专题19.1 二次根式及其性质（6大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，系统梳理从定义（形如√a的式子）、有意义条件（被开方数非负）、非负性，到性质1（(√a)²=a）、性质2（√a²=|a|）及综合应用的递进学习支架，覆盖概念辨析、字母取值范围、非负性应用等关键内容。 该资料以高频易错点为导向，通过“两步判断法”“三步走化简”等解题技巧培养学生抽象能力与推理意识，题型分层（基础到培优）适配不同学习需求，同步练习结合实例强化应用意识，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺。

专题19.1 二次根式及其性质 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.二次根式的定义（形如的式子） 1.判断代数式是否为二次根式； 2.结合代数式分类辨析二次根式； 3.根据定义初步确定字母取值范围 1.忽略“带二次根号+被开方数非负”双重要求； 2.混淆“二次根式”与“三次根式”“整式”概念； 3.误将含字母的被开方数局部非负当作整体非负 2.二次根式有意义的条件（） 1.求单个二次根式中字母的取值范围；2.求多个二次根式组合式中字母的取值范围； 3.求二次根式与分式、零次幂结合式中字母的取值范围 1.仅考虑被开方数非负，忽略分母不为0； 2.漏看零次幂底数不为0的叠加条件； 3.被开方数为多项式时不会整体分析非负性 3.二次根式的非负性（） 1.利用非负性判断代数式取值范围； 2.结合、的非负性求值； 3.利用非负性解决最值问题 1.仅关注被开方数非负，忽略本身非负； 2.多个非负数和为0时漏看某一非负形式； 3.求最值时错误判断二次根式增减性 4.性质1： 1.直接利用性质计算； 2.化简含字母的代数式； 3.逆用性质将非负数写成平方形式 1.忽略的适用条件，对套用； 2.逆用时常忘记加二次根号； 3.含字母时未先判断取值范围就化简 5.性质2： 1.化简具体数值的二次根式； 2.化简含字母的二次根式； 3.结合绝对值性质比较大小 1.直接化简为，忽略“先平方再开方得绝对值”； 2.未判断字母正负就去绝对值； 3.混淆与性质1的适用条件 6.性质综合应用 1.混合化简计算； 2.代数式求值； 3.结合几何、实际场景综合推理 1.混合运用性质时混淆适用场景； 2.化简过程遗漏字母取值范围判断； 3.不会分步拆解综合条件 【易错题型】 【题型1】二次根式有意义条件与非负性的混合易错问题 1.易错点总结 忽略分式分母不为0的叠加条件（如中漏看）； 多个非负数和为0时，漏看某一非负形式（如中忽略）； 误用性质2时，未先判断字母正负（如直接将化简为，忽略的情况）。 2.纠错技巧 分步列条件：先列每个二次根式的被开方数，再列分式分母、零指数幂底数，最后联立不等式（组）求解； 牢记三大非负数：、、，若它们的和为0，则每个非负数均为0； 化简时，先写绝对值形式，再根据题干条件（如数轴、不等式）判断的正负，最后去绝对值。 【例题1】.（25-26九年级上·海南儋州·期末）化简： ． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·山东日照·月考）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式题1-2】.（2025-2026学年上期期末教学质量检测八年级数学）使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式题1-3】.（25-26八年级上·海南海口·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 【基础题型】 【题型2】二次根式的概念辨析 1.考点总结 核心：判断式子是否满足“形式+”； 2.解题技巧 两步判断法：第一步看是否含二次根号（根指数为2，可省略）；第二步看被开方数是否恒非负或满足非负条件； 排除法：先排除三次根式（）、不含根号的式子，再排除被开方数可能为负的式子； 关键词标注：圈出“二次根号”“被开方数”，避免概念混淆。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-3】.（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【题型3】求二次根式中字母的取值范围 1.考点总结 单个二次根式：直接列被开方数； 多个二次根式组合：列所有被开方数a，求不等式组的解； 二次根式+分式组合：被开方数且分母。 2.解题技巧 列不等式（组）：按“每个二次根式有意义+其他式子有意义”列条件； 解不等式：注意移项、系数化为1时的符号变化（如解得）； 数轴表示辅助：复杂取值范围可借助数轴直观呈现，避免出错。 【例题3】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）若有意义，那么满足的条件是 ． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）二次根式中x的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【变式题3-2】.（2025八年级上·重庆·专题练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·河南信阳·月考）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【提升题型】 【题型4】二次根式非负性的应用 1.考点总结 核心性质：、、，三者和为0则每一项均为0； 常见考法：求字母值、代数式的值、最值问题。 2.解题技巧 构造方程组：若，则； 最值分析：当取最小值0时，含的代数式取得最值（如的最小值为3）； 验证步骤：求出字母值后，代入原式子验证非负性是否成立。 【例题4】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）若，则 ． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知，那么的值为 ． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 【题型5】的化简与应用（含字母式子） 1.考点总结 核心：，再根据的正负去绝对值； 常见形式：（需判断的正负）。 2.解题技巧 三步走：第一步化为绝对值；第二步判断（或代数式）的正负；第三步去绝对值（正不变，负变号）； 符号判断方法：借助数轴、已知条件（如则）、平方数非负性； 易错提醒：切勿直接化简为，必须先判断符号。 【例题5】.（25-26八年级上·上海杨浦·月考） ． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·山东济南·期中）下列说法错误的个数是（   ） ①无理数都是无限小数； ②的平方根是； ③是81的一个平方根 ④； ⑤有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题5-2】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）对于， (1)若，化简这个式子． (2)当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围为 ． 【题型6】结合数轴化简二次根式（数形结合） 1.考点总结 核心：利用数轴确定字母的正负、字母间的大小关系； 关键：将转化为，再结合数轴去绝对值。 2.解题技巧 数轴信息提取：标注原点、字母对应点的位置，判断或，以及、等代数式的符号； 分步化简：先化简每个二次根式为绝对值，再去绝对值，最后合并同类项； 【例题6】.（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 故答案为： 【培优题型】 【题型7】结合三角形三边关系化简二次根式 1.考点总结 核心：利用“三角形两边之和大于第三边”判断代数式的正负； 形式：（、、为三角形三边）。 2.解题技巧 三边关系转化：由得，由得； 化简步骤：先将二次根式化为绝对值，再根据三边关系判断符号，最后去绝对值化简； 验证：化简后结果需符合线段长度非负的实际意义。 【例题7】.（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·周测）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【题型8】复合二次根式的化简（配方法） 1.考点总结 核心：将化为（其中，）； 关键：拆分为两个非负数的平方和，且乘积为。 2.解题技巧 配方法步骤：①将被开方数整理为“”形式；②化为完全平方；③开方得（因结果非负，直接取正）； 示例：； 易错提醒：拆分时需保证、为最简二次根式或有理数。 【例题8】.（2025九年级下·上海·专题练习）化简： ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 同步练习 一、单选题 1．式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．6 2．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．当时，化简： ． 7．若有意义，则x的取值范围为 ． 8．已知，是实数，且满足，则的值为 ． 9．实数x、y满足，则yx＝ ． 10．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 三、解答题 11．计算：． 12．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 13．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 14．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 15．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19.1 二次根式及其性质 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.二次根式的定义（形如的式子） 1.判断代数式是否为二次根式； 2.结合代数式分类辨析二次根式； 3.根据定义初步确定字母取值范围 1.忽略“带二次根号+被开方数非负”双重要求； 2.混淆“二次根式”与“三次根式”“整式”概念； 3.误将含字母的被开方数局部非负当作整体非负 2.二次根式有意义的条件（） 1.求单个二次根式中字母的取值范围；2.求多个二次根式组合式中字母的取值范围； 3.求二次根式与分式、零次幂结合式中字母的取值范围 1.仅考虑被开方数非负，忽略分母不为0； 2.漏看零次幂底数不为0的叠加条件； 3.被开方数为多项式时不会整体分析非负性 3.二次根式的非负性（） 1.利用非负性判断代数式取值范围； 2.结合、的非负性求值； 3.利用非负性解决最值问题 1.仅关注被开方数非负，忽略本身非负； 2.多个非负数和为0时漏看某一非负形式； 3.求最值时错误判断二次根式增减性 4.性质1： 1.直接利用性质计算； 2.化简含字母的代数式； 3.逆用性质将非负数写成平方形式 1.忽略的适用条件，对套用； 2.逆用时常忘记加二次根号； 3.含字母时未先判断取值范围就化简 5.性质2： 1.化简具体数值的二次根式； 2.化简含字母的二次根式； 3.结合绝对值性质比较大小 1.直接化简为，忽略“先平方再开方得绝对值”； 2.未判断字母正负就去绝对值； 3.混淆与性质1的适用条件 6.性质综合应用 1.混合化简计算； 2.代数式求值； 3.结合几何、实际场景综合推理 1.混合运用性质时混淆适用场景； 2.化简过程遗漏字母取值范围判断； 3.不会分步拆解综合条件 【易错题型】 【题型1】二次根式有意义条件与非负性的混合易错问题 1.易错点总结 忽略分式分母不为0的叠加条件（如中漏看）； 多个非负数和为0时，漏看某一非负形式（如中忽略）； 误用性质2时，未先判断字母正负（如直接将化简为，忽略的情况）。 2.纠错技巧 分步列条件：先列每个二次根式的被开方数，再列分式分母、零指数幂底数，最后联立不等式（组）求解； 牢记三大非负数：、、，若它们的和为0，则每个非负数均为0； 化简时，先写绝对值形式，再根据题干条件（如数轴、不等式）判断的正负，最后去绝对值。 【例题1】.（25-26九年级上·海南儋州·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质，判断的符号后求绝对值即可 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·山东日照·月考）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 【变式题1-2】.（2025-2026学年上期期末教学质量检测八年级数学）使代数式有意义的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】解：∵分母， ∴， ∵被开方数， ∴， ∴且． 故选D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·海南海口·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据绝对值、平方及算术平方根的非负性可得，求出的值再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【基础题型】 【题型2】二次根式的概念辨析 1.考点总结 核心：判断式子是否满足“形式+”； 2.解题技巧 两步判断法：第一步看是否含二次根号（根指数为2，可省略）；第二步看被开方数是否恒非负或满足非负条件； 排除法：先排除三次根式（）、不含根号的式子，再排除被开方数可能为负的式子； 关键词标注：圈出“二次根号”“被开方数”，避免概念混淆。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 【变式题2-2】.（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【变式题2-3】.（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数． 对于A：被开方数为，不符合； 对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式； 对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式． ∴ 只有C一定是二次根式． 故选：C． 【题型3】求二次根式中字母的取值范围 1.考点总结 单个二次根式：直接列被开方数； 多个二次根式组合：列所有被开方数a，求不等式组的解； 二次根式+分式组合：被开方数且分母。 2.解题技巧 列不等式（组）：按“每个二次根式有意义+其他式子有意义”列条件； 解不等式：注意移项、系数化为1时的符号变化（如解得）； 数轴表示辅助：复杂取值范围可借助数轴直观呈现，避免出错。 【例题3】.（25-26八年级上·上海闵行·月考）若有意义，那么满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得满足的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴． 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）二次根式中x的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是关键．二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，据此求解即可． 【详解】解：二次根式 有意义的条件是， ， 因此，x的取值范围是． 故选：A． 【变式题3-2】.（2025八年级上·重庆·专题练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，则分母不为0，二次根式有意义，则被开方数非负．据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，且 解得， 故选：A． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·河南信阳·月考）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟记分母不为0，被开方数为非负数是解本题的关键． 根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，， ∴且． 故答案为：且． 【提升题型】 【题型4】二次根式非负性的应用 1.考点总结 核心性质：、、，三者和为0则每一项均为0； 常见考法：求字母值、代数式的值、最值问题。 2.解题技巧 构造方程组：若，则； 最值分析：当取最小值0时，含的代数式取得最值（如的最小值为3）； 验证步骤：求出字母值后，代入原式子验证非负性是否成立。 【例题4】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，根据算术平方根以及绝对值的非负性计算得出，，代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值，根据非负数的性质：平方项和算术平方根均非负，和为零则每个部分为零，由此求出a和b的值，再计算代数式的值． 【详解】解：因为，，且， 所以，． 由，得，即； 由，得，即． 因此， 所以． 故答案为：． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据非负性解得x、y的值，再计算． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则．先根据二次根式的非负性得出，解之求得、的值，再代入计算可得． 【详解】解：， ， 解得， ． 【题型5】的化简与应用（含字母式子） 1.考点总结 核心：，再根据的正负去绝对值； 常见形式：（需判断的正负）。 2.解题技巧 三步走：第一步化为绝对值；第二步判断（或代数式）的正负；第三步去绝对值（正不变，负变号）； 符号判断方法：借助数轴、已知条件（如则）、平方数非负性； 易错提醒：切勿直接化简为，必须先判断符号。 【例题5】.（25-26八年级上·上海杨浦·月考） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·山东济南·期中）下列说法错误的个数是（   ） ①无理数都是无限小数； ②的平方根是； ③是81的一个平方根 ④； ⑤有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数，平方根，二次根式的性质，实数与数轴，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：无限不循环小数是无理数，故无理数都是无限小数；故①正确； 的平方根是；故②错误； 是81的一个平方根；故③正确； 中， ，故；故④正确； 实数与数轴上的点一一对应；故⑤错误； 故选C． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·浙江·假期作业）对于， (1)若，化简这个式子． (2)当a是什么取值范围时，原式的值与a的取值无关，并求出原式的值． 【答案】(1) (2)当时，原式的值与a无关，原式始终等于 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据进行化简，即可作答． （2）先进行分类讨论，得出当时，原式的值与a无关，原式始终等于，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∵， ； （2）解：∵， ∴ ∴ 依题意，当时， ， ； 当时， ； 综上：当时，原式的值与a无关，原式始终等于． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，可知，结合已知等式可转化为绝对值不等式求解． 【详解】解：由二次根式的性质，得： ． 已知， ∴． 根据绝对值的非负性，的条件是， ∴． 解不等式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，解题关键是利用将等式转化为绝对值不等式，再根据绝对值的定义确定变量的取值范围． 【题型6】结合数轴化简二次根式（数形结合） 1.考点总结 核心：利用数轴确定字母的正负、字母间的大小关系； 关键：将转化为，再结合数轴去绝对值。 2.解题技巧 数轴信息提取：标注原点、字母对应点的位置，判断或，以及、等代数式的符号； 分步化简：先化简每个二次根式为绝对值，再去绝对值，最后合并同类项； 【例题6】.（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与绝对值的化简，掌握根据数轴确定字母的取值范围，进而判断式子的正负，再利用和绝对值的化简规则进行计算是解题的关键． 先从数轴确定的取值范围，再判断根号内式子与绝对值内式子的正负，利用二次根式和绝对值的化简规则去掉符号，最后合并同类项． 【详解】解：由图可知，，， ，，， 原式 ． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，数轴，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据、、在数轴上对应点的位置，确定相关算式的正负，利用立方根，算术平方根，绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵有理数、、在数轴上的对应点如图， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 【培优题型】 【题型7】结合三角形三边关系化简二次根式 1.考点总结 核心：利用“三角形两边之和大于第三边”判断代数式的正负； 形式：（、、为三角形三边）。 2.解题技巧 三边关系转化：由得，由得； 化简步骤：先将二次根式化为绝对值，再根据三边关系判断符号，最后去绝对值化简； 验证：化简后结果需符合线段长度非负的实际意义。 【例题7】.（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·周测）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键． 先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简． 【详解】解：由三角形的三边关系，得， ，， 原式 ． 【题型8】复合二次根式的化简（配方法） 1.考点总结 核心：将化为（其中，）； 关键：拆分为两个非负数的平方和，且乘积为。 2.解题技巧 配方法步骤：①将被开方数整理为“”形式；②化为完全平方；③开方得（因结果非负，直接取正）； 示例：； 易错提醒：拆分时需保证、为最简二次根式或有理数。 【例题8】.（2025九年级下·上海·专题练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，先计算零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 同步练习 一、单选题 1．式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负．据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，即 ． 选项 A．，B．，C．，均不满足； 选项D． ，满足． 故选D． 2．使有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，二次根式的性质，据此相关性质内容进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的运算，需要依次对每个选项进行分析，判断其运算过程是否正确； 本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式相关内容是解题的关键. 【详解】解： 选项A， 在实数范围内无意义，A错误； 选项B，， ，  B正确； 选项C， ， ，  C错误； 选项D，表示0.25的算术平方根，则 ， 不应有负值， D错误； 故选：B. 5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 二、填空题 6．当时，化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简．先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 7．若有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 8．已知，是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义条件，确定的值，进而求出的值，然后计算的值即可． 【详解】解：由二次根式有意义条件， 得 解得， 当时，． ∴． 故答案为：1． 9．实数x、y满足，则yx＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组，二次根式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算即可． 【详解】解：由有意义，得 ，即， 解得， ∴． 则． 故答案为：3． 10．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间的距离公式确定的值，再代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可； （2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于、的方程，解方程求出、，继而得到的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示，且一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数，，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质，平方根的定义，掌握平方根的定义和二次根式的性质是解题关键． 13．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 14．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 15．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮  因式分解错误 (2) 【分析】（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法； （2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的， 错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号． （2）解：原式． 根据二次根式性质，已知，则，故： 代入化简： 原式． 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简． 学科网（北京）股份有限公司 $