寒假复习巩固（一）有理数 2025-2026学年人教版数学七年级上册

寒假复习巩固（一）有理数 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．数轴上的点表示的数都是有理数 B．负数的相反数大于它本身 C．有理数的绝对值一定比0大 D．两数相减，差一定小于被减数 2．数轴上点所表示的数的相反数为（   ） A． B．3 C． D． 3．在，，，0，中，有理数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列各组数的大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在数轴上的点到表示的点的距离是5，那么点表示的数是（   ） A．5 B．3 C． D．3或 6．中国古代的算筹记数中，采用“纵式”和“横式”两种摆法表示数字，记数时，个位常用纵式，之后横纵相间，并在个位数字上斜放一根算筹表示负数（类似后面的“斜划”），如：“”表示，“”表示．那么“”表示的数是（    ） A． B．211 C． D．212 7．已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 8．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 10．如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 二、填空题 11．某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“”，表示其标准质量为，上下偏差不超过就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是 ． 12．有理数、在数轴上的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 13．比较大小 ．（填“”或“”） 14．若与互为相反数，则x的值为 ． 15．已知a与b互为相反数,c与d互为倒数,m是绝对值最小的数,n是最大的负整数,则的值为 ． 16．已知方程与关于的方程的解相同．若在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，则的值为 ． 三、解答题 17．把下列各数填在相应的括号里： ，，，，，，， 正数集合{                                        }； 整数集合{ }； 分数集合{ }； 负数集合{ }． 18．如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是，点D表示的数是2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)在数轴上表示出点C，点D； (3)将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 19．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下(单位：：，，，，，，，． (1)收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程； (3)在A地东侧处有一个广告牌，小队在这次的检修中有　　次经过这个广告牌． 20．已知与互为相反数，与互为倒数，，是最大的负整数．求的值． 21．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 22．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 23．阅读材料，并完成相关问题． 小张定义了一种新的运算： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※运算的运算法则： 两数进行※运算时，同号得_______，异号得_______，并把这两个数的绝对值________．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果_________________； (2)计算：； (3)若，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假复习巩固（一）有理数 解析板 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．数轴上的点表示的数都是有理数 B．负数的相反数大于它本身 C．有理数的绝对值一定比0大 D．两数相减，差一定小于被减数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数和绝对值的定义，有理数的减法计算，根据有理数与数轴的关系可判断A；负数的相反数为正数，据此可判断B；根据0的绝对值是0可判断C；根据可判断D． 【详解】解：A、数轴上的点表示的数不一定都是有理数，故原说法错误，不符合题意； B、负数的相反数是正数，即负数的相反数大于它本身，故原说法正确，符合题意； C、有理数的绝对值不一定比0大，例如0的绝对值是0，故原说法错误，不符合题意； D、两数相减，差不一定小于被减数，例如，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．数轴上点所表示的数的相反数为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、相反数等知识点，熟练掌握数的相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，结合数轴即可求出点A表示的数的相反数． 【详解】解：由图可得，数轴上点A表示的数为， ∴数轴上点A表示的数的相反数为3． 故选：B． 3．在，，，0，中，有理数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数． 根据有理数的定义逐一判断每个数是否属于有理数即可解答． 【详解】解：∵为有理数；是分数形式为有理数； 是无限不循环小数，为无理数；0 是整数为有理数；中含有无理数π，为无理数． ∴ 有理数有3个． 故选C． 4．下列各组数的大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的大小比较．通过比较每个选项的数值大小，利用正负数的大小关系进行判断即可． 【详解】解：A、∵ ，∴ 不符合题意； B、∵，∴不符合题意； C、∵，，∴，∴符合题意； D、∵， ∴不符合题意； 故选：C． 5．在数轴上的点到表示的点的距离是5，那么点表示的数是（   ） A．5 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴； 根据数轴上两点间的距离列式计算即可． 【详解】解：∵点到表示的点的距离是5， ∴点表示的数是或 故选：D． 6．中国古代的算筹记数中，采用“纵式”和“横式”两种摆法表示数字，记数时，个位常用纵式，之后横纵相间，并在个位数字上斜放一根算筹表示负数（类似后面的“斜划”），如：“”表示，“”表示．那么“”表示的数是（    ） A． B．211 C． D．212 【答案】A 【分析】本题考查了有理数； 根据题意可知，这个数是负数，且百位是2，十位是1，个位是1，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得：“”表示的数是， 故选：A． 7．已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，和为零则每个必为零，从而求出a和b的值，再计算a的b次幂． 本题考查了有理数的非负性，乘方，熟练掌握非负性，乘方运算是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，即 ， ，即 ， ∴ ， 故选：A． 8．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，先在数轴上表示出，，然后根据数轴特点比较大小即可． 【详解】解：，在数轴上的位置，如图所示： 根据数轴可知：， 故选：B． 9．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 10．如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式、数轴和绝对值，运用数轴的性质和绝对值的性质是关键．①③根据数轴列代数式，进行加减判断即可；②④根据绝对值判断即可． 【详解】解：设相邻两点间的距离为． 若，则， ， ， 解得：． ． 故①说法正确； 若， 数的绝对值从到先大后小， 原点在中点的右边，中点的左边． 故②的说法不符合题意； 设对应，则对应，对应， 若， 即 点是原点． 故③说法正确； 若原点在，之间并且临近点时，有． 故④的说法不符合题意． 综上，正确的说法有①③． 故选：B． 二、填空题 11．某种牛奶的包装盒上的净含量标识为：“”，表示其标准质量为，上下偏差不超过就符合要求，则生产符合要求的这种牛奶的净含量最小是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键．根据净含量标识为“”，符合要求的净含量范围是标准净含量减去偏差到加上偏差，求出符合要求的净含量范围即可求解． 【详解】解：由题意，标准净含量为，允许偏差为， ，， 符合要求的净含量范围为标准净含量， 生产符合要求的牛奶的最小净含量是， 故答案为：． 12．有理数、在数轴上的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴得到，，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．比较大小 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小，比较两个负数的大小，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 14．若与互为相反数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义及解一元一次方程是关键． 根据互为相反数的两个数之和为0，列方程求解即可． 【详解】解： 与 互为相反数， ， 化简得， ． 故答案为：． 15．已知a与b互为相反数,c与d互为倒数,m是绝对值最小的数,n是最大的负整数,则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值，负整数，含乘方的有理数的混合运算，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值最小的数和最大的负整数的定义，得到，代入表达式计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数， c与d互为倒数，m是绝对值最小的数，n是最大的负整数， ∴，，，， 则． 故答案为：． 16．已知方程与关于的方程的解相同．若在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的解，相反数的几何意义，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． 先求解第一个方程得到x的值，再代入第二个方程求出a；根据数轴上的点关于原点对称的条件确定b的值，以及最大的负整数确定c的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：解方程，得， ∵方程与关于的方程的解相同， ∴将代入方程，得， 解得． ∵在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴b与a互为相反数， ∴， ∵c是最大的负整数， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．把下列各数填在相应的括号里： ，，，，，，， 正数集合{                                        }； 整数集合{ }； 分数集合{ }； 负数集合{ }． 【答案】0.275，，，；，0，，；0.275，，，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，绝对值，解题的关键是正确理解正数、整数、分数、负数的定义． 先化简，再按照正数、整数、分数、负数的定义求解即可． 【详解】解：， 正数集合{0.275，，，} 整数集合{，0，，} 分数集合{0.275，，，} 负数集合{，，} 18．如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是，点D表示的数是2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)在数轴上表示出点C，点D； (3)将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 【答案】(1)，3 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，熟知有理数与数轴的关系是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置即可得到答案； （2）根据点C和点D表示的数在数轴上描点即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得，点A表示的数为，点B表示的数为3； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由数轴可得． 19．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下(单位：：，，，，，，，． (1)收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程； (3)在A地东侧处有一个广告牌，小队在这次的检修中有　　次经过这个广告牌． 【答案】(1)收工时，小队在A地正东方，距离A地 (2)总路程为 (3)2 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加减运算的实际应用，绝对值的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将从A地出发到收工时行走记录相加，根据计算的结果和题中规定的正方向即可确定出检修小队在A地的哪一边以及距离A地的距离； （2）把记录的数的绝对值相加，求出总路程即可． （3）求出每次离A地的距离，判断即可． 【详解】（1）解：将从A地出发到收工时行走记录相加： （）， 答：收工时，小队在A地正东方，距离A地； （2）解：若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地总路程为： （）， 答：总路程为； （3）解：第一次离A地正西， ，第二次离A地正东， ，第三次离A地正东， ，第四次离A地正东，第一次经过这个广告牌； ，第五次离A地正东， ，第六次离A地正东， ，第七次离A地正东， ，第八次离A地正东，第二次经过这个广告牌． 故共2次经过这个广告牌． 故答案为：2． 20．已知与互为相反数，与互为倒数，，是最大的负整数．求的值． 【答案】4或 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质，绝对值的意义，有理数的分类，代数式求值．根据已知分别求得，，，，进而分和分别代入求值，即可求解． 【详解】解：由已知得，，，， 当时，； 当时，， 故的值是4或． 21．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)13 (2)147万件 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较表格中的数据即可确定分拣包裹数量最多的一天和最少的一天，再进行相减即可求解最多的一天比最少的一天多分拣多少； （2）先计算原计划天的分拣量，再将表格数据相加得到的和再与原计划天的分拣量相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴周六的分拣量高出原计划7万件，最多；周日的分拣量低于原计划6万件，最少； ∴最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹； （2）解：（万件） 答：该仓库本周实际一共分拣147万件包裹． 22．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及新定义“友好方程”的应用，熟练掌握一元一次方程的解法、理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解方程的解，根据“友好方程”的定义，得到方程的解是其相反数，代入该方程求解． （2）根据“友好方程”的定义，另一个解为，结合两个解的差为，分两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：解得， ∵关于的方程与方程是“友好方程”， ∴方程的解为． 将代入得， 解得； （2）解：∵两个方程是“友好方程”， ∴另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或． 23．阅读材料，并完成相关问题． 小张定义了一种新的运算： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※运算的运算法则： 两数进行※运算时，同号得_______，异号得_______，并把这两个数的绝对值________．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果_________________； (2)计算：； (3)若，求a的值． 【答案】(1)负，正，相加，都得这个数的绝对值 (2) (3) 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的加减，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义下的运算，即可解答； （2）根据新定义下的运算进行计算即可； （3）先求出，再根据两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加，得，继而推导出，即，求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果都得这个数的绝对值． 故答案为：负，正，相加，都得这个数的绝对值． （2） ． （3）∵， ∴， 根据两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加，得 ， ∴， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $