精品解析：甘肃武威第四中学等校2025-2026学年第一学期 九年级期末质量检测数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级数学期末质量检测试卷 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题四个选项中只有一个是正确的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用一元二次方程的根与系数关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴两根之和， 两根之积， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 3. 已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数大于零，据此得到，求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， 解得． 故选：C． 4. 如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 5. 如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形． 根据圆内接四边形对角互补作答即可． 【详解】解：∵在圆内接四边形中，， ∴． 故选：B． 6. 一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.30，然后根据概率公式计算出盒子中黄球的个数． 【详解】解：∵通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30， ∴估计摸到黄球的概率为0.30， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 故选：C． 7. 如图，已知是的直径，且平分弦，交于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质，由圆周角定理和垂径定理可得，，求出是等边三角形，即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，平分弦， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 8. 如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规律、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，分别求出的坐标，发现规律，根据规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形，且， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴，，，，…， ∴不难发现从第五次旋转开始，点的坐标与前面的重复了， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点的坐标与重合，坐标为． 故选：B． 9. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，对称轴为直线，可以判断，，的值，进而说明①；再根据对称轴，解答②；将点代入抛物线得，解答③；接下来结合时，，解答④；然后求出抛物线与轴的另一个交点为，根据抛物线的性质解答⑤即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ， ，则①不正确； ， ，则②正确； 将点代入抛物线得，则③正确； 当时，，即，则④正确； 抛物线与轴交于点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当或时，，则⑤正确． 正确的有个． 故选：D． 10. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交，于点，，则以下结论：①；②连接，，则；③当时，的长度最大；④当点是的中点时，四边形的面积等于．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据ASA可证，可判断①正确；求出AF＝AH，∠DFG＝∠CHG，DF＝CH，证明，可得FG＝HG，则AG垂直平分FH，可判断②正确；当AF最小时，DF最长，故可得AD⊥BC时，DF的长度最大，可判断③正确；首先可得当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，然后证明，根据进行计算，可判断④正确． 【详解】解：①∵， ∴∠B＝∠C， 由旋转得，∠BAF＝∠HAE，∠B＝∠C＝∠E， ∴（ASA），故①正确； ②连接、， ∵， ∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH， ∵∠AFB＝∠DFG，∠AHE＝∠CHG， ∴∠DFG＝∠CHG， ∵AD＝AB＝AC， ∴DF＝CH， 又∵∠DGF＝∠CGH， ∴（AAS）， ∴FG＝GH， ∴AG垂直平分FH，故②正确； ③∵DF＝AD－AF，AD是定长， ∴AF最小时，DF最长， ∴AD⊥BC时，DF的长度最大，故③正确； ④∵AD＝AE， ∴当点H是DE的中点时，有AH⊥DE， ∵AF＝AH，FG＝GH，AG＝AG， ∴（SSS）， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识，利用全等进行转化是解题的关键． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 12. 已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 13. 如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 14. 如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．过点B作轴于点G，根据点A的坐标得出，进而得出，则点B的坐标为，再根据将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则两点关于原点对称，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵为等边三角形，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵将等边三角形绕点顺时针旋转得到， ∴两点关于原点对称， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的外接圆，是的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为__________．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，掌握圆周角定理及三角形全等的判定技巧是解题关键，首先，根据是的直径，得出，然后，根据已知条件易证，得，接着，由平分，得，易证，得，进而根据已知条件可得出的长． 【详解】如答图，延长，相交于点． 是的直径， ， ． 又， ， ． 平分， ． 又， ， ， ∵， ． 故答案为． 16. 如图，是的直径，与相切，是垂直于的弦，垂足为，过点作的平行线与相交于点，若，，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质定理，平行四边形的判定和面积，解题关键是掌握以上性质． 连接，假设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理求出半径长度，根据圆的切线的性质定理得出直角，证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是垂直于的弦， ∴，， 假设圆的半径为，则， 根据勾股定理得， ， 解得， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 17. 在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得： ， 解方程：． 经检验，是方程的解， 故答案为：11． 18. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 连接，由于点为弧的中点，结合垂径定理，可证四边形为正方形，故，根据面积计算公式代入公式求值即可． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵点为弧的中点，结合垂径定理， ∴垂直平分， ∴，， 又∵折叠的性质，故，， ∴，故四边形为菱形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 【答案】 如图，和即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定各顶点绕点O顺时针旋转和后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】略 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）移项，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 则， ∴或， ∴，． 21. 某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 【答案】5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，即可确定结论． 【详解】解：设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每件该品牌毛衣应降价5元． 22. 已知二次函数，其顶点为，且图象经过． （1）求a，b，c的值： （2）若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数图象的平移，掌握待定系数法，二次函数图象平移规律是关键． （1）根据题意，得到对称轴直线为，再把点代入计算即可求解； （2）根据（1）得到抛物线解析式，结合平移规律即可求解． 【小问1详解】 解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 23. 如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∴点，点，点三点共线， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论； （2）由勾股定理可求，的长，由矩形的性质和勾股定理可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图，以的一边为直径的与其它两边，的交点分别为，，且． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 解：如图：连接， ， ， 为的直径， ， ∴， 又， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，由等弧所对的圆周角相等可得，由圆周角定理可得，即，利用可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：连接，由圆周角定理可得，由圆的相关知识以及（1）可得，根据垂径定理可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， 为的直径， ， ∵的半径为， ， ∵， ∴， 设，则， ， ， 解得：， ∴的长为． 25. 如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，交于点，    点为劣弧的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据圆周角定理及垂径定理可得，结合已知，然后根据矩形的判定与性质可得，最后由切线的判定方法可得结论； （2）连接、，根据圆周角定理可得是等边三角形，，可得，从而可得，得到，进而可得，最后由扇形面积公式可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接、，    ， ， ， 是等边三角形， ， 点为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 26. 为丰富校园文化生活，某校开展了丰富的“庆元旦·迎新年”活动，其中游戏类活动有：．成语接龙；．抢凳子；．剪纸比拼；．猜灯谜；．你画我猜．该校为了解学生对这五类游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选择一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示，根据上述信息，解决下列问题： （1）本次调查抽取的总人数是______人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为______度； （2）补全条形统计图； （3）在剪纸比拼中，甲、乙、丙、丁4名同学脱颖而出，学校决定从这4人中随机抽取2人为全校同学进行剪纸展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到甲和丁的概率． 【答案】（1）， （2） 补全条形图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）根据类游戏的人数和占比，得出总人数；根据类游戏的人数，先得出其占总体的百分数，再乘以，得出对应扇形的圆心角的度数； （2）根据总人数，算出类游戏的人数，即可补全条形统计图； （3）画出树状图进行求值即可． 【小问1详解】 解：根据类游戏的人数和占比，得出总人数为人； 类游戏的占比为， ∴其对应的扇形的圆心角为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：类游戏的人数为人 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丁两名同学的结果有2种， 所以恰好抽到甲、丁两名同学的概率为． 27. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点． （1）求二次函数的解析式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值． 【答案】（1）； （2） 不存在实数m使得，理由如下： 为二次函数图象上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得； （3）的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数解析式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的解析式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立； （3）求解出直线的函数解析式，作轴于点，则，求得，设点P的坐标为，用含的函数解析式表示出，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作轴于点，则， ∵对于二次函数， ∴令，则， 点C的坐标为， 设直线对应函数的解析式为， 由题意，得， 解得， 直线对应函数的解析式为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期末质量检测试卷 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题四个选项中只有一个是正确的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 5. 如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，已知是的直径，且平分弦，交于点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在正方形中，顶点，，，在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交，于点，，则以下结论：①；②连接，，则；③当时，的长度最大；④当点是的中点时，四边形的面积等于．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 12. 已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 13. 如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 14. 如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第一象限．若再将等边三角形绕点顺时针旋转得到，则点的坐标为________． 15. 如图，是的外接圆，是的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为__________．  16. 如图，是的直径，与相切，是垂直于的弦，垂足为，过点作的平行线与相交于点，若，，则四边形的面积为_____． 17. 在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 18. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（共66分） 19. 在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 21. 某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 22. 已知二次函数，其顶点为，且图象经过． （1）求a，b，c的值： （2）若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 23. 如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 如图，以的一边为直径的与其它两边，的交点分别为，，且． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 25. 如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 26. 为丰富校园文化生活，某校开展了丰富的“庆元旦·迎新年”活动，其中游戏类活动有：．成语接龙；．抢凳子；．剪纸比拼；．猜灯谜；．你画我猜．该校为了解学生对这五类游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选择一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示，根据上述信息，解决下列问题： （1）本次调查抽取的总人数是______人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为______度； （2）补全条形统计图； （3）在剪纸比拼中，甲、乙、丙、丁4名同学脱颖而出，学校决定从这4人中随机抽取2人为全校同学进行剪纸展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到甲和丁的概率． 27. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点． （1）求二次函数的解析式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $