第十五讲：等边三角形（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十四讲：等边三角形 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：等边三角形的性质 性质1:等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 性质2:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 轴对称性:等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 知识点02：等边三角形的判定 定义法:三边都相等的三角形是等边三角形 判定方法1:三个角都相等的三角形是等边三角形 判定方法2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 考点1：等边三角形的性质 【典型例题】 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 【变式训练1】 如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在等边中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．6 考点2：等边三角形的判定 【典型例题】 在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（　  　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练2】 下列条件中，不能判断是等边三角形的是（    ）． A．， B．， C． D． 考点3：等边三角形的性质和判定 【典型例题】 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（    ） A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm 【变式训练2】 如图，和均是等边三角形，，分别与，交于点M，N，有如下结论：①；②；③；其中正确结论的个数是（    ）个.    A．3 B．2 C．1 D．0 考点4：含30度的直角三角形 【典型例题】 如图，在中，，平分，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【变式训练1】 如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【变式训练2】 如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，则立柱的长度是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．等边三角形对称轴的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 3．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使 ，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定其倍比关系 二、填空题 9．如图，为等腰三角形，，点D为上一点，且，，则的长为 ． 10．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则 ． 11．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F．过点F作于点E，则的长为 ． 12．如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ． 13．如图，在中，，点B，C，D，E在同一直线上，点F在上，且，，若，则 ． 14．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 15．如图，为的角平分线，于点E，，，则的长为 ． 16．如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    三、解答题 17．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 18．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 20．如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，平分． (1)的度数为________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十四讲：等边三角形 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：等边三角形的性质 性质1:等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 性质2:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 轴对称性:等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 知识点02：等边三角形的判定 定义法:三边都相等的三角形是等边三角形 判定方法1:三个角都相等的三角形是等边三角形 判定方法2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 考点1：等边三角形的性质 【典型例题】 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A．240° B．120° C．170° D．360° 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【变式训练1】 如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练2】 如图，在等边中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由等边可得，根据可得，利用三线合一性质可得，代入数据即可解答． 【详解】解：等边， ，， ， ， ， 又， ． 故选：B． 考点2：等边三角形的判定 【典型例题】 在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题关键．根据选项所给条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，为等边三角形，不符合题意； B、，若不是的中点时，则不是等边三角形，符合题意； C、，为等边三角形，不符合题意； D、，则，为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（　  　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解． 【详解】解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0， 解得a=b，b=c， 所以，a=b=c， 所以，△ABC的形状是等边三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 【变式训练2】 下列条件中，不能判断是等边三角形的是（    ）． A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°． ∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意； B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC， ∵AB=AC，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意； C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180°−∠A−∠B=60°， ∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意； D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 考点3：等边三角形的性质和判定 【典型例题】 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出与是等腰三角形，再证明为等边三角形即可． 【详解】解：连接． ∵的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【变式训练1】 已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（    ） A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm 【答案】B 【分析】如图：：连接，再求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可解答． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式训练2】 如图，和均是等边三角形，，分别与，交于点M，N，有如下结论：①；②；③；其中正确结论的个数是（    ）个.    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③错误； 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形不等式，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 考点4：含30度的直角三角形 【典型例题】 如图，在中，，平分，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，等角对等边等知识．先求出，结合平分，求出，从而，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选B． 【变式训练1】 如图，过等边三角形的顶点A、B、C依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，以及含30度角的直角三角形的性质，根据题意可判定是等边三角形，在中利用含30度角的直角三角形的性质得，利用可判定，则，结合即可求得周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【变式训练2】 如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，则立柱的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 一、单选题 1．等边三角形对称轴的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴的条数的确定、等边三角形的性质，根据等边三角形的性质结合轴对称的相关知识点解答即可． 【详解】解：等边三角形三线合一，故等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，而等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故等边三角形对称轴的条数是3条， 故选：C． 2．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查非负性和等边三角形的判定，根据非负性得到，从而得出，即可得出结果． 【详解】解： ∴ ∴，即是等边三角形． 故选：C． 3．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 4．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 5．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使 ，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是等边三角形，得，由，得，则，所以，可判断A正确； 由是等边三角形的中线，得，而，则，可判断B正确； 由，得，可判断C正确； 由，根据垂线段最短得，所以，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故A正确，不符合题意； B、是等边三角形的中线， ，， ， 故B正确，不符合题意； C、， ， 故正确，不符合题意； D、， ， ， 故D错误，符合题意 故选：D． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，正确地求出的度数和的度数是解题的关键． 7．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形，等腰直角三角形．熟练掌握等边三角形的边角性质，等腰直角三角形的边角性质，等腰三角形角的性质，是解答此题的关键． 根据等边三角形性质可得，，，根据等腰直角三角形性质可得，，，得到，根据等腰三角形性质可得，． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定其倍比关系 【答案】B 【分析】连接、，由等边三角形的性质及角平分线的定义可得，，由垂直平分线的性质可得，，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，，可证是等边三角形，再根据等边三角形的定义即可得证． 【详解】解：连接、， ∵是等边三角形， ∴， ∵是是角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵、分别是、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、垂直平分线的性质及角平分线的定义，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定证得是等边三角形是解题的关键． 二、填空题 9．如图，为等腰三角形，，点D为上一点，且，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的性质和判定，直角三角形的特征是解题的关键；根据含的直角三角形的性质可得，再等腰三角形的性质和判定可得，即可求出的长． 【详解】解：， ，． ，， ， ， ， 故答案为：9． 10．如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到，根据三线合一得到的度数即可得到答案． 【详解】解：在等边中，， 是等边的边上的高， 平分， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F．过点F作于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质及应用，熟练掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，再由等边三角形的边长为4，得出的长． 【详解】解： ∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定．先求出，则，根据含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得，，则，由是边的中线得，根据即可求解． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ，，， ， ， 是边的中线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，在中，，点B，C，D，E在同一直线上，点F在上，且，，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 根据等边对等角得到，根据三角形外角性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角性质得到，根据，得到是等边三角形，即得． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，为的角平分线，于点E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，含的直角三角形．熟练掌握角平分线的性质定理，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵为的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作,垂足分别为M、N，先证明，得到，，再证明，，设，得到，解得，即可得到，， ，即可得到的周长为30． 【详解】解：如图，作,垂足分别为M、N．    ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 三、解答题 17．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 18．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 19．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，由三线合一求出，进而可证为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答本题的关键． 20．如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，平分． (1)的度数为________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质，，，可得，由此即可求解； （2）根据等腰三角形的“三线合一”可得，由（1）知，则，根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵是等边三角形，平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$