精品解析：四川乐山市市中区2025一2026学年 上期期末教学质量监测考试 九年级数学

乐山市市中区2025-2026学年度上期期末教学质量监测考试 九年级数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放天气预报 B. 在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C. 今年的除夕夜会下雪 D. 任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有4次 3. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么的值为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中错误的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达亿元，第三周票房收入达亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 9. 如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点A作轴于．连接，与相交于点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 10. 若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或2 D. 或2 第II卷（非选择题共120分） 注意事项： 1、考生使用黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2、作图时，可先用铅笔画线，确认后再用黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. ____． 12. 方程的解是________． 13. 已知中，，，，则___________． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 15. 如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______． 16. 如图，在正方形中，，点E在上，且，连接．将沿折叠得到，连接，则的长为______． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2）且，求的长． 20. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的，点的坐标是 ； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是 ； （3）的面积是 平方单位． 21. 打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． （1）条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 22. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 23. 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为50米，求无人机离地面的高度的长．（结果保留根号） 24. 项目式学习 项目名称：农家乐扩建与经营优化 项目背景：某数学学习小组积极帮助经营户解决就餐区域扩建和餐饮定价问题．经营户计划将现有的就餐区域扩建，以提升顾客体验．同时，为了吸引更多顾客，他计划推出特色餐饮品鉴活动，需要确定一个合适的收费标准，使每天的营业额能够有所提高． 任务一：就餐区域扩建规划 现有就餐区域是一个矩形，面积为168平方米．扩建时，经营户计划将矩形的一边增加6米，另一边增加8米，使扩建后的区域成为一个正方形．扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二：餐饮定价策略 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为200元/人时，平均每天可接待顾客50人．收费标准每降低10元，平均每天可多接待5人，如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到11250元，收费标准应确定为多少元/人？ 请你完成以上两项任务． 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 26. （1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q．则______（填“”“”或“”）； （2）将（1）中“正方形”改成“矩形”，且，，其他条件不变． ①如图2，若，求AP长． ②如图3，若BD平分．求DP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市市中区2025-2026学年度上期期末教学质量监测考试 九年级数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数 ∴本题中 移项得 系数化为1得 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放天气预报 B. 在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C. 今年的除夕夜会下雪 D. 任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有4次 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放天气预报，是随机事件，故不符合； B、在一个只装有红球的袋子里摸出黑球，是不可能事件，故符合； C、今年的除夕夜会下雪，是随机事件，故不符合； D、任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上不一定有4次，故不符合； 故选B． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和乘法公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 需要逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：∵选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，正确． ∴ 计算错误的是C． 故选：C． 4. 如果，那么的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意，设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴不妨设，， ∴， 故选：C． 5. 如图，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由，可得，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方．即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中错误的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵抛物线为， ∴ ，开口向下，故①正确； 对称轴应为 ，但②说，故②错误； 顶点坐标为 ，故③正确； ∵，对称轴， ∴ 当时，随的增大而减小，故④正确． 综上，错误的结论是②． 故选B． 7. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达亿元，第三周票房收入达亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题，根据已知条件列出方程是解题的关键． 第一周票房为初始值，第二周和第三周以相同增长率x连续增长，第三周票房是在第一周基础上增长两次，因此方程为第一周票房乘以的平方等于第三周票房，据此列出方程即可． 【详解】解：设增长率为x，且第二周、第三周连续增长， 则第二周票房为亿元，第三周票房为亿元。 可列方程：， 故选：B． 8. 如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是利用中位线定理得出的长度，结合直角三角形斜边中线性质求出，进而计算． 由D、E是、中点，得是的中位线，故；在中，E是中点，故；用减去得的长度． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E是中点， ∴． ∴． 故选：C． 9. 如图，点A在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点A作轴于．连接，与相交于点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，构建矩形是解题的关键． 过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F，得出四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，证明可得，即，即可求得矩形的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：过点B作轴于E，延长线段，交y轴于F， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点A在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ） A. 或5 B. 或5 C. 或2 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数可知二次函数开口向下，顶点为，在上有最大值为4，则区间不包含顶点，分区间在对称轴左或右两种情况讨论，分别令端点函数值为4求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴，顶点， ∵在上最大值为4，且， ∴区间不包含，即或， 当时，， 解得或， 若，即，则最大值在，令，∴， 若，则最大值在，令，∴， 综上，或5． 故选A． 第II卷（非选择题共120分） 注意事项： 1、考生使用黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2、作图时，可先用铅笔画线，确认后再用黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. ____． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的方法． 通过对方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 【详解】解：方程可因式分解为， 根据零乘积性质，得或，即或， 故答案为：． 13. 已知中，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理求出，再利用余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个角的余弦、勾股定理，解题的关键是掌握余弦函数的定义． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比 15. 如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵PQ∥y轴， ∴可设点，则， ∴， ∴当时，最大，最大值． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，，点E在上，且，连接．将沿折叠得到，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，熟练掌握折叠的性质并结合全等三角形的判定与性质、相似三角形相似比是解决问题的关键．过点F作交，于点G，H，由翻折可知：，，，证明，可得，所以，解得，，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点F作交，于点G，H， 在正方形中，， ∴，， ∵，， ∴， 由翻折可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据绝对值意义，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得， 即或， ，． 19. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用两组对角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据，得，再把数值代入计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴． 20. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的，点的坐标是 ； （2）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是 ； （3）的面积是 平方单位． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． （1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）根据勾股定理及其逆定理得出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得出的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标是 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标是 故答案为：． 【小问3详解】 ∵，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴的面积是：（平方单位）． 故答案为：． 21. 打造书香文化，培养阅读习惯．某中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类；B：文学类；C：政史类；D：艺术类；E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 根据图中信息，请解答下列问题． （1）条形统计图中的______，文学类书籍对应的扇形圆心角的度数是_______． （2）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18； （2） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． （1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m， 360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：调查总人数（名）， ∴（名）， 文学类书籍对应的扇形圆心角的度数， 故答案为：18； ． 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，B） （B，C） （B，D） C （C，B） （C，C） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 22. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 【答案】（1） 利用描点法画出函数图象如下： （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可； （2）利用待定系数法，将、、代入，即可求出函数解析式； （3）①找出函数图象位于x轴上方时，x的取值范围即可； ②由函数图象可知，当时的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由表格可知，将、、代入，得 ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问3详解】 由二次函数图象可知， ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握描点法画函数图象和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 23. 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为50米，求无人机离地面的高度的长．（结果保留根号） 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握坡度和坡比的定义是解题关键．过点作地面于点，过点作地面于点，交于点，则四边形、四边形是矩形，根据的坡度，设米，则米，从而得出米，求出米，米，再证明是等腰直角三角形，得到米，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，过点作地面于点，过点作地面于点，交于点， 四边形、四边形是矩形， ，，米，， 的坡度为 ， 设米，则米， 米， 米， ， 解得：，即米，米， 米，米， 米， ，， 是等腰直角三角形， 米， 米， 米， 即无人机离地面的高度的长为米． 24. 项目式学习 项目名称：农家乐扩建与经营优化 项目背景：某数学学习小组积极帮助经营户解决就餐区域扩建和餐饮定价问题．经营户计划将现有的就餐区域扩建，以提升顾客体验．同时，为了吸引更多顾客，他计划推出特色餐饮品鉴活动，需要确定一个合适的收费标准，使每天的营业额能够有所提高． 任务一：就餐区域扩建规划 现有就餐区域是一个矩形，面积为168平方米．扩建时，经营户计划将矩形的一边增加6米，另一边增加8米，使扩建后的区域成为一个正方形．扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二：餐饮定价策略 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为200元/人时，平均每天可接待顾客50人．收费标准每降低10元，平均每天可多接待5人，如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到11250元，收费标准应确定为多少元/人？ 请你完成以上两项任务． 【答案】正方形的边长为20米；收费标准应定为150元/人． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务一；设扩建后正方形边长为米，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解； 任务二：设：收费标准降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：任务一；设扩建后正方形边长为米， 根据题意得：， 解得：，（舍） ∵， ∴取20． 答：正方形的边长为20米． 任务二：设：收费标准降低元， 根据题意得：， 解得：，元． 答：收费标准应定为150元/人． 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 【答案】（1） （2）①且；②或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点P的坐标； （2）①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，由根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式组求解即可；②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而得到，求出的值，即可得到的值； （3）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 26. （1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q．则______（填“”“”或“”）； （2）将（1）中“正方形”改成“矩形”，且，，其他条件不变． ①如图2，若，求AP长． ②如图3，若BD平分．求DP的长． 【答案】（1）=；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形知，，结合得，证可得答案； （2）①证得，设，则，，，在中，由勾股定理得到关于的方程，解之即可； ②延长到，使，连接，设，则，由得，，，，再证得，，结合知，从而得，据此求出的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）①四边形是矩形， ． ， ． 又． ， ， 设，则， ，． 由勾股定理得，在中，， 代入得， 解得（负值舍掉）， 即． 的长为2； ②如图所示，延长到，使，连接， 设，则， ， ，， ， 则， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 即， 解得，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形和正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $