7.3定义、命题、定理 学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

第9课时：7.3定义、命题、定理 一、教学目标 1.了解定义、命题的概念及命题的构成，知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真假. 2.理解什么是定理和证明，了解证明的意义. 3.了解综合法证明的格式和步骤，通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力. 4.通过举反例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法， 5.素养目标：感悟数学表达的准确性和严谨性，会用数学的语言表达现实世界. 二、教学重点、难点 重点：1.理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；2.证明的步骤和格式. 难点：了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例. 三、教学过程 判断与描述 我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如： (1)中华人民共和国的首都是北京.……( ) (2)我们班的同学多么聪明!……………( ) (3)浪费是可耻的.………………………( ) (4)春天到了，花儿开了.………………( ) 在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如： (1)画线段AB＝3厘米.……………………( ) (2)两条直线相交，只有一个交点.……( ) 观察下列语句，它们有什么共同点？ (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解； (3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线； (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理 解它，并作出准确的判断. 例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；根据方程的解的定义，可以判断x＝是方程2x＝3的解. 我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如： (1)等式两边加同一个数，结果仍相等；( ) (2)对顶角相等；( ) (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；( ) (4)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；( ) (5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.( ) 像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句，叫作命题.被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题. 命题的组成 一般地，命题由题设和结论两部分组成. 题设：是已知事项； 结论：是由已知事项推出的事项. 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.例如，命题(3)中，“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论. (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它写成“如果……，那么……”的形式.例如，命题(2)“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. (1)等式两边加同一个数，结果仍是等式. 如果等式两边加同一个数，那么结果仍相等. (4) 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补. 由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的. 例如，命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是正确的， 命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”是错误的． 练习 指出下列命题的题设和结论： (1)若a＝b，则5a＝5b； (2)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC＝90°； (3)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3； (4)两直线平行，同位角相等. 定理、证明 我们学过一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本事实(公理)，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据. 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. “在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”. 例2 如图，已知直线a⊥b，b∥c. 求证a⊥c. 证明：∵ a⊥b (已知) ∴ ∠1＝90°(垂直的定义) ∵ b∥c (已知) ∴ ∠1＝∠2 (两直线平行，同位角相等) ∴ ∠2＝90°(等式的基本事实) ∴ a⊥c (垂直的定义) 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的，可以举出如下反例：在右图中，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角. 练习 1.在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，∠A＋∠B＝180°，求证∠C＋∠D＝180°. 证明：∵ ∠A＋∠B＝180° ∴ AD∥BC (_________________________) ∴ ∠C＋∠D＝180°(_________________________) 2.命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由：如果不是，请举出反例. 三、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 5、 课堂检测 一、填空题 1、把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么……。”的形式为 2．如图⑤，已知，若，则 ； 若，则 3、若，，则 4．三条直线、、相交于点，如图⑦所示，的对顶角是 ，的对顶角是 ，的邻补角是 。 二、选择题： 1．下列说法中错误的个数是（ ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。 （4）不相交的两条直线叫做平行线。 （5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．如右图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断（ ） A. B. C. D. 3．一人练习驾驶汽车，两次拐弯后，方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐，第二次向右拐 B. 第一次向右拐，第二次向左拐 C. 第一次向右拐，第二次向右拐 D. 第一次向左拐，第二次向左拐 4、下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ） A．①、②是正确的命题； B．②、③是正确命题； C．①、③是正确命题 ； D．以上结论皆错 5.如图，已知：，，求的度数。 6．如图，，平分，与相交于,。 求证：。 ( A B D C F H K G E O 1 2 3 )7.已知：如右图所示，∠1+∠2=180°，∠3=120°， OK平分∠DOH， 求∠KOH的度数． 课堂检测答案： 一、 1、 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等。 2、 50°，80°3、a⊥c 4、OC ，∠EOA ， ∠AOE 、∠BOF 二、1、C 2、B 3、A 4、A 5、130° 6、证明：∵，平分，∴∠2=∠E即得知。 7、30° 学科网（北京）股份有限公司 $