四川泸化中学2025-2026学年高二上学期质量监测试题数学

高 2024 级高二年级上学期质量监测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。 3.全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．135° 2．双曲线的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 3．圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．相交 D．外切 4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（　　） A． B． C． D． 7．已知，是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，事件，事件，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（    ） A．直线OA与OB的斜率之积为定值 B．当最小时，切线PA与x轴交点为 C．当时， D．的取值范围是 11．如图，棱长为2的正方体中，点、满足，，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（    ）    A． B．平面 C．若平面，则的最大值为 D．若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 13．已知数列的前项和，则的通项公式为 ． 14．已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）在等差数列与等比数列中，已知，，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．（本题15分）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 17．（本题15分）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的离心率； (2)若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 18．（本题17分）在平行六面体中，，，，． (1)以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； (2)求点到平面的距离； (3)动点P满足，且，，当时，求直线与平面所成角的取值范围； 19．（本题17分）椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率为，直线的斜率为． （i）若，在轴上方，且，求证：直线过定点； （ii）点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A C B C BD ABD 题号 11 答案 ABC 12．或 13． 14． 15．（1）由题意，令公差为，公比为. 由，即，有； ，，； 由，即，有. ，. （2）由（1）有. 则有 . 16．（1）前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为 （2）设事件“甲连续射击3次且都击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”； 事件“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第4次由甲射击”两两互斥， 所以第4次由甲射击的概率为 17．（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离， 所以即， 所以. （2）因为，所以， 所以双曲线的方程为：， 如图所示：    设点，，因为是弦的中点， 则， 由于，，所以两式相减得， 所以， 即直线的斜率为，     所以直线的方程为， 即． 联立消去并整理， 得， 所以， 且，， 所以. 18．（1）由题可知，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 由，得到，即， 取，得到，所以， 故平面的一个法向量为. （2）由（1）知平面的一个法向量， 所以， 又 ， 所以点到平面的距离为. （3）当时，设， 则， 所以， ， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，，； 当时，， 因为，所以， 所以，由， 可知， 综上，直线与平面所成角的取值范围. 19．（1）由题意，即，线段的最小值为， 所以，又，则，故椭圆的标准方程为； （2）（i）设直线方程为：， 由得：， ， 因为，所以，即 所以，整理， 代入韦达定理，化简得， 所以直线方程为：，恒过定点；经检验 （ii）设，显然，则直线斜率为，直线的斜率为. 因为，所以直线斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，直线的方程为， 两方程联立解得：，即， 因为点在椭圆上，且四点共圆，结合对称性， 所以，即或， 又点在椭圆上，，联立无解， 联立，解得， 所以符合条件的点得坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $