第二十章勾股定理知识归纳与题型突破（十四题型）2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过知识框架系统梳理了勾股定理及其逆定理、证明方法、勾股数、应用等核心知识点，以图文结合的方式呈现定理变式、三种证明方法（邹元治证法、赵爽弦图、总统证法）及最短路径模型，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于14类分层题型设计，如“赵爽弦图”结合面积法培养推理意识，最短路径问题通过立体图形展开发展空间观念，航海问题联系实际情境提升应用意识。基础题夯实计算能力，综合题（如折叠、影响范围）锻炼问题解决能力，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第二十章勾股定理知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十四题型） 知识归纳： 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 题型突破： 题型一：利用勾股定理求边长 1．已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A． B． C． D．或 2．如图，在中，，若，则的长是（   ） A．14 B．13 C．12 D．10 3.一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 题型二：勾股定理与无理数 1.如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 2.如图，根据图中标注在点所表示的数为 ． 3．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是 ． 题型三：判断三边能否构成直角三角形 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A．6，8，10 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，9，10 2.在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 3.已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 题型四：勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 2.下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 题型五：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.如图，在中，，，，以为边作正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 题型六：勾股定理的证明 1．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 2.在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 3．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 题型七：勾股定理与网格 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 3.在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 题型八：勾股定理常见模型之赵爽弦图 1．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 3．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 题型九：用勾股定理构造图形解决问题 1.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 2.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两图孔中心B和C的距离为（　　）mm． A．120 B．135 C．30 D．150 3.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 4.如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 题型十：利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 　 　． 3.如图有一块四边形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积． 题型十一：勾股定理与折叠 1.如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 2．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 3．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．18 C．24 D．48 题型十二：航海问题 1.如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（　　）海里． A．8 B．10 C．12 D．13 2.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．    3.如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 题型十三：影响范围问题 1.如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 2.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 3.某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路的距离米，若宣讲车P周围100米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿由M到N的方向行驶． (1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传． 题型十四：最短路径问题 1.如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 2.如图，圆柱的底面周长为，高为．现要在其侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A． B． C． D． 3.一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 【答案】 第二十章勾股定理知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十四题型） 知识归纳： 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 题型突破： 题型一：利用勾股定理求边长 1．已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 2．如图，在中，，若，则的长是（   ） A．14 B．13 C．12 D．10 【答案】D 3.一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【答案】 题型二：勾股定理与无理数 1.如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 【答案】B 2.如图，根据图中标注在点所表示的数为 ． 【答案】/ 3．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是 ． 【答案】/ 题型三：判断三边能否构成直角三角形 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A．6，8，10 B．2，3，4 C．4，5，6 D．8，9，10 【答案】A 2.在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 3.已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 题型四：勾股数 1.下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 【答案】D 2.下列几组数中，勾股数有（    ） 4，5，6；       8，12，15；        9，15，17；       10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 3.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 【答案】D 题型五：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.如图，在中，，，，以为边作正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 题型六：勾股定理的证明 1．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 2.在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 【答案】C 3．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 题型七：勾股定理与网格 1.如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【答案】D 3.在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 题型八：勾股定理常见模型之赵爽弦图 1．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 3．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】675 题型九：用勾股定理构造图形解决问题 1.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C． 2.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两图孔中心B和C的距离为（　　）mm． A．120 B．135 C．30 D．150 【答案】D． 3.如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 【答案】 4.如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】 题型十：利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 　 　． 【答案】37.5m2． 3.如图有一块四边形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积． 【答案】解：连接AC， 在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52， 在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122， 而52+122＝132， 即AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACDAC•BCAD•CD 5×124×3＝24（m2）． 题型十一：勾股定理与折叠 1.如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 2．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．18 C．24 D．48 【答案】C 题型十二：航海问题 1.如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（　　）海里． A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】B． 2.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．    【答案】40 3.如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】9海里/时 【详解】解：由题意得：（海里），海里， ， 在中 ∴（海里）， ∴乙船的航速是（海里/时）， 答：乙船的航速是9海里/时． 题型十三：影响范围问题 1.如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ． 【答案】16 2.如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 3.某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路的距离米，若宣讲车P周围100米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿由M到N的方向行驶． (1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传． 【答案】(1)学校能听到宣传，见解析 (2)学校A总共能听到2分钟的宣传 【详解】（1）解：学校能听到宣传． 理由：因为学校A到公路的距离为60米米， 所以学校能听到宣传； （2）解：如图， 假设宣讲车行驶到P点学校开始听到，离开Q点后不再听到，则 米，米． 所以（米）． 所以米， 所以影响学校的时间为（分钟）． 所以学校A总共能听到2分钟的宣传． 题型十四：最短路径问题 1.如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 2.如图，圆柱的底面周长为，高为．现要在其侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $