四川省合江县马街中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

2025年秋期高2024级高二高考文考期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。 3.全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线上与焦点的距离等于9的点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 2．已知复数满足（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 3．已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．线段 C．双曲线的一支 D．双曲线 4．已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则事件与相互独立 D．若与相互独立，则 5．平行六面体中，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（   ） A． B． C． D． 7．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，圆，M､N分别是圆､上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时（    ） A． B． C． D．9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法错误的是（    ） A．经过点，倾斜角为的直线方程为 B．方程表示的直线过定点 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D．若方程表示圆，则 10．在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当P为中点时，为锐角 B．存在点P，使得平面APC C．的最小值 D．顶点B到平面APC的最大距离为 11．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线 C．若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．椭圆的长轴长为 ． 13．数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则 ． 14．如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆过两定点，且圆心在直线上； (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，若，求直线的方程． 16．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 17．如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，平面平面.    (1)证明：平面； (2)证明：二面角的正弦值与二面角的正弦值相等. 18．在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 19．已知椭圆，点在C上，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E．证明：直线与x轴交于定点Q； （3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A D D A B AC ABC 题号 11 答案 ABD 12．8 13． 14． 15．（1）解：设圆的方程为 ∵圆心在直线上，则 又∵圆过点两点， 则，又，联立解得： 则圆的方程为； （2）解：当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线得距离 弦长符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则， ∵， ∴圆心到直线的距离为，解得， 则直线的方程为， 综上，直线的方程为或 16．（1），则， ；， 故40百分位数在层，则40百分位数为， 平均数； （2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为： ，，， 从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格” ， 所以； ，所以； ∴． 17．（1）因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面， 所以，又，又因为，平面， 所以平面； （2）取的中点，取的中点， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的边长为2， 则， 则， 设设设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为； 又是平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为； 所以二面角的正弦值与二面角的正弦值相等. 18．（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图: 根据题意知，直线斜率存在，则，则 则直线:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为即，所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图 因为 ， 又，则,代入上式得: , 当时，时，， 则， 当且仅当，即时取等. 当时，，则， 当且仅当,即时等号成立, 故应在时取得取最小值， 此时,即 所以的坐标是或时,的面积最小. 19．解：（1）由题知：，， ∴， ∴椭圆C的方程为． （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为． 由， 得．① 设点，则， 直线的方程为． 令，得． 将代入并整理得．② 由①得，代入②式整理得． ∴直线与x轴相交于定点． （3）当过点Q的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 故联立方程得． 易知．∴． ． ∵， ∴， ∴． 当过点Q的直线的斜率不存在时，其方程， 解得， 此时． 所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $