三角函数专项突破版寒假作业03与最值有关的ω的范围与最值问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版03 ——与最值有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的最值求ω的解题策略 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 二、典例讲解 例1、已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2、若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例3、已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4、已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 例5、若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 例6．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ． 小结： 解法步骤：①明确最值类型（最大值/最小值）及对应的最值条件（如正弦型最大值需）；②根据定义域，求出的范围；③确保最值条件对应的值在内，列出不等式：（最大值）或（最小值）（）；④将的边界代入不等式，解出ω的范围；⑤结合等约束，整合最终范围 技巧：若要求“在上取得最值”，则最值对应的值需落在内；若要求“仅在某点取得最值”，需结合单调性判断与最值点的唯一对应关系。 【跟踪练习03】 一、单选题 1、若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知的图象在上存在个最高点，则的范围（    ） A． B． C． D． 4．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6、已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上的值域为，则范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 11、已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是 . 14．已知函数的图象过点，且在区间上恰有三个最值点，则的最大值为 15．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为 . 16、若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是 17．函数在区间上有50个最大值，则的范围 ． 18、已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 19、若函数在区间内没有最值，则的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版03 ——与最值有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的最值求ω的解题策略 若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 二、典例讲解 例1、已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象经过点，所以，由于，则，则．由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则，所以.故选：A 例2、若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由范围求得的范围，由条件建立不等式，解得实数的取值范围. 【详解】函数，由，得， 由函数恰好有5个最大值，4个最小值，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 例3、已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值，令，结合图象， ∴，解得．故选：B． 例4、已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，在区间上的最小值为， 当时，；当时，. 则的取值范围为或.故答案为：. 例5、若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，则， 的值域为，则，解得.故答案为：. 例6．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用整体法，根据单调性可得，又在上恰好取得一次最大值，则，然后解不等式整合即可. 【详解】，又在区间上单调递增， 所以，解得，， 又在区间上恰好取得一次最大值，所以，综上，. 小结： 解法步骤：①明确最值类型（最大值/最小值）及对应的最值条件（如正弦型最大值需）；②根据定义域，求出的范围；③确保最值条件对应的值在内，列出不等式：（最大值）或（最小值）（）；④将的边界代入不等式，解出ω的范围；⑤结合等约束，整合最终范围 技巧：若要求“在上取得最值”，则最值对应的值需落在内；若要求“仅在某点取得最值”，需结合单调性判断与最值点的唯一对应关系。 【跟踪练习03】 一、单选题 1、若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，且值域为， 所以，则.故选：B. 2．函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可. 【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以所以，所以. 故选：B 3．已知的图象在上存在个最高点，则的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意列出周期应满足的条件，解得，代入周期计算公式即可解得的范围. 【详解】由题可知，解得，则， 故选：A 4．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可. 【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以最小正周期满足 所以，所以有， 故选：B 5．已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，根据对称轴可求得；根据在上有最大值可确定，得到，进而可确定最小值. 【详解】；，关于直线对称， ，结合，解得：； 当时，，在上有最大值，，解得：； 当时，取得最小值. 故选：C. 6、已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在区间上的最小值为， 当时，，则有，解得； 当时，，则有，解得， 的取值范围是. 故选：D 7．已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，根据正弦图象，得到不等式，求出答案. 【详解】，时，， 由于在区间上有最大值，没有最小值， 故，解得. 故选：A 8．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体思想，根据正弦函数的最值以及单调性，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】由，则，由题意可得，解得. 当时，令，解得，易知，则函数在上单调递增，在上单调递减，由题意可得，则，即， 化简可得，解得.综上所述，的取值范围为. 故选：A. 9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上的值域为，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论． 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象； 再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象．若在上的值域为，此时，，，，求得， 故选：A． 10．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简函数，根据在区间上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于，最后取交集. 【详解】因为，，令， 则，因为在区间上是增函数， 所以，解得， 令，因为在区间上恰好取得一次最大值， 所以，所以，所以的取值范围是. 故选：B. 11、已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．利用正弦型函数的性质的应用求出结果即可． 【详解】因为在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以，所以． 令，当时，，于是在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．由知，，，因为在上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以，解得． 答案：B. 12．已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由函数在区间上存在最值，得在取到最值，求得；再由函数在区间上具有单调性可分单调递增和单调递减两种情况得到不等式组，解不等式，综合考虑即得的取值范围. 【详解】由，可得， 由题意要使在取到最值，则需使，即； 又当时，，要使在上具有单调性， 需使，或； 由① 可得或，又，故不存在； 由② 可得或，又，故得的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 13．已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简并结合函数奇偶性求得，确定函数解析式，再根据函数的最值和零点情况，列出不等式，即可求得答案. 【详解】函数，因为该函数为奇函数， 故，又，所以，即，因为在上有2个最值点和1个零点，故，即的范围是， 故答案为： 14．已知函数的图象过点，且在区间上恰有三个最值点，则的最大值为 【答案】 【分析】利用图象上的点求出，再由正弦型函数的性质求函数的最值点，讨论在区间上有三个最值点，即可得解. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 又，∴，；由，解得， 又，即，整理得， 当，，对应；当，，对应；当，，对应； 要使在区间上有三个最值点，则当时对应的最值点应在区间内， 当时对应的最值点应在区间外或在区间端点处， 故有，解得，所以的最大值为. 15．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由图象变换可得，由正弦型函数的性质结合内恰有3个最值点，列出等式及不等式即可求出最大值. 【详解】，则.因为在区间内恰有3个最值点，根据正弦曲线的伸缩变化的特点，当满足条件且取最大值时，一定是的一个最值点，令，得. 从往左数4个最值点依次为，，，，则，解得，所以当时，取得最大值. 故答案为： 16、若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是 【答案】 【解析】函数，， 所以当时，，又在内存在最小值但无最大值， 结合图象可得，解得. 17．函数在区间上有50个最大值，则的范围 ． 【答案】 【解析】根据函数在区间上有50个最大值，由第50个和第51个最大值满足求解. 【详解】因为函数在区间上有50个最大值， 第一个最大值为： ， 第二个最大值为： ， 第三个最大值为： ， … 第50个最大值为： ， 第51个最大值为： ， 所以 ， 解得 ， 综上：的范围是. 18、已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】．由题可知，，所以，当时，，因为函数在上有最大值，无最小值，所以存在，使得 整理得，（）.因为，所以，解得. 19、若函数在区间内没有最值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答. 【详解】依题意，，函数的单调区间为， 由，而，得， 因此函数在区间上单调， 因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调， 于是，则，解得， 由，且，解得，又，从而或， 当时，得，又，即有，当时，得， 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $