重庆市长寿区2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

重庆市长寿区2025-2026学年高一上期末检测 · 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 2．《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．函数在区间上的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 6．为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 7．已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（     ）    A．40米 B．110米 C．米 D．米 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知是实数，则下列命题为真命题的有（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的单调递增区间是； B．当时，函数的值域是； C．函数的图象关于直线对称； D．若恒成立，则. 11．已知函数，则（   ） A．的定义域为R B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在区间上单调递减 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为 . 13．已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论：①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是 . 14．已知，且，是在内的两个零点，则 ； . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 16．（15分）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (2)设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 17．（15分）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 18．（17分）定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中点为函数图象的对称中心．已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心． (1)求函数的定义域； (2)求函数图象的对称中心； (3)若当时，函数的值域恰为，求的值． 19．（17分）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上的值域为，求的取值范围； (3)若，都有，求的取值范围． 数学试卷第2页，共4页 数学试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-5．BBBCB 6-8．BAAA 9．AC 10．ACD 11．ABD 12．15 13．①③ 14． / / 15．解:（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 16．解:（1）采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量依次为， 则两次平均价格为， 又，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济. （2）由（1）知，，，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 17．解:（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为是奇函数， 所以. （2）由（1）知，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以，即， 解得， 所以不等式解集为. 18．解:（1）因为， 根据对数函数的性质可知，解得或， 所以函数的定义域为． （2）设函数图象的对称中心为，则 所以 ， 对成立，则可知， 则可知上式的分子分母成比例，则可得，解之可得， 代入，故， 所以函数图象的对称中心是点． （3）由（1）知，的定义域为， 因为或， ①若，则，可知函数单调递增， 任取，且，则，即． 则即， 所以当，复合函数在上单调递减， 又当时，的取值范围恰为，所以必有且， 解得（舍去），所以， ②若，则， 又因，所以， 同上可证复合函数在上单调递增， 则在上的取值范围应为，而为常数， 所以函数在上的值域不可能恰为，故在这种情况下，无解， 综上，． 19．解:（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得， 所以的取值范围为； （3）当时，， 所以的最大值为，最小值为0，即， ， 因为，都有， 所以， 所以，， 所以，解得. 故的取值范围为． 数学答案第4页，共4页 数学答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $