江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高三上学期1月期末测试数学试题

2025-2026学年高三年级期末测试 数 学 试 题 2026.1 -----------------------祝大家考试顺利！----------------------- 一、单选题（每题5分，共40分） 1．设集合，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 3．在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种10排塔松，第1排栽种6棵，第2排比第1排多栽种2棵，第3排比第2排多栽种4棵，···，第n排比第n－1排多栽种棵且，则第10排栽种塔松的棵数为（   ） A．90棵 B．92棵 C．94棵 D．96棵 5．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．32 B．64 C． D． 6．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 8．定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（   ） A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C．若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D．若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 10．对于等式，如果将视为自变量x，b视为常数，记为，那么为幂函数；如果将视为常数，视为自变量x，c记为，那么为指数函数；如果将a、b视为自变量x，c记为，那么称为幂指函数.关于函数，下列结论中正确的有（   ）. A．函数在上单调递增 B．函数有最小值 C．当时，方程无实根 D．当时，函数有两个极值点 11．已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立.当第号节点发送0时，第号节点收到1的概率为，收到0的概率为；当第号节点发送1时，第号节点收到0的概率为，收到1的概率为.设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题（每题5分，共40分） 12．已知函数在上单调递减，则整数的可能取值为 .（答案不唯一，只需写出满足条件的一个值） 13．已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为 . 14．在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，共移动7次，则该质点到O的距离为的概率为 . 四、解答题 15．数列中，，，. (1)（5分）证明：是等差数列； (2)（8分）设，求. 16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，. (1)（4分）求证：平面PAD： (2)设点G是的重心. （i）（6分）求直线GB与平面PBD所成角的正弦值； （ii）（5分）设平面，求. 17．已知数列，是数列的前n项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． (1)（4分）求与的通项公式； (2（5分）)数列的前n项和，求及的最小值和最大值； (3)（6分）设，求． 18．已知椭圆：，短轴长为4，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.设椭圆E的左右顶点为A，B，直线交椭圆E于M，N两点（不与A，B重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)（3分）求椭圆方程； (2（5分）)求证：直线过定点； (3)（9分）弦的中点为，直线与椭圆交于P，Q两点，求四边形面积S的取值范围. 19．已知函数. (1)（4分）讨论的单调性； (2)（5分）若对于任意的，恒成立，求的最大值； (3)（8分）证明：. 高三数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年高三年级期末测试 2026.1 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D A B B A ABD BCD 题号 11 答案 ACD 12．（答案不唯一，满足的一个整数即可） 【分析】根据函数在上单调递减，所以对恒成立，再根据一元二次函数的根的分布规律求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以对恒成立， 所以解得， 所以整数的取值集合为. 故答案为：（答案不唯一，满足的一个整数即可）. 13．/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 14． 【分析】先求出总情况有，设移动7次后，该质点坐标为，则，其中，从而得到坐标需为，，设向右步数为，向左步数为，向上步数为，向下步数为，从而得到方程组，先分析出时的情况数，进而得到满足要求的总情况数，求出概率. 【详解】移动7次，每次均有4种情况，故总情况有， 设移动7次后，该质点坐标为，则，其中， 故或， 故整数解有8个，分别为，， 设向右步数为，向左步数为，向上步数为，向下步数为， 且均为非负整数， 则，则， 设，， 的情况，， 由知，为奇数，为偶数， 当时，，结合， 可得， 当时，，结合， 可得， 当时，，结合， 可得， 当时，，结合，无解， 每一步四个方向等可能，但顺序可以改变， 时，排列数为， 时，排列数为， 时，排列数为， 所以对于坐标，共有种情况， 同理可分析出其他7种情况，均和的情况相同， 从而一共有种情况， 故概率为. 故答案为： 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得的表达式. 【详解】（1）对任意的，， 等式两边同时除以得，即， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，所以， 因为，则， 对任意的，， 所以. 16．(1)证明见解析 (2)（i）（ii）6 【分析】（1）根据题意可得，，进而证明线面垂直； （2）（ⅰ）建系标点，求平面PBD的法向量，利用空间向量求线面夹角；（ii）设，法一：根据向量共线列式求解即可；法二：根据线面关系结合空间向量运算求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，则，可知， 因为平面ABCD，平面ABCD，则， 且，平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD. （2）（ⅰ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 因为G是的重心，则， 可得，， 设平面PBD的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线GB与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）设，则， 法一：因为平面PBD，且，不共线， 所以存在实数m，n，使得， 可得，解得，所以； 法二：由（ⅰ）知平面PBD的法向量为， 则，解得， 所以. 17．(1)， (2)，最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）借助与的关系结合等比数列定义可得的通项公式，再由等差数列性质可得的通项公式； （2）借助等比数列求和公式可得，再分奇偶讨论可得的最小值和最大值； （3）由题意计算可得，再借助错位相减法计算即可得解. 【详解】（1）由，则， 故，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； ，则数列的公差为，故； （2）， 则， 当为偶数时，，随的增大而增大， 当为奇数时，，随的增大而减小， 故当时，有最小值， 当时，有最大值； （3）由， 则 ， 则， 则， 故 ， 则. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，，代入可得椭圆的标准方程； （2）由结合题意可得，设直线的方程为，，，直线与椭圆联立方程组可得，，由两点间斜率公式列式计算可得，计算即可得证； （3）直线的方程为，直线与椭圆联立方程组可得，由点到直线距离公式可三角形面积公式列式可得，进而计算可解. 【详解】（1）由题意可得，则， ，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）连接，设，，而，， 因为，所以， 则， 因为，所以， 设直线的方程为， 则，得， ， ，， 则， 化简可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以直线的方程为，故恒过定点； （3）因为，所以， 设直线的方程为，即， 则，得，故， 则到的距离为， 到的距离为， 且与异号， 故， 所以 ， 由（2）可知， 所以， 所以且， 所以的取值范围为. 19．(1)答案见解析 (2) (3)不等式成立，证明过程见详解 【分析】（1）通过对参数分类讨论，利用导数判断单调性； （2）换元与构造辅助函数，转化为恒成立条件下的最值问题，借助导数分析最值位置并建立不等式； （3）取对数并转化为累加形式，再逐项放缩为单元不等式，最终构造函数并利用单调性证明. 【详解】（1）， 当时，，在上单调递减， 当时，令， 当时，，故函数在区间单调递减； 当时，，故函数在区间上单调递增； （2）对恒成立， 当时，时，左边与条件矛盾，舍去，∴， 令，即对恒成立， 令， 当时，，时，， 所以在上单调递减；单调递增， 故只需． （3）要证： 证： 即证：， 只需证：， 即证：，即证：， 令 证： ， 令在上单调递增， ∴，证毕. 学科网（北京）股份有限公司 $