安徽省合肥市2025-2026学年九年级上册期末数学模拟卷沪科版

安徽省合肥市2025-2026学年九上学期期末测试数学模拟卷沪科版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知反比例函数与二次函数的图像有一个交点的横坐标为1，则的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 4．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，点在外，且，交延长线于点，，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 6．如图，点，在半圆上，，，，则，满足的关系是（   ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 二、填空题 11．当时，代数式的值为2026，则的值为 ． 12．如图，的直径垂直于弦，垂足为，延长线上一点与点的连线交于点，已知，，，则的长为 ． 13．我们知道黄金数为，如图，C是线段的黄金分割点（）．若，则的长为 ． 14．如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是 ． 三、解答题 15．我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 16．已知抛物线经过点和． (1)求b，c的值； (2)若点在函数的图象上，求m的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 18．如图，交的边于点，点，在上，是的直径，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)若，求证：是的切线． 19．巢湖是位于长江中下游的中国五大淡水湖之一，因地形原因，湖泊两端，（点与点之间隔着小山）的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．如图，将无人机上升并飞行至距湖面的点处（，，三点在同一竖直平面内），从点测得点的俯角为，测得点的俯角为．请你利用所学过的知识求湖泊两端，之间的距离（精确到）．（参考数据：，，，，，） 20．如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 21．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 22．项目学习 项目主题：金丝琥珀蜜枣的最优销售单价 项目背景：金丝琥珀蜜枣是安徽省歙县特产，以当地马枣为原料，经八道传统工序制成．某校学习小组以探究“金丝琥珀蜜枣的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究歙县某特产超市金丝琥珀蜜枣销售总利润与销售单价的关系．研究步骤： ①学习小组通过咨询该特产超市了解到购进金丝琥珀蜜枣的成本价为40元/千克． ②该特产超市在试营业期间，不断调整销售单价，并对金丝琥珀蜜枣的销售量进行统计（不考虑其他因素，本题默认为散装销售）． ③数据分析，得出结论． 收集数据： 金丝琥珀蜜枣销售价/（元/千克） ．．． 50 55 60 65 70 ．．． 每月销售数量/千克 ．．． 500 450 400 350 300 ．．． 问题解决： (1)根据表中信息，金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为___________． (2)现计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ (3)通过计算说明金丝琥珀蜜枣的销售单价定为多少时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润（单位：元）最大，并求出最大利润． 23．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年1月30日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D D D B B C 1．D 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题关键是掌握中心对称图形的概念． 根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一识别，再作出选择． 【详解】 解：不是中心对称图形，故A不符合； 不是中心对称图形，故B不符合； 不是中心对称图形，故C不符合； 是中心对称图形，故D符合； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 3．C 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数图像的交点问题． 将交点的横坐标代入两个函数，令函数值相等，建立方程求解即可． 【详解】解：∵交点的横坐标为1， ∴当时，反比例函数， 二次函数， 又∵两个函数值相等， ∴， ∴． 因此，k的值为5． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：原抛物线向左平移2个单位得，再向下平移3个单位得． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作于点，解直角三角形得出，结合勾股定理可得，从而得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，从而可得，再由平行线的性质可得，最后根据等边对等角结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ， ， ， ， ， ，即， ． 故选：D ． 7．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到有四个交点时直线的运动范围是解答本题的关键．先求出点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点的直线与新抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出值即可得到答案． 【详解】解：∵， 令，则或， ∴，， 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方， 其解析式为，, ∵ 直线与新抛物线有4个交点， ∴ ①当直线过点时，则交点有3个，此时； ②当直线与新抛物线相切时，则， 整理得：， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时的范围为：． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：B． 9．B 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①∵动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）， ∴，， ∵，， ∴，动点Q从点B到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得：， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数综合，由矩形的性质可得，由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小，故当时，点运动到点处，结合题意求出，，当时，，，则，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小， 故当时，点运动到点处， ∴， ∵由图象可得，当点运动到点处时，的面积为，点以速度从点出发沿匀速运动， ∴，， ∴，， ∵点以速度从点出发沿匀速运动，点从点出发，速度为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴是曲线的最高点，则点的纵坐标是， 故选：C． 11．2025 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则和整体思想是解题关键．先根据题意可得，再计算整式的加减，代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2025． 12．/ 【分析】连接，，根据垂径定理与勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，，，的直径垂直于弦， ∴， 即， ∴（负值舍去）， ∵的直径垂直于弦， ∴ ∴ ∵，，，， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，余弦的定义，掌握以上知识是解题的关键． 13． 【分析】本题考查的是黄金分割，根据黄金比值是计算即可． 【详解】解：∵C是线段的黄金分割点（），， ∴， 故答案为：． 14．8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 15．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简求值，代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出a，b的值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）分三种情况：，都为正或，都为负或，一正一负，即可求解； （3）根据题意可得，，，，，两正一负，再化简即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：因为，都不为0， 所以，都为正或，都为负或，一正一负， 当，都为正时，， 当，都为负时，， 当，一正一负时，， 综上，的值为0或； （3）解：因为，． 所以，，，，，两正一负， 不妨假设， 所以 . 16．(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点和代入计算即可； （2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． 17．(1)见解析 (2)是，图见解析，M的坐标为 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：如上图画出， 与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、证明直线是圆的切线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，，由圆周角定理可得，证明，从而可得，由全等三角形的性质可得，即可得出结果； （2）证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接，， ， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 19．湖泊两端，之间的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形； 过点作于点，由平行线的性质得，，，根据三角函数可得，，，因为，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， 由题可知，， 在中， ， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 答：湖泊两端，之间的距离约为． 20．见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 21．(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． 22．(1) (2)销售单价应定为80元/千克 (3)当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用等，正确求出函数解析式，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）根据（1）中的销售量表达式，结合总利润每千克利润销售量，得到一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可； （3）同（2）得到利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质得出最值． 【详解】（1）解：观察表格可知金丝琥珀蜜枣每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．设一次函数关系式为， 代入，，得 ， 解得， ∴金丝琥珀蜜枣每月的销售数量（单位：千克）关于它的销售单价（单位：元/千克）的函数解析式为， 故答案为：． （2）解：月销售成本不超过10000元，成本价为40元/千克， ，解得 由题意得， 解得（舍去）， 答：销售单价应定为80元/千克． （3）解： ， 当时，每月销售金丝琥珀蜜枣获得的利润最大，最大利润为9000元． 23．(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）由待定系数法求解函数解析式； （2）设，表示出，则由题意得，再解方程即可； （3）可求直线，过点作轴交于点，则，点的横坐标为，，则，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）解：对于，当 ∴， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线． 设， ∵ ． 是以为底的等腰三角形， ，即， 解得， 点的坐标为； （3）解：∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 如图，过点作轴交于点， ∴， ． 点的横坐标为， ， ， 当时，有最大值1， ∴有最小值2，此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $