专题19.2 二次根式的乘法与除法（5大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

本初中数学讲义聚焦二次根式的乘法与除法，系统梳理乘法法则、除法法则、积与商的算术平方根、最简二次根式及乘除混合运算等核心知识点，构建从法则应用到化简转化再到综合运算的递进式学习支架。 资料通过易错题型警示、分层题型设计及实际情境应用（如海伦-秦九韶公式、摆钟周期计算），培养学生运算能力与推理意识，提升用数学语言解决实际问题的能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识应用。

专题19.2 二次根式的乘法与除法 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.二次根式乘法法则（，，） 1.直接运用法则进行计算； 2.逆用法则化简二次根式； 3.含系数的二次根式乘法运算（如） 1.忽略法则成立条件（、非负），直接对负数应用； 2.含系数时，漏将系数相乘或错把系数代入根号内； 3.结果未化为最简二次根式 2.二次根式除法法则（，，） 1.直接运用法则进行计算； 2.逆用法则化简含分母的二次根式； 3.含系数的二次根式除法运算（如） 1.忽略分母的条件，未排除的情况； 2.除式为分数时，未先转化为乘法再计算； 3.结果分母含根号，未进行有理化 3.积与商的算术平方根 1.化简含因数分解的二次根式（如）； 2.化简含分数或小数的二次根式（如） 1.分解因数不彻底，遗漏能开得尽方的因式； 2.逆用公式时，将负数纳入根号内（如错写为）； 3.小数未化为分数直接化简 4.最简二次根式（不含分母、不含能开得尽方的因数/因式） 1.识别最简二次根式； 2.将普通二次根式化为最简二次根式； 3.结合最简二次根式求字母取值 1.误将含分母的根式当作最简（如）； 2.遗漏被开方数中能开得尽方的因式（如未化简为）； 3.化简后分母仍含根号 5.二次根式乘除混合运算 1.同级运算的顺序应用； 2.含符号的混合运算； 3.与整式、分式结合的混合运算 1.运算顺序错误（先乘除后加减混淆，或同级运算从右往左）； 2.符号判断失误（负号漏乘或多乘）； 3.未统一形式就运算（带分数未化为假分数） 【易错题型】 【题型1】二次根式乘除混合运算的顺序与符号错误 1.易错点总结 运算顺序颠倒：同级运算未按“从左到右”进行，先算后面的乘除再算前面的（如错算为）； 符号处理失误：负号未随运算传递，或多个负号相乘时符号判断错误（如错算为）； 带分数未转化：直接用带分数进行乘除，未化为假分数（如错算为）。 2.纠错技巧 标记运算顺序：同级运算用箭头标注“从左到右”，遇括号先算括号内，无括号不随意添加； 符号单独运算：先确定所有系数的符号（负号个数为奇数则结果为负，偶数为正），再计算数值部分； 统一形式再运算：带分数化为假分数、小数化为分数，避免混合形式导致失误。 【基础题型】 【题型2】最简二次根式的识别与判断 1.考点总结 核心：依据最简二次根式的两个条件判断（①不含分母；②不含能开得尽方的因数/因式）； 常见形式：区分普通根式与最简根式（如与、与）。 2.解题技巧 两步判断法：第一步看被开方数是否含分母（含则不是）；第二步看是否含平方数因数（如4、9、16等，含则不是）； 反例验证：若不是最简根式，尝试化简后再判断（如化简为，则原根式不是最简）； 关键字标注：圈出“分母”“平方因数”，快速排除非最简根式。 【例题2】.（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握其运算规则是解题的关键． 先将被开方数化简，再开方，即可求解． 【详解】解：． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·广东茂名·月考）将二次根式化为最简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则 ， 故答案为 ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简进行求解（1）（2）（3）（4）小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型3】最简二次根式的判定与识别 1.考点总结 核心：满足两个条件——被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数/因式； 常见形式：含分数、小数、多项式的二次根式（如、、）。 2.解题技巧 分步化简：①分母有理化（如）；②分解因数/因式（如）；③开方移项（能开尽方的因数/因式移到根号外，如）； 特殊形式处理：小数化为分数、带分数化为假分数后再化简； 验证标准：化简后根号内无分母、无平方数因数（如4、9、16等）。 【例题3】.（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的判定，关键是明确最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 选项B：，被开方数是完全平方式，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数不含分母，且无法分解为能开得尽方的因式，是最简二次根式； 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A.被开方数是小数，不是最简二次根式，故不符合题意； B.被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； C. ，被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式，故不符合题意； D.被开方数不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式，故符合题意． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·山西太原·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键．判断每个选项是否满足最简二次根式的条件：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数，且为实数二次根式. 【详解】解：∵ A. ，可化简，且为三次根式，非二次根式； B. π 为常数，非二次根式； C. 被开方数为负数，无实数解； D. 被开方数5为质数，无平方因子，符合最简二次根式. 故选：D. 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 【题型4】基于最简二次根式的参数求解 1.考点总结 核心：利用最简二次根式的定义、同类二次根式的性质、乘积为有理数的条件列关系式求参数； 常见情境：已知根式是最简二次根式、与某最简根式能合并、乘积为有理数。 2.解题技巧 最简条件型：确保被开方数无分母、无平方因数，如3m是最简根式，则3m无平方因数（m可取1、2等）； 同类合并型：先化简已知根式（如8=22），则最简根式的被开方数需与化简后一致（如m+1中m+1=2）； 乘积有理型：最简根式相乘为有理数，需被开方数相乘是完全平方数（如a+1×8=22(a+1)，则2(a+1)是完全平方数，得a+1=2）。 【例题4】.（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此 需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子， 【详解】解：当，则，3无平方因子，故是最简二次根式 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 【提升题型】 【题型5】二次根式乘法法则的直接应用 1.考点总结 核心：运用（，）计算； 常见形式：纯数字二次根式相乘、含系数的二次根式相乘（如）。 2.解题技巧 纯数字相乘：直接将被开方数相乘，根指数不变，结果化为最简（如）； 含系数相乘：系数与系数相乘，根号部分与根号部分相乘，再合并（如）； 【例题5】.（25-26九年级上·河南南阳·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分式的乘法，二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式题5-2】.（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简二次根式，根据题意可得，据此先计算二次根式乘法，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式，和有意义， ∴， ∴ ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题关键在于对二次根式的化简能力； （1）利用二次根式的性质化简并计算即可． （2）利用二次根式的性质化简并计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型6】二次根式除法法则的直接应用 1.考点总结 核心：运用（，）计算； 常见形式：纯数字二次根式相除、含系数的二次根式相除（如）。 2.解题技巧 纯数字相除：被开方数相除后化简，或先化简再相除（如或）； 含系数相除：系数相除，根号部分相除，再化简（如）； 分母不为0：计算前先确认分母的被开方数不为0，避免无意义。 【例题6】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的除法计算．熟悉二次根式的除法计算法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则：，进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 答案为． 故选：． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·天津静海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程． 【答案】不正确．理由见解析 【分析】本题侧重考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决此题的关键． 先算括号内的，再算括号外的. 【详解】解：不正确． 理由：错用分配律，，这里应先算括号里面的，再算除法． 正确的解答过程：原式． 【培优题型】 【题型7】根号内外因式的互移 1.考点总结 核心：利用（）将根号外的非负因式移到根号内，或反之； 常见形式：根号外含字母（如）、含负数（如）。 2.解题技巧 根号外移到内：因式平方后乘入被开方数，注意因式非负（如）； 根号内移到外：提取能开得尽方的因式，开方后放到根号外（如，）； 负数处理：根号外为负数时，先将负号留在外面，再移非负部分（如）； 字母取值验证：移项前先确定字母取值范围（如需满足，再移项为）。 【例题7】.（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质（ ），熟练掌握该性质是将根号外非负因数移到根号内的关键．利用二次根式的性质（ ），将根号外的数移到根号内，通过计算判断结果． 【详解】解：要将中根号外的数移到根号内， ∵ （，符合二次根式性质 ） ∴ 故选：A ． 【变式题7-1】.（20-21八年级上·江苏南通·月考）把式子中根号外的移到根号内，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案． 【详解】∵要是根式有意义，必须， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和比较大小． （1）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算即可； （2）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①∵，，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型8】二次根式乘除的实际情境应用 1.考点总结 核心：将实际问题转化为二次根式乘除运算）； 常见情境：正方形面积与边长、摆钟周期、高空坠物时间等。 2.解题技巧 提取等量关系：根据题意列出含二次根式的算式； 单位统一：先统一题目中的单位（如米、秒），再进行运算； 结果贴合实际：根据实际意义取近似值或保留最简根式（如长度保留一位小数，无特殊要求则保留最简）。 【例题8】.（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出p，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解； （2）作于D，则，设，则，由勾股定理得出，求出x的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； ； （2）如图：作于D，则， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)， ，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，) 【思考填空】 （1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”) 【实践与计算】 （2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 【答案】（1）长，慢；（2）该摆钟1分钟发出43次“滴答”声；（3）该摆钟的摆长为0.25米 【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解，审清题意并根据题意正确列式和方程是解题的关键． （1）根据即可判断； （2）将代入计算求出T，即可得解； （3）令求出l即可． 【详解】解：（1）令， ∵g>0， ∴， ∴， ∴， 即， ∴摆线越长，周期越长，摆得越慢， 故答案为：长，慢； （2）将代入得：， ∴该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数约为：(次)， 答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声； （3）令，即， 解得：． 答：该摆钟的摆长为0.25米． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8米/秒），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时： ， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广西贵港·期中）综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 【答案】（1）①和的值分别为9和；②；（2）推导见解析 【分析】本题考查代数式代入求值，二次根式的运算，因式分解，掌握相关知识是解决问题即可． （1）①运用海伦公式代入数据计算即可；②运用秦九韶公式代入数据计算即可； （2）对秦九韶公式利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解，然后将代入变形即可． 【详解】解（1）①， ； ② ； （2） ． 同步练习 一、单选题 1．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 2．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项． 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长． 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，掌握好最简二次根式的定义是关键． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，同时选项必须是二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：对于A，，可化简为有理数，不是最简二次根式； 对于B，，可化简，不是最简二次根式； 对于C，，被开方数5是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式； 对于D，是立方根，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 4．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 5．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根，二次根式的乘法，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次根式的性质，立方根的性质，二次根式的乘法公式逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：∵ 中，即， ∴， ∴ A选项错误； 对于选项B：∵ ， ∴ B正确； 对于选项C：∵ 中，且和分别要求、， ∴当且仅当且时，成立， ∴ C选项错误； 对于选项D：∵ 是一个值，而表示两个值， ∴ D选项错误． 因此，等式一定成立的是B， 故选：B． 二、填空题 6．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 【详解】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 7．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意可知: ． 故答案为：． 8．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】先化简除式中的根式，再转化为乘法，最后有理化分母； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式= 故答案为：． 9．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 10．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键． 先根据互为相反数的两个数和为列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于的方程，求解出的值，最后代入式子计算结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 三、解答题 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 12．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算及化简，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再计算二次根式的乘法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得，， 原式． 13．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【详解】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 14．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法应用，熟练掌握该知识点是关键． 先求出的值，再利用海伦公式求解即可． 【详解】解：，，， ， ． 故张大爷这块菜地的面积为． 15．已知，满足等式，求： (1)，的值． (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出关于m的不等式组，求解得到m的值，再代入等式求出n； （2）将（1）中得到的的值代入式子，利用二次根式的乘法法则化简计算． 【详解】（1）解：由题意，得： 解得． 将代入等式， 得． （2）解：由（1）可知，，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与二次根式的乘法运算，掌握二次根式的被开方数非负以确定字母取值，及二次根式的乘法法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.2 二次根式的乘法与除法 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.二次根式乘法法则（，，） 1.直接运用法则进行计算； 2.逆用法则化简二次根式； 3.含系数的二次根式乘法运算（如） 1.忽略法则成立条件（、非负），直接对负数应用； 2.含系数时，漏将系数相乘或错把系数代入根号内； 3.结果未化为最简二次根式 2.二次根式除法法则（，，） 1.直接运用法则进行计算； 2.逆用法则化简含分母的二次根式； 3.含系数的二次根式除法运算（如） 1.忽略分母的条件，未排除的情况； 2.除式为分数时，未先转化为乘法再计算； 3.结果分母含根号，未进行有理化 3.积与商的算术平方根 1.化简含因数分解的二次根式（如）； 2.化简含分数或小数的二次根式（如） 1.分解因数不彻底，遗漏能开得尽方的因式； 2.逆用公式时，将负数纳入根号内（如错写为）； 3.小数未化为分数直接化简 4.最简二次根式（不含分母、不含能开得尽方的因数/因式） 1.识别最简二次根式； 2.将普通二次根式化为最简二次根式； 3.结合最简二次根式求字母取值 1.误将含分母的根式当作最简（如）； 2.遗漏被开方数中能开得尽方的因式（如未化简为）； 3.化简后分母仍含根号 5.二次根式乘除混合运算 1.同级运算的顺序应用； 2.含符号的混合运算； 3.与整式、分式结合的混合运算 1.运算顺序错误（先乘除后加减混淆，或同级运算从右往左）； 2.符号判断失误（负号漏乘或多乘）； 3.未统一形式就运算（带分数未化为假分数） 【易错题型】 【题型1】二次根式乘除混合运算的顺序与符号错误 1.易错点总结 运算顺序颠倒：同级运算未按“从左到右”进行，先算后面的乘除再算前面的（如错算为）； 符号处理失误：负号未随运算传递，或多个负号相乘时符号判断错误（如错算为）； 带分数未转化：直接用带分数进行乘除，未化为假分数（如错算为）。 2.纠错技巧 标记运算顺序：同级运算用箭头标注“从左到右”，遇括号先算括号内，无括号不随意添加； 符号单独运算：先确定所有系数的符号（负号个数为奇数则结果为负，偶数为正），再计算数值部分； 统一形式再运算：带分数化为假分数、小数化为分数，避免混合形式导致失误。 【基础题型】 【题型2】最简二次根式的识别与判断 1.考点总结 核心：依据最简二次根式的两个条件判断（①不含分母；②不含能开得尽方的因数/因式）； 常见形式：区分普通根式与最简根式（如与、与）。 2.解题技巧 两步判断法：第一步看被开方数是否含分母（含则不是）；第二步看是否含平方数因数（如4、9、16等，含则不是）； 反例验证：若不是最简根式，尝试化简后再判断（如化简为，则原根式不是最简）； 关键字标注：圈出“分母”“平方因数”，快速排除非最简根式。 【例题2】.（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·广东茂名·月考）将二次根式化为最简二次根式 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3】最简二次根式的判定与识别 1.考点总结 核心：满足两个条件——被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数/因式； 常见形式：含分数、小数、多项式的二次根式（如、、）。 2.解题技巧 分步化简：①分母有理化（如）；②分解因数/因式（如）；③开方移项（能开尽方的因数/因式移到根号外，如）； 特殊形式处理：小数化为分数、带分数化为假分数后再化简； 验证标准：化简后根号内无分母、无平方数因数（如4、9、16等）。 【例题3】.（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·山西太原·月考）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是 （填序号）． 【题型4】基于最简二次根式的参数求解 1.考点总结 核心：利用最简二次根式的定义、同类二次根式的性质、乘积为有理数的条件列关系式求参数； 常见情境：已知根式是最简二次根式、与某最简根式能合并、乘积为有理数。 2.解题技巧 最简条件型：确保被开方数无分母、无平方因数，如3m是最简根式，则3m无平方因数（m可取1、2等）； 同类合并型：先化简已知根式（如8=22），则最简根式的被开方数需与化简后一致（如m+1中m+1=2）； 乘积有理型：最简根式相乘为有理数，需被开方数相乘是完全平方数（如a+1×8=22(a+1)，则2(a+1)是完全平方数，得a+1=2）。 【例题4】.（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若最简二次根式和乘积是有理数，则 ． 【提升题型】 【题型5】二次根式乘法法则的直接应用 1.考点总结 核心：运用（，）计算； 常见形式：纯数字二次根式相乘、含系数的二次根式相乘（如）。 2.解题技巧 纯数字相乘：直接将被开方数相乘，根指数不变，结果化为最简（如）； 含系数相乘：系数与系数相乘，根号部分与根号部分相乘，再合并（如）； 【例题5】.（25-26九年级上·河南南阳·月考）计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算： (1) (2) 【变式题5-2】.（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1) (2) 【题型6】二次根式除法法则的直接应用 1.考点总结 核心：运用（，）计算； 常见形式：纯数字二次根式相除、含系数的二次根式相除（如）。 2.解题技巧 纯数字相除：被开方数相除后化简，或先化简再相除（如或）； 含系数相除：系数相除，根号部分相除，再化简（如）； 分母不为0：计算前先确认分母的被开方数不为0，避免无意义。 【例题6】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）计算：（   ）. A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·天津静海·月考）计算： ． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式． 上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程． 【培优题型】 【题型7】根号内外因式的互移 1.考点总结 核心：利用（）将根号外的非负因式移到根号内，或反之； 常见形式：根号外含字母（如）、含负数（如）。 2.解题技巧 根号外移到内：因式平方后乘入被开方数，注意因式非负（如）； 根号内移到外：提取能开得尽方的因式，开方后放到根号外（如，）； 负数处理：根号外为负数时，先将负号留在外面，再移非负部分（如）； 字母取值验证：移项前先确定字母取值范围（如需满足，再移项为）。 【例题7】.（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（20-21八年级上·江苏南通·月考）把式子中根号外的移到根号内，结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 【题型8】二次根式乘除的实际情境应用 1.考点总结 核心：将实际问题转化为二次根式乘除运算）； 常见情境：正方形面积与边长、摆钟周期、高空坠物时间等。 2.解题技巧 提取等量关系：根据题意列出含二次根式的算式； 单位统一：先统一题目中的单位（如米、秒），再进行运算； 结果贴合实际：根据实际意义取近似值或保留最简根式（如长度保留一位小数，无特殊要求则保留最简）。 【例题8】.（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【变式题8-1】.（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)， ，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，) 【思考填空】 （1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”) 【实践与计算】 （2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8米/秒），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·广西贵港·期中）综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 同步练习 一、单选题 1．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 2．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 4．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 7．化简： ． 8．计算的结果为 ． 9．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 10．若与互为相反数，则的值为 ． 三、解答题 11．计算：． 12．化简： (1)； (2)． 13．如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 14．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 15．已知，满足等式，求： (1)，的值． (2)的值． 学科网（北京）股份有限公司 $