1.2 等腰三角形 同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.2《等腰三角形》 一、单选题 1．如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，P是平分线上的一点，，，，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 4．如图，在∆ABC中，．是边上的中线，点E在边上，且．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在∆ABC中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接．下列结论：①∆ADE≌∆CDF；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积为4．其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 7．如图，为∆ABC内一点，平分，若，则的长为 ． 8．如图，C，E和B，D，F分别在的两边上，且，若，则的度数为 ． 9．如图已知∆ABC中，为边上的中线，平分交边于点，，，则 ． 10．如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是 ． 三、解答题 11．已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． (1)求证：； (2)猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 12．如图，在中，点在边上，，与相交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．如图，在∆ABC中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 14．如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 15．如图，在∆ABC中，，，是 ∆ABC的中线，是的平分线，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的长． 16．如图，在∆ABC中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 17．综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 已知，在∆ABC中，，，D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系是____________，与的位置关系是____________； (2)图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 18．【发现结论】（1）如图①，在∆ABC中，，，过点作于点．求证：． 【结论应用】如图②，在∆ABC和∆ADE中，，，且，点，，在同一条直线上，为∆ABC中边上的高，连接． （2）的度数为 ； （3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）在∆ABC中，，，在同一平面内有一点，满足，．且，请求出的面积． 参考答案 一、单选题 1．C 解：根据三角形内角和为， ①若为顶角，则底角为； ②若为底角，则底角为． ∴底角为或， 故选：C． 2．A 解：如图，，，， ∴， 即底边上的高是， 故选：A． 3．B 解：如图，过点P作于点E，则， 是平分线上的一点，，， ， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．C 解：∵，是边上的中线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 5．C 解：∵，， ∴∆ABC是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵∆ADE≌∆CDF， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵∆ADE≌∆CDF， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴，故③错误； ∵∆ADE≌∆CDF， ∴， ∵， ∴四边形的面积是4，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题 6．/120度 解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴它的顶角的度数是． 故答案为： 7．9 延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 8． 解：， ∴设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴的度数为 故答案为：． 9．10 解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ∵∠AEB=∠C+∠CAE， ， ， ， ， 故答案为：10． 10．或或 解：如图，当时，此时点E在边上时， ∴； 当时，此时 点E与点C重合时， ∴， 当重合时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形． 12．（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， 即的度数为． 13．（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 14．（1）解：，， 是等腰三角形， ； （2）解：为的中线， ， 的周长，的周长， 周长差， ． 15．（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2），是 ∆ABC的中线， ，， ， ∴． 16．（1）证明：∵BD平分， ， ∵， ， ， ∴， 为等腰三角形． （2）解：，， ， ∵， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ∵BD平分， ， ， ． 17．（1）解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， 故答案为：，； （2）成立．理由如下： ∵， ． ． 在和中， ． ∴，． ∵在 ∆ABC中，， ∴． ∴，即． ∴． （3）①当点在上时，如图， 由（1）可知 ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，或11． 18．（1）证明：在 ∆ABC中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：的度数为；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：． （3）解：，，之间的数量关系为． 理由如下：在 ∆ABC中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：过点A作于点M，连接，过点A作交于点H， ∵， ∴， 设的交点为点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点A作于点F，连接，过点A作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴ ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的面积为或． 学科网（北京）股份有限公司 $