2026年中考数学一轮复习专题5.3 与圆有关的计算（浙江专用）

2026年中考数学一轮复习精讲精练 第五章 圆 5.3与圆有关的计算 知识梳理 与圆有关的计算 弧长计算 （1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR.  （2）半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l,则  扇形面积计算 （1）半径为R的圆面积S= （2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为.  （3）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法。 圆柱、圆锥的有关计算 （1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πrh,全面积S=2πrh+2πr2(r表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).  （2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πrR,全面积S=πrR+πr2(r表示底面圆的半径，R表示圆锥的母线).  正多边形与圆 （1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形. （2）有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 （3）正n边形的内角和=(n-2)·180°； 正n边形的每个内角= ;  正n边形的周长=边长×n； 正n边形的面积=×周长×边心距. 正n边形的中心角= （4）圆内正多边形的计算 ①正三角形：； ②正四边形：： ③正六边形：. 例题讲解 【题型一】正多边形和圆 【例1.1】（2025•湖州一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝　36　 °． 【点拨】根据多边形的内角和可以求得∠BAE的度数，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠BAE﹣∠COD的度数． 【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°， ∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角、等腰三角形的性质等知识，根据正多边形的中心角的定义求得∠COD＝72°是解题的关键． 【例1.2】（2025•洮南市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 【点拨】连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解析】解：如图，连接OA，OC， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠AOC＝×2＝144°， ∴∠APC＝∠AOC＝72°， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例1.3】（2025•湖里区模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得π的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 【点拨】作AC⊥OB于C，利用等腰直角三角形的性质求出△AOB的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题． 【解析】解：如图，作AC⊥OB于C， ∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计， ∴∠AOB＝45°，OA＝1， ∴AC＝， ∴△AOB的面积为×1×＝， ∴正八边形面积为8×＝2 ∴π的估计值为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正八边形和圆的性质，读懂题意，熟练掌握正八边形的性质是解题的关键． 【例1.4】（2025•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点M是边DE的中点，连接AM并延长交CD延长线于N点． （1）求证：AF∥CN； （2）若AF＝2，求DN的长． 【点拨】（1）连接BE，利用正六边形的对称性质证出∠FEB＝∠BED＝60°，然后得出AF∥BE，CN∥BE，进而即可得解； （2）延长AF、DE交于G点，先证出△GEF是等边三角形，再证出AG＝4，GM＝3，DM＝1，由△AGM∽△NDM得出，代入计算即可得解． 【解析】解：（1）六边形ABCDEF是正六边形，如图1，连接BE， ∴∠F＝∠CDE＝∠DEF＝120°，BE是正六边形的对称轴， ∴∠FEB＝∠BED＝60°， ∴∠F+∠FEB＝180°， ∴AF∥BE， 同理可证CN∥BE， ∴AF∥CN； （2）延长AF、DE交于G点，如图2， ∴∠GFE＝∠GEF＝60°， ∴△GEF是等边三角形， ∴FG＝GE＝EF＝AF＝2， ∴AG＝4，GM＝3，DM＝1， ∵AF∥CN， ∴△AGM∽△NDM， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【题型二】弧长的计算 【例2.1】（2025•绍兴二模）若扇形的圆心角为80°，半径为8，则它的弧长为　　 ． 【点拨】根据弧长的公式进行计算即可． 【解析】解：由题知， 因为扇形的圆心角为80°，半径为8， 所以此扇形的弧长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 【例2.2】（2025•绥化）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【点拨】设⊙O的半径是rcm，由弧长公式得到＝2.5π，求出r＝6，即可得到⊙O的半径长． 【解析】解：设⊙O的半径是rcm， ∴＝2.5π， ∴r＝6， ∴⊙O的半径是6cm． 故选：A． 【点睛】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 【例2.3】（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝2．若AB＝6，CD＝，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D．5 【点拨】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接OA，AE，则＝，AF＝BF＝AB＝3， ∵＝2， ∴＝， ∴AE＝CD＝， 在Rt△AEF中，AE＝，AF＝3， ∴EF＝＝2， 设半径为R， 在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得， OA2＝OF2+AF2， 即R2＝（R﹣2）2+32， 解得R＝． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键． 【例2.4】（2025•清镇市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB． （1）若∠BOD＝60°，则∠M的度数是　30°　 ． （2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径； （3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长． 【点拨】（1）根据圆周角定理即可得出答案； （2）设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由AB⊥CD，得到DE＝CD＝8，在Rt△ODE中，利用勾股定理即可求出答案； （3）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，则2∠B+∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D+∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数，即可得出∠COD的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论． 【解析】解：（1）∵∠BOD＝60°， ∴∠M＝∠BOD＝30°； 故答案为：30°； （2）设⊙O的半径为r， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DE＝CD＝×16＝8， 在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝r﹣4，OD＝r， ∵OE2+DE2＝OD2， ∴（r﹣4）2+82＝r2， 解得r＝10， ∴⊙O的半径为10； （3）如图，连接OC， ∵OM＝OB， ∴∠B＝∠M， ∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B， ∵∠DOE+∠D＝90°， ∴2∠B+∠D＝90°， ∵弧CM＝弧BD， ∴∠M＝∠D， ∴∠B＝∠D， ∴2∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∴∠COD＝120°， ∴的长为＝． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长的计算等，运用方程思想是解题的关键． 【题型三】形面积的计算 【例3.1】（2025•金华模拟）一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　） A．21π B．23π C．24π D．25π 【点拨】根据题意，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题． 【解析】解：由题知， 因为2OA＝AB＝6， 所以OA＝3， 所以OB＝9， 则大扇形的面积为：； 小扇形的面积为：， 所以这个环形扇面的面积是27π﹣3π＝24π． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算及圆环，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 【例3.2】（2025•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 【点拨】由等腰直角三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC＝BC＝，进而由S阴影BC＝2（S扇形BCD﹣S△ABC）解答即可求解， 【解析】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝4， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 【例3.3】（2025•宜兴市二模）如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【点拨】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可． 【解析】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC； （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ∵OA＝AB＝3， ∴OC＝OA＝3，OD＝3，OA边上的高为， ∴S＝3×3﹣﹣＝﹣π． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型四】圆锥的计算 【例4.1】（2025•开化县模拟）某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看作圆锥，其主视图△ABC的边AB＝41cm，BC＝18cm，则彩纸的面积是（　　）cm2． A．360 B．360π C．369 D．369π 【点拨】先根据主视图得出圆锥底面圆的直径为18cm，母线长为41cm，再根据扇形的面积公式S＝lr求解可得． 【解析】解：由主视图知，该圆锥底面圆的直径为18cm，母线长为41cm， 则该圆锥的侧面积为×18π×41＝369π（cm2）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【例4.2】（2025•云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【点拨】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm， 则2πr＝， 解得r＝10， 即圆锥的底面圆的半径为10cm． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 【例4.2】（2025•定海区模拟）若圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 　　 ． 【点拨】设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，则利用弧长公式得，从而求出l＝4，然后利用勾股定理计算出圆锥的高． 【解析】解：设圆锥的母线长为l， 根据题意得＝2π×1 解得l＝4， 所以圆锥的高为＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【例4.2】（2025•雨花区校级三模）综合与实践 【主题】制作圆锥． 【素材】直径为40cm的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为40cm的圆形卡纸剪出一个圆心角为60°的最大扇形ABC（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 （1）求剪下的扇形ABC的半径． （2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径r． 【点拨】（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出AD，进而求出AC； （2）先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径． 【解析】解：（1）如图，连接OA，过点O作OD⊥AC于D， 则AD＝DC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠OAD＝30°， ∴OD＝OA＝10（cm）， ∴AD＝＝10（cm）， ∴AC＝2AD＝20（cm）， 即剪下的扇形ABC的半径为20cm； （2）扇形BAC的弧长为：＝π， ∴2πr＝π， 解得：r＝， 答：此圆锥形卡纸的底面圆的半径r为cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，要熟记弧长公式和扇形的面积公式． 真题在线 1．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（　　） A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2 【点拨】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【解析】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24π（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 2．（2025•宁波一模）如图，多边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则（　　） A．∠A＝100° B． C．∠A＝118° D． 【点拨】先根据内角和定理即可求解∠A，连接AC，过点B作BH⊥AC于点H，由BA＝BC得到∠BAC＝∠BCA＝30°，再解直角三角形即可． 【解析】解：∵，BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°， 连接AC，过点B作BH⊥AC于点H， ∴AH＝CH， ∵， ∴，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的相关性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，掌握正多边形的性质是解题的关键． 3．（2025•温州模拟）如图，折扇的骨柄长为3dm，折扇张开的角度为120°，图中的长为（　　） A．π dm B．2π dm C．3π dm D．6π dm 【点拨】直接根据弧长公式计算． 【解析】解：根据题意，的长度＝＝2π（dm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，记住弧长公式是解决问题的关键． 4．（2025•钱塘区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．6π B．8π C．12π D．16π 【点拨】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，求得∠BOC＝60°，∠COE＝120°，则∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，由垂径定理得OB⊥AC，AL＝CL，则∠ALB＝90°，所以BL＝AB＝2，求得AL＝＝2，则AC＝2AL＝4，即可根据扇形的面积公式求得S阴影＝8π，于是得到问题的答案． 【解析】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE， ∵∠BOC＝×360°＝60°，∠COE＝×360°×2＝120°， ∴∠BAC＝∠BOC＝30°，∠CAE＝∠COE＝60°， ∵CB＝AB＝4， ∴＝， ∴OB⊥AC，AL＝CL， ∴∠ALB＝90°， ∴BL＝AB＝2， ∴AL＝＝＝2， ∴AC＝2AL＝4， ∴S阴影＝＝8π， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 5．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A．m B．m C．m D．（+2）m 【点拨】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可． 【解析】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示， 由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°， ∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m）， ∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m， ∴∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴优弧ADCB所对的圆心角为300°， ∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径． 6．（2025•椒江区二模）菱形ABCD与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形ABCD的边长为（　　） A．2a B． C．3a D．4a 【点拨】根据正六边形的性质以及菱形的性质进行计算即可． 【解析】解：如图，由正六边形的性质以及菱形的性质可知， AE＝AF＝EF＝EG＝GH＝HD， ∴当正六边形的边长为a，则菱形ABCD的边长为4a， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形以及菱形的性质是正确解答的关键． 7．（2025•上城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，把△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　） A．π B． C． D．4π 【点拨】将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可． 【解析】解：将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥， 圆锥的底面圆的半径为1，母线长＝＝， 所以圆锥的侧面积＝•2π×1×＝π． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体以及勾股定理，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．（2025•衢州三模）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为50°，若圆曲线的半径OA＝3km，则这段圆曲线（弧AB）的长为（　　）km． A． B． C． D．3π 【点拨】由转角α为50°可得∠ACB＝130°，由切线的性质可得∠OAC＝∠OBC＝90°，根据四边形的内角和定理求出∠AOB，然后根据弧长公式计算即可． 【解析】解：∵转角α为50°， ∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵过点A，B的两条切线相交于点C， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 9．（2025•临平区二模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O与BC，AC交于点D，E，连结BE，DE．若∠CED＝45°，AB＝8，则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【点拨】根据直径所对的圆周角是直角得到∠BEC＝90°，点E是AC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥BC，阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，进而求解． 【解析】连接OE、OD，如图： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∵BA＝BC， ∴AE＝CE， 即点E是AC的中点， 由条件可知OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△BOD＝S△BED， ∴S阴影＝S扇形BOD， ∵∠BEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠CED＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠BOD＝90°， ∴， ∴S阴影＝4π． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 10．（2025•宁波模拟）如图，⊙B的半径为，以圆外一点A为圆心，画半径为4的弧，将⊙B截成弧长相等的两部分，则A，B两点的距离为（　　） A． B． C．3 D． 【点拨】由将⊙B截成弧长相等的两部分得CD为⊙B直径，根据题意可得AC＝AD＝4，，则AB垂直平分CD，然后根据勾股定理即可求解． 【解析】解：如图， 由条件可知CD为⊙B直径， ∴AC＝AD＝4，， ∴AB垂直平分CD， ∴∠ABC＝∠ABD＝90°， ∴AB＝＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，垂直平分线的定义，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 11．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 　4π　 ． 【点拨】根据弧长公式计算即可． 【解析】解：由弧长公式得， 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）． 12．（2025•温州模拟）如图，扇形AOB的面积为8π，OA＝6，则的长为 　　 ． 【点拨】设的长为未知数，根据扇形面积公式列方程并求解即可． 【解析】解：设的长为x， 根据题意，得×6x＝8π， 解得x＝， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的、弧长的计算，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 13．（2025•普陀区三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　12π　 ． 【点拨】求出圆锥的侧面展开图扇形的面积，即可得到答案． 【解析】解：圆锥的侧面积＝＝12π． 故答案为：12π． 【点睛】本题考查圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面积等于圆锥的侧面展开图扇形的面积． 14．（2024•温州模拟）已知扇形的半径为6，面积为12π，则它的圆心角为 　120　 度． 【点拨】设该扇形的圆心角度数为n°，根据扇形面积公式（n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）建立方程求解即可． 【解析】解：设该扇形的圆心角度数为n°， 由题意得，， 解得n＝120， ∴该扇形的圆心角度数为120度， 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角度数，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． 15．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　2　 ． 【点拨】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可． 【解析】解：如图所示，连接OA，OC，OE． ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴AC＝AE＝CE， ∴△ACE是⊙O的内接正三角形， ∵∠B＝120°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝30°， ∵∠CAE＝60°， ∴∠OAC＝∠OAE＝30°， ∴∠BAC＝∠OAC＝30°， 同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°， 又∵AC＝AC， ∴△BAC≌△OAC（ASA）， ∴S△BAC＝S△AOC， 圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE， 由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE， ∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2， ∴， 故答案为：2 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16．（2025•婺城区二模）如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝45°，点P为OB中点，作PQ⊥OB交OA于点Q，则，AQ，QP，PB围成的图形（阴影部分）的周长为 　　 ． 【点拨】利用弧长公式可得，又由△OPQ为等腰直角三角形可得，即得，进而求出周长即可． 【解析】解：由条件可知OA＝OB＝4， ∵∠AOB＝45°， ∴， ∵点P为OB中点， ∴， 由条件可得△OPQ为等腰直角三角形， ∴QP＝OP＝2， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 17．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD． （1）求证：CD∥AB． （2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积． 【点拨】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案； （2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD＝的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵＝， ∴∠ACD＝∠DBA， 又∵∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD， ∴CD∥AB． （2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E． ∵∠ACD＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∴S扇形BOD＝． 在Rt△ODE中， ∵DE＝sin60°•OD＝＝， ∴S△BOD＝＝＝， ∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝． ∴S阴影＝． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键． 18．（2025•钱塘区一模）如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 【点拨】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到＝，进而得出＝，根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算得到答案． 【解析】（1）证明：∵AC＝BD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， ∴＝， ∴∠A＝∠D； （2）解：连接OC，OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠A＝∠ADE＝45°， ∴∠COD＝2∠A＝90°， ∵⊙O的半径为4， ∴的长为＝2π． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． 19．（2023•平湖市一模）如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，A，B，C三点恰好在半圆O上，点E是BC的中点，连结OE并延长交圆O于点D． （1）求证：OD∥AC； （2）若AB＝8，求阴影部分的面积． 【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠C＝90°，根据垂径定理得到OD⊥BC，由平行线的判定即可得到结论； （2）连接OC，先根据圆周角定理可得∠AOC＝60°，根据含30°角的性质得AC＝4，根据勾股定理得BC的长，计算△ABC的面积，由三角形中线的性质可得△AOC的面积，最后由扇形和三角形的面积公式即可得到答案． 【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴OD⊥BC， ∴∠BEO＝90°， ∴∠C＝∠BEO， ∴OD∥AC； （2）解：连接OC， 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AB＝8， ∴∠AOC＝2∠B＝60°，AC＝AB＝4，BC＝＝4， ∴S△AOC＝S△ABC＝××＝4， ∴阴影部分的面积＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣4＝﹣4． 【点睛】本题考查了扇形的面积，平行线的判定，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2024•浙江模拟）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F． （1）求∠CAD的度数． （2）已知AB＝2，求DF的长． 【点拨】（1）根据五边形ABCDE是正五边形，判断出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE＝108°．即可得到； （2）证明△DCF∽△DAC，推出CD2＝DF×AD，设DF＝x，则AD＝x+2，列出方程，解方程即可求出DF的长． 【解析】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，． ∴四边形ABCF是菱形， ∴∠BAC＝∠CAD， 同理可求：∠CAD＝∠DAE， ∴； （2）∵四边形ABCF是菱形， ∴CF＝AF＝AB＝2． ∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°， 同理∠DCE＝36°， ∴△DCF∽△DAC， ∴，即CD2＝DF×AD， 设DF＝x，则AD＝x+2， ∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0， 解得（舍去负值）． ∴DF的长是． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键． 21．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法 如图2． 1．作直径AF． 2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N． 3．连接AM，MN，NA． （1）求∠ABC的度数． （2）△AMN是正三角形吗？请说明理由． （3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【点拨】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数； （2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可； （3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值． 【解析】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝＝108°， 即∠ABC＝108°； （2）△AMN是正三角形， 理由：连接ON，NF，如图， 由题意可得：FN＝ON＝OF， ∴△FON是等边三角形， ∴∠NFA＝60°， ∴∠NMA＝60°， 同理可得：∠ANM＝60°， ∴∠MAN＝60°， ∴△MAN是正三角形； （3）连接OD，如图， ∵∠AMN＝60°， ∴∠AON＝120°， ∵∠AOD＝＝144°， ∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°， ∵360°÷24°＝15， ∴n的值是15． 【点睛】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．（2024•东阳市二模）根据以下操作，完成任务． 如何折出正多边形？ 操作1 如图①，先对折正方形，得到AB的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到AB的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到△ABO． 操作2 将操作1中折出的△ABO剪下，如图②，将△ABO对折，记折痕为OH，再摊开、铺平，把点A，B折到OH上．折叠后的点A，点B重合，记为点G…… 问题解决 任务1 判断△ABO的形状，并说明理由 任务2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将∠OEG对折，使得角两边EO与EG重合，折痕交OH于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形EHFP为正方形的是 　①②③　 ．（填写序号） 任务3 求操作1中的正方形ABCD与操作2中所折出的正方形EHFP的面积之比． 【点拨】任务1：根据折叠的性质得出△OAB是等边三角形； 任务2：由折叠的方法和对称性质可得∠EHF＝90°，EH＝FH，再由方案①②③的折叠方法可证明四边形EHFP是正方形； 任务3：根据含30° 直角三角形性质和等腰直角三角形性质求出正方形EHFP的边长EH与正方形ABCD边长AB之比的平方，即可解答． 【解析】解：任务1：△OAB是等边三角形， 理由：根据折叠的方法可知：OA＝AD＝AB＝BC＝OB， ∴△OAB是等边三角形； 任务2：连接EF， ∵△OAB是等边三角形，OH所在直线是△OAB的一条对称轴， ∴由折叠方法可知EH＝FH，∠EHA＝∠EHO＝∠OHF＝∠FHB＝45°，E、F是关于OH的对称， ∴OH⊥EF，EK＝FK，即OH是EF的垂直平分线，∠EHF＝90°， 方案①，将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点P处， ∴EH＝HF＝FP＝PE， ∴四边形EHFP是菱形， 又∠EHF＝90°， ∴菱形EHFP是正方形； 方案②，将∠OEG对折，使得角两边EO与EG重合，折痕交OH于点P， ∵∠AEH＝∠GEH＝∠AEG，， ∴∠HEP＝∠GEH+∠PEG＝（∠AEG+∠OEG）＝90°， ∴∠EPH＝∠EHG＝45°， ∴EP∥HF， ∴EP＝EH＝HF， ∴四边形EHFP是是正方形； 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处， 如图， 由折叠方法可知：∠PEH＝∠FHE＝90°，EP＝HF， ∴EP∥HF， ∴四边形EHFP是平行四边形， ∵EH＝HF，EH⊥HF， ∴四边形EHFP是正方形； 综上所述：方案中折出的四边形EHFP为正方形的是①②③， 故答案为：①②③； 任务3：如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M， ∵∠A＝60°，∠EHA＝45°， ∴EM＝MH，AE＝2AM， ∴，， ∴，， 正方形ABCD与正方形EHFP的面积之比为：． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 专项练习 1．（2025•杭州校级模拟）扇形的半径为20cm，扇形的面积100πcm2，则该扇形的圆心角为（　　） A．120° B．100° C．90° D．60° 【点拨】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【解析】解：设扇形的圆心角是n°， 根据题意可知：S＝＝100π，即＝100π 解得n＝90°． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式S＝是解题的关键，此题难度不大． 2．（2025•自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 【点拨】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可． 【解析】解：如图， 正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°， ∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∵α＝∠1，β＝∠2， ∴α+β＝150°， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，多边形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．（2025•温州模拟）如图，圆锥的底面半径OB＝5，高OA＝12，该圆锥的侧面积是（　　） A．60π B．85π C．65π D．90π 【点拨】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【解析】解：根据题意得，圆锥的母线长为＝13， 所以该圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．（2025•镇江）如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝35°，AB＝9，则的长等于（　　） A．5π B．4π C． D． 【点拨】连接AC，先根据平行线的性质求出∠CBD＝∠ADB＝35°，∠ADB＝∠ABD＝35°，∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB＝70°，根据弧长公式求出结果即可． 【解析】解：连接AC，如图所示： 由条件可知∠CBD＝∠ADB＝35°， 根据作图可知：AB＝AC＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝35°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝70°， 由条件可知∠DAC＝∠ACB＝70°， ∴的长为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． 5．（2025•合肥模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠OCB+∠ODE＝（　　） A．72° B．98° C．102° D．108° 【点拨】根据多边形的内角和可以求得∠BCD＝∠CDE＝108°，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠OCB+∠ODE的度数． 【解析】解：∵，， OC＝OD， ∴， ∴∠OCB+∠ODE ＝∠BCD+∠CDE﹣∠OCD﹣∠ODC ＝108°+108°﹣54°﹣54°＝108°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识，正确进行计算是解题关键． 6．（2025•嘉兴二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若⊙O的半径为1，∠C＝30°，则扇形OAB的面积为（　　） A． B． C． D． 【点拨】由圆周角定理得到∠OAB＝2∠C＝60°，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【解析】解：由圆周角定理可知∠OAB＝2∠C＝60°， 根据扇形面积计算公式可得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，熟练掌握以上 知识点是关键． 7．（2025•定海区一模）如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，AC是OA的一半．已知OA＝30cm，∠AOB＝120°，则扇面ABDC的周长为（　　）cm． A．30 B．30π+30 C．20π D．10π 【点拨】根据题意求出OC，根据弧长公式分别求出AB、CD的弧长，根据扇形周长公式计算． 【解析】解：由题意得，OC＝AC＝＝15cm， 的长＝（cm）， 的长＝＝10π（cm）， ∴扇面ABDC的周长＝20π+10π+15+15＝（30π+30）cm， 故选：B． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 8．（2025•安徽模拟）如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则为（　　） A． B． C． D． 【点拨】连接AE，过点F作FH⊥AE，设正六边形的边长为a，先得出，再求出，，结合勾股定理列式计算，，即可作答． 【解析】解：连接AE，过点F作FH⊥AE，设正六边形的边长为a， 由题意可得：ED＝EF＝AF＝AB＝a， ∵P是ED的中点， ∴， 在正六边形中，， 由题意可得：，， ∴，， ∴， 在Rt△AEP中，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和公式，勾股定理，三线合一，进行计算是解题关键． 9．（2024•重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32﹣8π B．16﹣4π C．32﹣4π D．16﹣8π 【点拨】连接AC，在Rt△ADC 中利用勾股定理求出AC的长，根据矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积，两个扇形为圆，根据扇形面积公式求出两个扇形面积之和，根据S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形计算阴影部分的面积即可． 【解析】解：连接AC． ∵两弧有且仅有一个公共点，AD＝4， ∴AC＝2AD＝8， ∴在Rt△ADC 中，CD＝＝＝4， ∴S矩形ABCD＝AD•CD＝16， ∵两个扇形均为圆，而且它们的半径相等， ∴两个扇形为圆，面积之和为S两个扇形＝πAD2＝8π， ∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形＝16﹣8π． 故选：D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握勾股定理、矩形、扇形和圆的面积公式是解题的关键． 10．（2025•衢州一模）一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是　π　 ． 【点拨】根据弧长公式求出即可． 【解析】解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3， ∴此扇形的弧长是＝π， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为n°，半径为r，则此扇形的弧长是． 11．（2025•临平区模拟）一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是150°，则此扇形的半径是 　12　 cm． 【点拨】根据弧长计算公式列方程求解即可． 【解析】解：设扇形的半径为rcm，由题意得， ＝10π， 解得r＝12（cm）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提． 12．（2025•衢州四模）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为 　3π　 cm2． 【点拨】根据扇形的面积公式即可求解． 【解析】解：扇形的面积＝＝3πcm2． 故答案为：3π． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键． 13．（2025•湖州一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连结OA．若⊙O的半径长为10cm，AB的长为，则扇形OAC的面积是　　 cm2（结果保留π）． 【点拨】先根据垂径定理求出AD得长，进一步求出∠AOD的度数，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【解析】解：∵半径OC⊥AB于点D，AB＝cm， ∴AD＝． 在Rt△AOD中， sin∠AOD＝， ∴∠AOD＝60°， ∴（cm2）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、勾股定理及垂径定理，熟知垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键． 14．（2025•潍坊）如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 　8π　 ． 【点拨】圆锥侧面展开图的面积＝πrl（r是底面圆的半径，l是圆锥的母线长），由此即可计算． 【解析】解：∵母线l与高AO的夹角为30°，母线l长为4， ∴圆锥的底面圆的半径r＝×4＝2， ∴圆锥侧面展开图的面积＝πrl＝π×2×4＝8π． 故答案为：8π． 【点睛】本题考查圆锥的计算，关键是掌握圆锥侧面展开图面积的计算公式． 15．（2025•钱塘区一模）如图，在扇形OAB中，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．已知∠AOB＝90°，OA＝4，则图中阴影部分的面积为　4π﹣8　 （结果保留π）． 【点拨】根据题意，可以先证明四边形DOEC是正方形，然后根据图形可知：阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣正方形DOEC的面积，再代入数据计算即可． 【解析】解：连接OC，如图所示， ∵点C为弧AB的中点，∠AOB＝90°，OA＝4， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC＝4， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∠DCO＝∠DOC＝45°， ∴∠CDO＝∠CEO＝∠DOE＝90°，OD＝CD， ∴四边形DOEC是正方形， ∴OD＝OC•sin45°＝4×＝2， 阴影部分的面积为：﹣2×2＝4π﹣8， 故答案为：4π﹣8． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．（2025•义乌市二模）如图，已知点P是正六边形ABCDEF内一点，连结PE，PF，PB，PC．若S△PEF＝3，sPBC＝，则AB的长为　4　 ． 【点拨】根据正六边形的性质，三角形面积公式以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解析】解：如图，连接BF，过点A作AG⊥BF，垂足为G，过点P作PM⊥EF，PN⊥BC垂足分别为M，N，则PM+PN＝BF， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝＝ 120°，AB＝AF， ∵AG⊥BF， ∴∠FAG＝∠BAG＝∠BAF＝60°， 设AB＝a，则BG＝ a， ∴BF＝2BG＝a， ∵S△PEF＝3＝EF•PM，S△PBC＝5＝BC•PN∴BC•（PM+PN）＝8， ∵AB＝BC＝EF，PM+PN＝BF， ∴a•a＝8， 解得a＝4（取正值）， 即AB＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键． 17．（2025•福州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为的中点，连接AC，OC． （1）求证：OC∥AD； （2）若AB＝12，∠BAD＝50°，求弦AC，CD与围成的图形面积． 【点拨】（1）根据圆周角定理求得∠BAD＝∠BOC，从而利用平行线的判定方法进行判定； （2）连接OD，根据OC∥AD，可得所求的面积等于扇形AOD的面积，根据扇形的面积公式即可得到答案． 【解析】（1）证明：C为的中点， ∴＝， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴∠BAD＝2∠BAC， ∵∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BAD＝∠BOC， ∴OC∥AD； （2）如图，连接OD， ∵OC∥AD， ∴S△AOD＝S△ACD， ∴弦AC，CD与围成的图形面积等于扇形AOD的面积， ∵∠BAD＝50°，OA＝OD， ∴∠ODA＝∠BAD＝50°， ∴∠AOD＝80°， ∴扇形AOD的面积为＝8π， ∴弦AC，CD与围成的图形面积为8π． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的判定和扇形面积的计算，掌握相关性质定理，准确添加辅助线，正确推理计算是解题关键． 18．（2025•绵阳）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG． （1）证明：四边形BGEH为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【点拨】（1）根据正六边形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法进行解答即可； （2）根据正六边形的性质，扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可． 【解析】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠C＝∠D＝∠F＝∠BAF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF， ∵CH＝FG， ∴CD﹣CH＝AF﹣FG， 即HD＝AG， 在△BCH和△EFG中， ， ∴△BCH≌△EFG（SAS）， ∴BH＝EG， 在△ABG和△DEH中， ， ∴△ABG≌△DEH（SAS）， ∴BG＝EH， ∴四边形BGEH为平行四边形； （2）解：如图，连接OA、OB、OF， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝∠AOF＝＝60°，OA＝OB＝OF， ∴△AOB，△AOF是正三角形， ∴OA＝OB＝OF＝AB＝4， ∴S阴影部分＝2S弓形AB ＝2（S扇形AOB﹣S△AOB） ＝2×（﹣×4×） ＝π﹣8． 【点睛】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，平行四边形的判定和性质，掌握正六边形的性质，平行四边形的判定以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 19．（2025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 【点拨】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC＝∠BOC＝90°，由等腰三角形性质得到∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED，设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解． 【解析】解：（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°； （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 20．（2025•清远二模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】准备半径为3的圆形纸片（⊙O）． 【实践操作】 操作一：如图1，在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的90°扇形． 操作二：如图2，在圆形纸片内剪出一个以O为圆心的60°扇形，并将该扇形纸片围成圆锥（如图3所示），设该圆锥体积为V1． 操作三：如图4，在操作二的基础上，在该60°扇形纸片上作圆（⊙G）．⊙G与扇形的两条半径内切，且⊙G经过扇形上点H． 【实践探索】 （1）根据剪纸要求，请直接写出题21﹣1图中的扇形ABC的半径＝ 　　 ． （2）请求出V1的值（结果保留π）． （3）求⊙G的半径． 【点拨】（1）如图所示，连接BC，BC为直径，则BC＝6，在Rt△ABC中，，由此即可求解； （2）如图，圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r，根据弧长公式，圆周长公式得到h，r的值，根据圆锥体积的计算公式计算即可； （3）如图，过点G向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J，可证△OIG≌△OJG，得，设⊙G半径为x，则OG＝3﹣x，可列式得到，由此即可求解． 【解析】解：（1）如图所示，连接BC， ∴∠BAC＝90° ∴BC为直径，则BC＝6， 在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的90°扇形， ∴AB＝AC，则∠ACB＝∠ABC＝45°， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴扇形ABC的半径为， 故答案为：； （2）如图，圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r， ∴∠EOF＝60°，R＝3， ∴， ∵C底圆＝2rπ＝π， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点G向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J， ∵⊙G与扇形两边相切与I，J，OH＝3， ∵OI＝OJ，IG＝JG，∠OIG＝∠OJG＝90°， ∴△OIG≌△OJG， ∴， 设⊙G半径为x，则OG＝3﹣x， ∴， 解得 x＝1，检验，当x＝1时，原分式方程有意义， ∴⊙G的半径为1． 【点睛】本题主要考查圆、扇形的知识，掌握解直角三角形的计算，弧长公式的计算，圆锥体积的计算，切线及切线长定理等知识的综合运用，数形结合分析是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习精讲精练 第五章 圆 5.3与圆有关的计算 知识梳理 与圆有关的计算 弧长计算 （1）半径为R的圆周长：C= = .  （2）半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l,则  扇形面积计算 （1）半径为R的圆面积S= （2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为.  （3）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法。 圆柱、圆锥的有关计算 （1）圆柱的侧面展开图是 ,圆柱侧面积S= ,全面积S= (r表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).  （2）圆锥的侧面展开图是 ,圆锥侧面积S= ,全面积S= (r表示底面圆的半径，R表示圆锥的母线).  正多边形与圆 （1）正多边形：各边 ，各角 的多边形叫做正多边形. （2）有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 （3）正n边形的内角和= ； 正n边形的每个内角= ;  正n边形的周长=边长×n； 正n边形的面积=×周长×边心距. 正n边形的中心角= （4）圆内正多边形的计算 ①正三角形：； ②正四边形：： ③正六边形：. 例题讲解 【题型一】正多边形和圆 【例1.1】（2025•湖州一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝　 　 °． 【例1.2】（2025•洮南市模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 【例1.3】（2025•湖里区模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得π的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 【例1.4】（2025•邯郸模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，点M是边DE的中点，连接AM并延长交CD延长线于N点． （1）求证：AF∥CN； （2）若AF＝2，求DN的长． 【题型二】弧长的计算 【例2.1】（2025•绍兴二模）若扇形的圆心角为80°，半径为8，则它的弧长为　　 ． 【例2.2】（2025•绥化）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【例2.3】（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝2．若AB＝6，CD＝，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D．5 【例2.4】（2025•清镇市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB． （1）若∠BOD＝60°，则∠M的度数是　　 ． （2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径； （3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长． 【题型三】形面积的计算 【例3.1】（2025•金华模拟）一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　） A．21π B．23π C．24π D．25π 【例3.2】（2025•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 【例3.3】（2025•宜兴市二模）如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【题型四】圆锥的计算 【例4.1】（2025•开化县模拟）某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看作圆锥，其主视图△ABC的边AB＝41cm，BC＝18cm，则彩纸的面积是（　　）cm2． A．360 B．360π C．369 D．369π 【例4.2】（2025•云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 【例4.2】（2025•定海区模拟）若圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 　　 ． 【例4.2】（2025•雨花区校级三模）综合与实践 【主题】制作圆锥． 【素材】直径为40cm的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为40cm的圆形卡纸剪出一个圆心角为60°的最大扇形ABC（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 （1）求剪下的扇形ABC的半径． （2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径r． 真题在线 1．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（　　） A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2 2．（2025•宁波一模）如图，多边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则（　　） A．∠A＝100° B． C．∠A＝118° D． 3．（2025•温州模拟）如图，折扇的骨柄长为3dm，折扇张开的角度为120°，图中的长为（　　） A．π dm B．2π dm C．3π dm D．6π dm 4．（2025•钱塘区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．6π B．8π C．12π D．16π 5．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A．m B．m C．m D．（+2）m 6．（2025•椒江区二模）菱形ABCD与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形ABCD的边长为（　　） A．2a B． C．3a D．4a 7．（2025•上城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，把△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　） A．π B． C． D．4π 8．（2025•衢州三模）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为50°，若圆曲线的半径OA＝3km，则这段圆曲线（弧AB）的长为（　　）km． A． B． C． D．3π 9．（2025•临平区二模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O与BC，AC交于点D，E，连结BE，DE．若∠CED＝45°，AB＝8，则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 10．（2025•宁波模拟）如图，⊙B的半径为，以圆外一点A为圆心，画半径为4的弧，将⊙B截成弧长相等的两部分，则A，B两点的距离为（　　） A． B． C．3 D． 11．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 　　 ． 12．（2025•温州模拟）如图，扇形AOB的面积为8π，OA＝6，则的长为 　　 ． 13．（2025•普陀区三模）已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　　 ． 14．（2024•温州模拟）已知扇形的半径为6，面积为12π，则它的圆心角为 　　 度． 15．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝　2　 ． 16．（2025•婺城区二模）如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝45°，点P为OB中点，作PQ⊥OB交OA于点Q，则，AQ，QP，PB围成的图形（阴影部分）的周长为 　　 ． 17．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD． （1）求证：CD∥AB． （2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积． 18．（2025•钱塘区一模）如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 19．（2023•平湖市一模）如图，将含30°角的直角三角板ABC放入半圆O中，A，B，C三点恰好在半圆O上，点E是BC的中点，连结OE并延长交圆O于点D． （1）求证：OD∥AC； （2）若AB＝8，求阴影部分的面积． 20．（2024•浙江模拟）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F． （1）求∠CAD的度数． （2）已知AB＝2，求DF的长． 21．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法 如图2． 1．作直径AF． 2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N． 3．连接AM，MN，NA． （1）求∠ABC的度数． （2）△AMN是正三角形吗？请说明理由． （3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 22．（2024•东阳市二模）根据以下操作，完成任务． 如何折出正多边形？ 操作1 如图①，先对折正方形，得到AB的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到AB的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到△ABO． 操作2 将操作1中折出的△ABO剪下，如图②，将△ABO对折，记折痕为OH，再摊开、铺平，把点A，B折到OH上．折叠后的点A，点B重合，记为点G…… 问题解决 任务1 判断△ABO的形状，并说明理由 任务2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将∠OEG对折，使得角两边EO与EG重合，折痕交OH于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形EHFP为正方形的是 　①②③　 ．（填写序号） 任务3 求操作1中的正方形ABCD与操作2中所折出的正方形EHFP的面积之比． 专项练习 1．（2025•杭州校级模拟）扇形的半径为20cm，扇形的面积100πcm2，则该扇形的圆心角为（　　） A．120° B．100° C．90° D．60° 2．（2025•自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 3．（2025•温州模拟）如图，圆锥的底面半径OB＝5，高OA＝12，该圆锥的侧面积是（　　） A．60π B．85π C．65π D．90π 4．（2025•镇江）如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝35°，AB＝9，则的长等于（　　） A．5π B．4π C． D． 5．（2025•合肥模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠OCB+∠ODE＝（　　） A．72° B．98° C．102° D．108° 6．（2025•嘉兴二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若⊙O的半径为1，∠C＝30°，则扇形OAB的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•定海区一模）如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，AC是OA的一半．已知OA＝30cm，∠AOB＝120°，则扇面ABDC的周长为（　　）cm． A．30 B．30π+30 C．20π D．10π 8．（2025•安徽模拟）如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则为（　　） A． B． C． D． 9．（2024•重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32﹣8π B．16﹣4π C．32﹣4π D．16﹣8π 10．（2025•衢州一模）一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是　　 ． 11．（2025•临平区模拟）一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是150°，则此扇形的半径是 　　 cm． 12．（2025•衢州四模）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为 　3π　 cm2． 13．（2025•湖州一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连结OA．若⊙O的半径长为10cm，AB的长为，则扇形OAC的面积是　　 cm2（结果保留π）． 14．（2025•潍坊）如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 　　 ． 15．（2025•钱塘区一模）如图，在扇形OAB中，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．已知∠AOB＝90°，OA＝4，则图中阴影部分的面积为　　 （结果保留π）． 16．（2025•义乌市二模）如图，已知点P是正六边形ABCDEF内一点，连结PE，PF，PB，PC．若S△PEF＝3，sPBC＝，则AB的长为　 　 ． 17．（2025•福州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为的中点，连接AC，OC． （1）求证：OC∥AD； （2）若AB＝12，∠BAD＝50°，求弦AC，CD与围成的图形面积． 18．（2025•绵阳）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG． （1）证明：四边形BGEH为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 19．（2025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数； （2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 20．（2025•清远二模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】准备半径为3的圆形纸片（⊙O）． 【实践操作】 操作一：如图1，在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的90°扇形． 操作二：如图2，在圆形纸片内剪出一个以O为圆心的60°扇形，并将该扇形纸片围成圆锥（如图3所示），设该圆锥体积为V1． 操作三：如图4，在操作二的基础上，在该60°扇形纸片上作圆（⊙G）．⊙G与扇形的两条半径内切，且⊙G经过扇形上点H． 【实践探索】 （1）根据剪纸要求，请直接写出题21﹣1图中的扇形ABC的半径＝ 　　 ． （2）请求出V1的值（结果保留π）． （3）求⊙G的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $