1.4 二次函数与一元二次方程的联系（课件）--2025-2026学年湘教版九年级数学下册

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 第1章 二次函数 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月30日 2026年1月30日星期五8时21分12秒 2026年1月30日星期五8时21分14秒 探究新知 画出二次函数 y = x2– 2x – 3 的图象， 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？二次函数 y = x2– 2x – 3 与一元二次方程 x2– 2x – 3 ＝ 0 有怎样的关系？ y = x2– 2x – 3 二次函数 y = x2- 2x - 3的图象与 x 轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）. 当 x ＝ -1 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说，x ＝ -1是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根. 同理， 当 x ＝ 3 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说， x ＝ 3 是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根. y = x2– 2x – 3 一般地， 如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 有两个不相等的实根 x ＝ x1， x ＝ x2. 观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况. y = x2- 6x + 9 y = x2- 2x + 2 观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况. y = x2- 6x + 9 y = x2- 2x + 2 说一说，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有几种？ 有两个不同的交点 有两个重合的交点 没有交点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和 x 轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系 ax2+bx+c = 0 的根 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 △= b2 – 4ac 有两个不同实根 有两个相同实根 没有根 有两个交点 有一个交点 没有交点 △ > 0 △ = 0 △ < 0 求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）． 分析 一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根就是抛物线 y ＝ x2 － 2x－ 1 与 x 轴的交点的横坐标． 因此我们可以先画出这条抛物线， 然后从图象上找出它与 x 轴的交点的横坐标． 这种解一元二次方程的方法叫作图象法． 【教材P25页】 求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）． 通过观察或测量， 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－ 0.4 或 2.4， 即一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的实数根为 x1≈ - 0.4， x2 ≈ 2.4． 【教材P25页】 求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）． 我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数 y = x2 -2x - 1 在 -1 至 0 范围内的部分 x 值所对应的 y 值列表如下： 【教材P25页】 如图，李东在扔铅球时， 铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离， y 是铅球离地面的高度. （1） 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？ （2） 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m， 它离初始位置的水平距离是多少？ （3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？ 【教材P26页】 （1） 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？ 解（1） 由抛物线的表达式得 即 x2 - 6x + 5 = 0 ， 解得 x1 = 1， x2 = 5. 即当铅球离地面的高度为2.1 m时， 它离初始位置的水平距离是1 m或5 m. （2） 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m， 它离初始位置的水平距离是多少？ （2） 由抛物线的表达式得 即 x2 - 6x + 9 = 0 ， 解得 x1 = x2 = 3. 即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时， 它离初始位置的水平距离是 3 m. （3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？ （3） 由抛物线的表达式得 即 x2 - 6x + 14 = 0 ， 因为 Δ = （-6）2 - 4×1×14 = -20 < 0, 所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. 练习 1.试判断下列抛物线与 x 轴的交点情况： （1） y ＝ x2 － x － 2 ； （2） y ＝ 9x2 ＋ 12x ＋ 4 ； （3） y ＝ x2 － 2x ＋ 3 ． 解：（1） x2 － x － 2 = 0，Δ =（-1）2-4×1×（-2）= 9 > 0 与 x 轴有两个不同的交点. （2） 9x2 +12 x + 4 = 0，Δ =（12）2-4×9×4= 0 与 x 轴有一个交点. （3） x2 -2 x + 3 = 0，Δ =（-2）2-4×1×3= -8 < 0 与 x 轴没有交点. 【教材P27页】 随堂练习 2. 用图象法求一元二次方程 x2＋ x － 1 ＝ 0 的根的 近似值（精确到 0.1）． y = x2＋ x － 1 通过观察或测量， 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－ 1.6 或 0.6， 即一元二次方程 x2 + x - 1 = 0 的实数根为 x1≈ - 1.6， x2 ≈ 0.6． 【教材P27页】 随堂练习 3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程. 如图，已知 刻画了该公司年初以来累积利润 y （万元）与销售时间 x（月份）之间的关系. 试根据图象提供的信息，回答下列问题： （1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？ （2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元； （3）该公司第 8 月末所获利润是多少？ （1）亏损期数是 4 个月，4月末开始盈利. （2）10月末累积利润可达到 30 万元. （3）第 8 月末利润是 16 万元. 【教材P27页】 随堂练习 返回 B 1．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为(　　) A．直线x＝－4 B．直线x＝4 C．直线x＝1 D．直线x＝－1 中考考法 19 2．下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值： 则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0.1)的是(　　) A．3.0　 B．3.1 C．3.2 D．3.3 C 返回 x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.30 0.05 －0.18 －0.39 … 中考考法 20 返回 D 中考考法 21 中考考法 22 5. 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则x1，x2，x3，x4的大小关系为___________．(用“<”连接) 返回 x1<x3<x4<x2 中考考法 23 1，0，－1，2 中考考法 24 8．已知抛物线y＝x2－(m＋n)x＋4m经过定点(4，8)，且当x取任意实数时，y的值始终为正数，则m 的取值范围为________________． 中考考法 25 9. 现定义：对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”，若a≥0，则{a}＝a－1；若a＜0，则{a}＝a＋1.例如：{1}＝1－1＝0，{－0.5}＝－0.5＋1＝0.5.已知函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}，当直线y＝x＋b与该函数的图象有4个交点时，b的取值范围是(　　) A．4≤b＜5 B．4＜b＜5 C．4≤b≤5 D．b＞4 中考考法 26 10．[2025武汉江夏区月考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(－2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p(p＜0)有整数解，则p的值有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 中考考法 27 11．[2025遂宁]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴的交点坐标是(0，m)，且2<m<3. 中考考法 28 中考考法 29 课堂小结 抛物线 y = ax2 + bx + c 一元二次方程 ax2 + bx + c=0(a≠0) 根的情况 b2-4ac的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 无公共点 无实数根 b2-4ac<0 3．[2025长沙雨花区模拟]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，2)，其对称轴是直线x＝，则不等式ax2＋bx＋c≤2的解集是(　　) A．x≤0 B．x≤－1或x≥2 C．0≤x≤1 D．x≤0或x≥1 4． 如图，二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴相交于点(1，0)，则方程cx2＋2ax＋a＝0的根为(　　) A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－ D．x1＝－1，x2＝ 6． 已知关于x的函数y＝(m－1)x2＋2x＋m的图象与坐标轴有且只有两个交点，则m＝______________. 6－4<m<6＋4 有下列结论：①abc<0；②9a－3b＋c>0；③<y最大值<；④关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，且n<x1<n＋1<x2<n＋2<x3<n＋3，当y1<y3<y2时，n的取值范围为－<n<0.其中正确的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 $