专题19.3二次根式的加法与减法（5大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

专题19.3二次根式的加法与减法 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.同类二次根式（化简后被开方数相同） 1.判断两个/多个二次根式是否为同类二次根式； 2.根据同类二次根式求字母取值； 3.同类二次根式的合并法则应用 1.未化成最简二次根式就判断是否同类； 2.混淆“同类二次根式”与“同类项”概念； 3.合并时改变被开方数或根指数 2.二次根式的加减运算 1.二次根式的加减混合运算（不含字母）； 2.含字母的二次根式加减运算； 3.与整式加减结合的混合运算 1.漏写不能合并的二次根式； 2.带分数未化为假分数直接运算； 3.小数未化为分数导致化简出错 3.二次根式的混合运算（加减与乘除、乘方结合） 1.结合乘法公式（平方差、完全平方）的混合运算； 2.含括号的混合运算； 3.与分母有理化结合的混合运算 1.运算顺序错误（先加减后乘除）； 2.乘法公式应用漏项或符号错误； 3.结果未化为最简二次根式 4.二次根式的化简求值 1.直接代入求值； 2.整体思想求值（如、代入）； 3.结合隐含条件求值 1.代入前未化简代数式或已知条件； 2.忽略字母取值范围导致化简错误； 3.整体思想应用不熟练，直接代入复杂根式计算 5.二次根式的实际应用 1.几何图形中的边长、周长、面积计算； 2.跨学科情境应用（如物理速度、工程长度）； 3.实际问题中的最值估算 1.单位不统一就进行运算； 2.未将实际问题转化为二次根式运算模型； 3.结果未结合实际意义取近似值 【易错题型】 【题型1】二次根式混合运算的顺序与符号错误 1.易错点总结 运算顺序颠倒：同类运算未按“从左到右”，或先算加减后算乘除； 符号处理失误：负号漏乘、多个负号相加时符号判断错误； 乘法公式应用错误：漏算中间项，或平方差公式符号混淆。 2.纠错技巧 标记运算顺序：先圈出乘方、乘除，再标注加减，有括号先算括号内，同级运算用箭头标注“从左到右”； 符号单独梳理：先确定每个根式的符号，再按“同号相加、异号相减”法则计算系数； 公式口诀记忆：完全平方“首平方、尾平方、积的两倍中间放”，平方差“前平方减后平方，符号跟着前项走”。 【例题1】.（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式．熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式进行化简，然后按照二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解:原式 ； （2）解:原式 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，以及进行分母有理化，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、算术平方根及完全平方公式等知识点，正确计算是解题的关键． （1）先计算立方根，去绝对值，算术平方根，去括号，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算顺序和法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． （2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． 【基础题型】 【题型2】同类二次根式的识别与判断 1.考点总结 核心：先将二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同； 常见形式：含数字、含字母的二次根式，或与分式结合的根式（如与）。 2.解题技巧 三步判断法：第一步“化简”（所有根式化为最简）；第二步“找被开方数”（提取化简后根号内的数或因式）；第三步“比对”（被开方数相同则为同类）； 反例验证：若判断为同类，尝试合并，验证结果是否符合“系数相加、被开方数不变”； 字母处理：默认字母为正数，化简时保留字母的正次幂（如）。 【例题2】.（25-26九年级上·海南海口·期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意； B、，被开方数为2，故B符合题意； C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数为3，故D不符合题意． 故选：B. 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练将根式化简成最简二次根式，并准确判断是否是同类二次根式是解题的关键． 先化简成最简二次根式，后根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：选项A：是最简二次根式，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项B：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项C：，含有，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 选项D：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 故选C． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可. 【详解】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 【题型3】二次根式的加减运算（基础型，不含字母） 1.考点总结 核心：遵循“先化简，再合并”原则，仅合并同类二次根式； 常见形式：纯数字根式加减、含系数的根式加减（如）。 2.解题技巧 化简步骤：将每个根式化为最简（如、）； 合并法则：同类根式的系数相加，被开方数和根指数不变（如）； 易错规避：非同类根式不能合并，直接保留在结果中（如无需进一步运算）。 【例题3】.（25-26八年级上·北京房山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简与加减运算．将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海宝山·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的加减运算法则即可求解； （2）利用二次根式的性质化简后再计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，以及去括号，再运算加减法，即可作答． （2）先化简算术平方根，立方根，运算乘方以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】含字母的二次根式加减运算 1.考点总结 核心：化简含字母的二次根式，再合并同类项，字母默认正数； 常见形式：、等。 2.解题技巧 字母根式化简：提取根号内的完全平方因式（如）； 系数运算：合并时仅对根号外的系数进行加减，字母部分保持不变（如）； 验证方法：代入字母具体值（如），原式与化简结果相等则正确。 【例题4】.（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算． 先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·上海·月考）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了混合运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 先计算二次根式的乘法并化简二次根式，再计算加法． 【详解】解： 【变式题4-2】.（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减运算．根据二次根式的性质进行化简，然后运算即可． 【详解】解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出 ， ，然后把化为，再代入求解即可； （）先求出， ，然后把化为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【提升题型】 【题型5】二次根式的混合运算（结合乘法公式） 1.考点总结 核心：先算乘方、乘除，再算加减，灵活运用平方差、完全平方公式简化运算； 常见形式：、。 2.解题技巧 公式优先：遇到直接用平方差公式（结果为）； 完全平方展开：，避免漏项； 分步运算：先算乘除/乘方，再合并同类根式（如）。 【例题5】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）计算 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的计算，完全平方公式有，平方差公式有． 【详解】解： 【变式题5-1】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则计算； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算； （3）先计算幂的乘方，然后计算单项式除以单项式以及单项式乘以单项式，再合并即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 【题型6】含隐含条件的二次根式加减化简 1.考点总结 核心：先通过二次根式有意义的条件确定字母取值范围，再化简； 常见形式：已知有意义，化简。 2.解题技巧 确定字母范围：由被开方数非负列不等式（如且得）； 代入化简：将字母值代入原式，再按性质化简（如时，）； 隐含条件挖掘：注意“分母不为0”“零次幂底数不为0”等叠加条件。 【例题6】.（20-21八年级上·四川·月考）若x，y都是实数且，则xy的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求出x的值，得到y的值，根据平方根的定义解答即可． 【详解】由题意得，2x−3≥0，3−2x≥0， 解得，x＝， 则y＝4， xy＝6， 6的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件和平方根的定义，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出、的值,代入代数式即可求解． 本题考查了二次根式的基本性质，掌握二次根式的非负性是解题关键． 【详解】解：∵， ∴, ∴ ∴ 原式． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知有理数，满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，从而确定的值，再代入原式求，最后计算的值． 【详解】解：由题意，和均有意义，则被开方数且， 解得且， 所以． 代入原式，． 则． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 【题型7】二次根式的实际应用（几何情境） 1.考点总结 核心：将几何图形的边长、周长、面积问题转化为二次根式加减运算； 常见情境：长方形周长计算、正方形与长方形拼接后的边长计算、三角形周长（含根式边长）。 2.解题技巧 提取几何公式：周长=2(长+宽)、面积=长×宽，将已知根式边长代入； 单位统一：先统一单位（如厘米、米），再进行运算； 结果处理：根据题意保留最简根式或取近似值（如“保留一位小数”）。 【例题7】.（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲同学采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出三块面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A、B、 (1)正方形木板A的边长为______分米， B的边长为______分米， C的边长为______分米； (2)乙同学想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出两块面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，，； (2)不能截出，理由见解析 【分析】（1）依据题意，根据正方形方面积公式求解； （2）依据题意，比较无理数的大小． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握无理数的大小比较是关键． 【详解】（1）由题意，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C， 正方形木板A的边长为2分米，B的边长为分米，C的边长为分米． 故答案为：2，， （2）不能截出．理由如下， 由题意得，正方形木板的边长为4分米， 又，， 不能截出． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·山西朔州·期中）已知一个矩形相邻的两边长分别是a，b，且，． (1)求此矩形的周长． (2)若一个正方形的周长与上述矩形的周长相等，求此正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握矩形和正方形的周长和面积公式并正确进行计算是解题的关键． （1）根据矩形的周长公式计算即可； （2）根据正方形的周长公式与面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，． ，． 矩形的周长为． （2）解：设这个正方形的边长为． 由题意得， 解得：， ． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·全国·期中）已知长方形的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)求与长方形面积相等的正方形的周长，并比较正方形周长与长方形周长的大小． (3)通过计算，你从中得到了什么启示？ 【答案】(1) (2)长方形的周长大于正方形的周长 (3)当长方形的面积与正方形的面积相同时，长方形的周长大于正方形的周长 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积的计算方法是解题的关键． （1）先化简，，根据长方形周长公式计算即可； （2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得正方形的周长比较即可； （3）根据（2）的计算结果即可找出规律． 【详解】（1）解：长方形的周长为； （2）解： ， 正方形的边长为， 正方形的周长为， 而， 长方形的周长大于正方形的周长， （3）解：通过（2）的计算可得当长方形的面积与正方形的面积相同时，长方形的周长大于正方形的周长． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中为三角形的三边长，为面积）． （）若已知三角形的三边长分别为，试运用公式①，计算该三角形的面积； （）国外有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中）．请你取一组你喜欢的值，验算公式①、公式②的结果是否一样？ 【答案】（）；（）一样 【分析】（）把，，代入公式①计算即可求解； （）取，，，求出的值，再代入公式②计算求出结果，进而根据（）的结果比较即可判断求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）把，，代入公式①得， ； （）取，，， 则由公式②得，， ∴把，，，代入公式②得， ， ∴结合（）可知，公式①、公式②的结果是一样． 【培优题型】 【题型8】二次根式的整数部分与小数部分应用 1.考点总结 核心：先估算二次根式的整数部分，再求小数部分，最后代入计算； 常见形式：已知的整数部分为，小数部分为，求的值。 2.解题技巧 整数部分估算：找到相邻的两个完全平方数（如，故）； 小数部分求解：（如）； 代入运算：化简代数式后再代入、，避免直接代入复杂根式（如）。 【例题8】.（25-26八年级上·四川巴中·月考）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，与无理数有关的整数部分的运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，即的整数部分为，小数部分为； （2）模仿题干过程，得，即，结合是的小数部分，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：依题意，∵， ∴， ∴， 即， ∵是是整数部分， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 即． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分及其相关计算，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据夹逼法可得，进而可确定的整数部分和小数部分； （2）由可确定的整数部分为a，小数部分为b，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)505． 【分析】本题考查二次根式的有理化，无理数的估算，完全平方公式和平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分母分别乘以它的有理化因式化简后合并即可； （2）先求出，再得出的小数部分，即的值，代入求解即可； （3）先将分母有理化，再算出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴； （3）解：， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 【题型9】二次根式的分子分母有理化（化简与大小比较） 1.考点总结 核心：掌握有理化因式定义（乘积不含二次根式的两个代数式），会进行分母有理化（化去分母根号）和分子有理化（化去分子根号），并应用于化简、求和、比较大小； 常见形式：单根式分母（如）、二项式分母（如）、分子为根式差（如）的有理化。 2.解题技巧 分母有理化两步法：①找有理化因式（单根式取自身，二项式取“共轭式”，如的因式为）； ②分子分母同乘该因式，利用平方差公式消去根号； 分子有理化应用：比较两个根式差的大小（如与），先化为分式，再通过分母大小判断分式大小； 【例题9】.（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把所求分式的分子和分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）把两个式子的倒数进行分母有理化，比较出两个式子的倒数的大小，由于两个式子都是正数，则可比较出这两个数的大小． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南郴州·期中）【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． 任务一：根据有理化因式的定义，寻找与相乘后结果为有理数的式子； 任务二：通过计算两式的乘积判断是否为有理化因式； 知识应用：（1）利用分母有理化将每项化为差的形式，通过求和化简； （2）利用分子有理化将差的形式转化为分式，通过比较分母大小得出结论． 【详解】解：任务一：为有理数． ∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数， ∴与互为有理化因式． 知识应用：（1） ， ． （2） ， ， ， ， 即． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·安徽宿州·期中）【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 【答案】（1） （2）9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据材料中的方法进行分母有理化； （2）先将各部分分母有理化，再计算加减． 【详解】（1）解：； （2） ． 【题型10】二次根式的新定义运算题 1.考点总结 核心：理解新定义的运算规则，将其转化为常规二次根式加减、乘除运算； 2.解题技巧 拆解新定义：明确运算步骤； 分步转化：按定义代入数值，先进行根号内运算，再进行加减乘除； 结果检验：确保最终结果为最简二次根式或有理数。 【例题10】.（24-25八年级下·山东日照·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【变式题10-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算； （2）根据新定义运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得： ． 故的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴． 由题意，得： ． 故的值为． 【变式题10-2】.（24-25九年级下·福建莆田·月考）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，整式混合运算，完全平方式的非负性，难度不大． （1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果； （2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴“如意数”c为非负数． 【变式题10-3】.（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①作图见解析；② 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 同步练习 一、单选题 1．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同． 把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数相同，是同类二次根式； C、与被开方数不同，不是同类二次根式； D、与，被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 利用二次根式的相应的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意； D、，错误，故D不符合题意； 故选：B． 3．计算的结果为9，则“”中的运算符号为（     ） A．+ B．－ C． D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则验证各个选项即可． 【详解】解：A、，故“”中的运算符号不是“＋”； B、，故“”中的运算符号不是“－”； C、，故“”中的运算符号是“×”； D、，故“”中的运算符号不是“÷”． 故选：C． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括合并同类项、化简以及乘法公式的应用，根据二次根式的运算法则判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、， 故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、 ，故选项符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【详解】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 7．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再按运算顺序计算，最后合并同类二次根式． 先将各二次根式化为最简形式，再计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 9．材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为 ． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了海伦公式与秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并进行根式运算． （1）用海伦公式，先计算半周长，再代入公式求面积； （2）用秦九韶公式，代入三边长度逐步化简计算面积． 【详解】（1）解：，，，， 故答案为：． （2）解：，，， ． 故答案为：． 10．比较大小：（1）     （2） 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）利用算术平方根和立方根的计算法则计算每一项，最后算加减即可； （2）先根据平方差公式计算乘法，再利用二次根式的除法化简，再算加减即可． 【详解】（1）解： ． ； （2）解： ． 12．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的分母有理化，掌握完全平方式的因式分解，分式的约分和二次根式的分母有理化方法是解题关键． 先因式分解，再约分化简分式，再化简x的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 13．先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把分式的除法转化成乘法，再约分计算即可，利用分母有理化求出x的值，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】解： ∴原式． 14．已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）解：这个长方形的周长； （2）解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 15．阅读下面的材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时候会碰到形如，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 化简： (1)__________；__________． (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确地进行分母有理化． （1）将的分子和分母同时乘，将的分子和分母同时乘即可化简； （2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解． 【详解】（1）解：，． ． （2）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.3二次根式的加法与减法 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.同类二次根式（化简后被开方数相同） 1.判断两个/多个二次根式是否为同类二次根式； 2.根据同类二次根式求字母取值； 3.同类二次根式的合并法则应用 1.未化成最简二次根式就判断是否同类； 2.混淆“同类二次根式”与“同类项”概念； 3.合并时改变被开方数或根指数 2.二次根式的加减运算 1.二次根式的加减混合运算（不含字母）； 2.含字母的二次根式加减运算； 3.与整式加减结合的混合运算 1.漏写不能合并的二次根式； 2.带分数未化为假分数直接运算； 3.小数未化为分数导致化简出错 3.二次根式的混合运算（加减与乘除、乘方结合） 1.结合乘法公式（平方差、完全平方）的混合运算； 2.含括号的混合运算； 3.与分母有理化结合的混合运算 1.运算顺序错误（先加减后乘除）； 2.乘法公式应用漏项或符号错误； 3.结果未化为最简二次根式 4.二次根式的化简求值 1.直接代入求值； 2.整体思想求值（如、代入）； 3.结合隐含条件求值 1.代入前未化简代数式或已知条件； 2.忽略字母取值范围导致化简错误； 3.整体思想应用不熟练，直接代入复杂根式计算 5.二次根式的实际应用 1.几何图形中的边长、周长、面积计算； 2.跨学科情境应用（如物理速度、工程长度）； 3.实际问题中的最值估算 1.单位不统一就进行运算； 2.未将实际问题转化为二次根式运算模型； 3.结果未结合实际意义取近似值 【易错题型】 【题型1】二次根式混合运算的顺序与符号错误 1.易错点总结 运算顺序颠倒：同类运算未按“从左到右”，或先算加减后算乘除； 符号处理失误：负号漏乘、多个负号相加时符号判断错误； 乘法公式应用错误：漏算中间项，或平方差公式符号混淆。 2.纠错技巧 标记运算顺序：先圈出乘方、乘除，再标注加减，有括号先算括号内，同级运算用箭头标注“从左到右”； 符号单独梳理：先确定每个根式的符号，再按“同号相加、异号相减”法则计算系数； 公式口诀记忆：完全平方“首平方、尾平方、积的两倍中间放”，平方差“前平方减后平方，符号跟着前项走”。 【例题1】.（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)； 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【基础题型】 【题型2】同类二次根式的识别与判断 1.考点总结 核心：先将二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同； 常见形式：含数字、含字母的二次根式，或与分式结合的根式（如与）。 2.解题技巧 三步判断法：第一步“化简”（所有根式化为最简）；第二步“找被开方数”（提取化简后根号内的数或因式）；第三步“比对”（被开方数相同则为同类）； 反例验证：若判断为同类，尝试合并，验证结果是否符合“系数相加、被开方数不变”； 字母处理：默认字母为正数，化简时保留字母的正次幂（如）。 【例题2】.（25-26九年级上·海南海口·期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A．， B．， C．， D．， 【题型3】二次根式的加减运算（基础型，不含字母） 1.考点总结 核心：遵循“先化简，再合并”原则，仅合并同类二次根式； 常见形式：纯数字根式加减、含系数的根式加减（如）。 2.解题技巧 化简步骤：将每个根式化为最简（如、）； 合并法则：同类根式的系数相加，被开方数和根指数不变（如）； 易错规避：非同类根式不能合并，直接保留在结果中（如无需进一步运算）。 【例题3】.（25-26八年级上·北京房山·期中）计算：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海宝山·月考）计算：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 【题型4】含字母的二次根式加减运算 1.考点总结 核心：化简含字母的二次根式，再合并同类项，字母默认正数； 常见形式：、等。 2.解题技巧 字母根式化简：提取根号内的完全平方因式（如）； 系数运算：合并时仅对根号外的系数进行加减，字母部分保持不变（如）； 验证方法：代入字母具体值（如），原式与化简结果相等则正确。 【例题4】.（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·上海·月考）计算：； 【变式题4-2】.（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【提升题型】 【题型5】二次根式的混合运算（结合乘法公式） 1.考点总结 核心：先算乘方、乘除，再算加减，灵活运用平方差、完全平方公式简化运算； 常见形式：、。 2.解题技巧 公式优先：遇到直接用平方差公式（结果为）； 完全平方展开：，避免漏项； 分步运算：先算乘除/乘方，再合并同类根式（如）。 【例题5】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）计算 【变式题5-1】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2) 【变式题5-3】.（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型6】含隐含条件的二次根式加减化简 1.考点总结 核心：先通过二次根式有意义的条件确定字母取值范围，再化简； 常见形式：已知有意义，化简。 2.解题技巧 确定字母范围：由被开方数非负列不等式（如且得）； 代入化简：将字母值代入原式，再按性质化简（如时，）； 隐含条件挖掘：注意“分母不为0”“零次幂底数不为0”等叠加条件。 【例题6】.（20-21八年级上·四川·月考）若x，y都是实数且，则xy的平方根是 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知，，均为实数，求的值． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知有理数，满足，则的值为 ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【题型7】二次根式的实际应用（几何情境） 1.考点总结 核心：将几何图形的边长、周长、面积问题转化为二次根式加减运算； 常见情境：长方形周长计算、正方形与长方形拼接后的边长计算、三角形周长（含根式边长）。 2.解题技巧 提取几何公式：周长=2(长+宽)、面积=长×宽，将已知根式边长代入； 单位统一：先统一单位（如厘米、米），再进行运算； 结果处理：根据题意保留最简根式或取近似值（如“保留一位小数”）。 【例题7】.（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲同学采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出三块面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A、B、 (1)正方形木板A的边长为______分米， B的边长为______分米， C的边长为______分米； (2)乙同学想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出两块面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·山西朔州·期中）已知一个矩形相邻的两边长分别是a，b，且，． (1)求此矩形的周长． (2)若一个正方形的周长与上述矩形的周长相等，求此正方形的面积． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·全国·期中）已知长方形的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)求与长方形面积相等的正方形的周长，并比较正方形周长与长方形周长的大小． (3)通过计算，你从中得到了什么启示？ 【变式题7-3】.（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）对于求三角形的面积，古今中外不少人都进行了研究，其中比较早且卓有成效的当属我国古代数学家秦九韶．他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中为三角形的三边长，为面积）． （）若已知三角形的三边长分别为，试运用公式①，计算该三角形的面积； （）国外有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中）．请你取一组你喜欢的值，验算公式①、公式②的结果是否一样？ 【培优题型】 【题型8】二次根式的整数部分与小数部分应用 1.考点总结 核心：先估算二次根式的整数部分，再求小数部分，最后代入计算； 常见形式：已知的整数部分为，小数部分为，求的值。 2.解题技巧 整数部分估算：找到相邻的两个完全平方数（如，故）； 小数部分求解：（如）； 代入运算：化简代数式后再代入、，避免直接代入复杂根式（如）。 【例题8】.（25-26八年级上·四川巴中·月考）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 【变式题8-1】.（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广东佛山·期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 【题型9】二次根式的分子分母有理化（化简与大小比较） 1.考点总结 核心：掌握有理化因式定义（乘积不含二次根式的两个代数式），会进行分母有理化（化去分母根号）和分子有理化（化去分子根号），并应用于化简、求和、比较大小； 常见形式：单根式分母（如）、二项式分母（如）、分子为根式差（如）的有理化。 2.解题技巧 分母有理化两步法：①找有理化因式（单根式取自身，二项式取“共轭式”，如的因式为）； ②分子分母同乘该因式，利用平方差公式消去根号； 分子有理化应用：比较两个根式差的大小（如与），先化为分式，再通过分母大小判断分式大小； 【例题9】.（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【变式题9-1】.（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·湖南郴州·期中）【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】 任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】 （1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·安徽宿州·期中）【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 【题型10】二次根式的新定义运算题 1.考点总结 核心：理解新定义的运算规则，将其转化为常规二次根式加减、乘除运算； 2.解题技巧 拆解新定义：明确运算步骤； 分步转化：按定义代入数值，先进行根号内运算，再进行加减乘除； 结果检验：确保最终结果为最简二次根式或有理数。 【例题10】.（24-25八年级下·山东日照·月考）对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【变式题10-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【变式题10-2】.（24-25九年级下·福建莆田·月考）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 【变式题10-3】.（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 同步练习 一、单选题 1．下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果为9，则“”中的运算符号为（     ） A．+ B．－ C． D．÷ 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 8．计算： ． 9．材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 阅读上述材料解决下列问题： （1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为 ． （2）当三角形的三边长为、、时，这个三角形的面积为 ． 10．比较大小：（1）     （2） 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．已知，求的值． 13．先化简，再求值：已知，求的值． 14．已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 15．阅读下面的材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时候会碰到形如，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 化简： (1)__________；__________． (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $