ⅰ） ， ①当，即时，时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； ②当，即时，和时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ③当，即时，和时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ④当，即时，，所以在定义域上单调递增； 综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ②当时，在定义域上单调递增； ③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （Ⅱ）令 ， 原问题等价于在区间上恒成立，可见， 要想在区间上恒成立，首先必须要， 而， 另一方面当时，，由于，可见， 所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减， ∴成立，故原不等式成立． 综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为 7. 已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若对于任意的实数，，（其中），都有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2) 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负，可求出函数的单调区间； （2）不妨设，由在上是增函数，得，由（1）得在上是增函数，则，由题意得，令在上是增函数，则对任意的恒成立，设，则恒成立，再利用导数讨论求解即可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，得， 当时，；当时，；当时，， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为． （2）不妨设，因为在上是增函数， 所以，即， 由（1）得在上是增函数， 所以，即． 由题意，得，即． 令在上是增函数， 则对任意的恒成立． 设，则恒成立，． 令，则， 从而在上是减函数，所以，即． 当时，，当且仅当，时取等号， 所以在上是减函数， 所以当时，，故满足题意． 当时，，． 由零点存在定理，存在，使得． 因为在上是减函数．所以在上是减函数， 所以时，，所以在上是增函数， 所以当（这里）时，． 所以不满足题意， 综上，实数a的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式中的恒（能）成立问题 1. 不等式恒成立问题的常见结论 ①恒成立； ②恒成立； ③恒成立. 2. 不等式有解问题的常见结论 ①成立； ②成立. 3. 双变量恒成立与能成立问题的四种类型 (1) ； . (2) . (3) . (4) ； . · 分离参数法解决恒（能）成立问题 【例1.】 已知函数，（其中e是自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2.】 已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.】 若存在，使 成立，则a 的取值范围为 【例4.】 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【例5.】 已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例6.】 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． · 分类讨论法求参数问题 【例7.】 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为 . 【例8.】 已知函数，. (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围. 【例9.】 已知，若，，则 . 【例10.】 已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【例11.】 已知函数． (1)当时，证明：恒成立； (2)若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． · 双变量的恒（能）成立问题 【例12.】 已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例13.】 已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是 . 【例14.】 已知函数，若对任意的，总存在使得，则的取值范围为 ． 【例15.】 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【例16.】 设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例17.】 已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例18.】 已知函数 （1）求函数的单调区间和的极值； （2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围. 【强化训练】 1. 若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 4. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 5. 设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为 ． 6. 已知函数，． Ⅰ当时，讨论函数的单调性； Ⅱ若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 7. 已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若对于任意的实数，，（其中），都有恒成立，求实数a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $