专题04：分数的意义和性质（解决问题讲义）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册解决问题 专题04：分数的意义和性质 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨类型：圈出关键词（如“几分之几”“最简分数”“最大”“最小”“互化”等），判断属于哪个考点。 2、忆核心知识点：调取对应考点的公式、性质或方法（如分数基本性质、最大公因数求法、通分步骤等）。 3、按步骤解题：结合题目条件，选择列举法、短除法、计算法等进行求解。 4、验证作答：检查结果是否符合题意（如是否为最简分数、是否满足实际场景），规范书写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：求一个数占另一个数几分之几 1、核心技巧 （1）核心公式：÷b=（≠0）（是被除数，b是除数） （2）推导关系：被除数=分子，除数=分母，商=分数值。 （3）应用场景：求“一个数是另一个数的几分之几”“把一些物体平均分，每份占总数的几分之几”。 2、解题步骤 （1）确定被除数和除数：“是”“占”后面的数是除数，前面的数是被除数； （2）代入公式，写成分数形式； （3）若需要，化成最简分数。 考点2：分数的基本性质的应用 1、核心技巧 （1）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （2）应用场景：分数的化简、把分数化成分母不同但大小相同的分数。 （3）关键原则：分子分母的变化必须同步，且不能乘/除以0。 2、解题步骤 （1）化简分数： ①找出分子和分母的公因数； ②分子分母同时除以公因数，直到分子分母只有公因数1。 （2）化成分母指定的分数： ①计算指定分母与原分母的倍数关系（指定分母÷原分母）； ②分子分母同时乘这个倍数，得到新分数。 考点3：用最大公因数解决实际问题 1、核心技巧 （1）最大公因数：几个数公有的因数中，最大的那个因数。 （2）求法：列举法、短除法。 （3）应用场景：“裁最大的正方形”“分最多的份数”“最长的分段长度”等，核心是平均分且无剩余。 2、解题步骤 （1）确定需要求最大公因数的几个数（如长方形的长和宽、绳子的长度等）； （2）用短除法求出这几个数的最大公因数； （3）最大公因数就是题目要求的“最大规格”“最多份数”等答案。 考点4：约分的应用 1、核心技巧 （1）约分定义：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。 （2）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。 （3）核心方法：用分子分母的最大公因数约分，一步到位最简便。 2、解题步骤 （1）找出分数分子和分母的最大公因数； （2）分子分母同时除以这个最大公因数； （3）验证：约分后的分子分母是否只有公因数1，若否，继续约分。 考点5：用最小公倍数解决实际问题 1、核心技巧 （1）最小公倍数：几个数公有的倍数中，最小的那个倍数。 （2）求法：列举法、短除法。 （3）应用场景：“再次同时出现”“至少需要多少”“刚好分完”等，核心是满足多个条件的最小数量。 2、解题步骤 （1）确定需要求最小公倍数的几个数（如周期、间隔、每份数量等）； （2）用短除法求出这几个数的最小公倍数； （3）最小公倍数就是题目要求的“最少数量”“最短时间”等答案。 考点6：通分与分数的大小比较 1、核心技巧 （1）通分定义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （2）通分方法：列举法；筛选法；分解质因数法；短除法。 （3）分数大小比较规则 ①同分母分数：分子大的分数大； ②同分子分数：分母小的分数大； ③异分母分数：先通分，再比较。 2、解题步骤 （1）通分 ①找出几个异分母分数的分母的最小公倍数（公分母）； ②把每个分数化成以最小公倍数为分母的分数。 （2）异分母分数大小比较 ①对分数进行通分，转化为同分母分数； ②比较分子大小，分子大的分数大。 考点7：分数和小数的互化 解题步骤 （1）分数化小数 ①用分子除以分母； ②除不尽时，按题目要求保留小数位数（用“四舍五入”法）。 （2）小数化分数 ①写成分母是10、100、1000……的分数（小数有几位，分母就有几个0）； ②约分成最简分数。 考点1：求一个数占另一个数几分之几 【典型例题】在长沙望城茶亭镇九峰山古驿道旁，矗立着一座别具一格的古塔——惜字塔，塔顶有株令人称奇的朴树，塔与树整体高约19米。朴树大约高7米，扎根于塔顶，历经风雨洗礼，树冠如华盖般舒展，与塔身相互映衬，形成了望城的独特景观。以数学的眼光来看，树高是塔高的几分之几？惜字塔占整个高度的几分之几？ 【练习1】在2024年巴黎奥运会上，中国代表团以40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌的优异成绩，位列金牌榜并列第一、奖牌榜第二位，创造了中国境外参加奥运会的历史最佳战绩。此次奥运会上，我国奥运健儿获得的金牌枚数是奖牌总数的几分之几？ 【练习2】一本故事书共180页，小华已经看了60页，看的页数占总页数的几分之几？ 考点2：分数的基本性质的应用 【典型例题】一天，悟空找来一个大西瓜，师父说：“把这个西瓜的分给悟空，分给悟净，分给八戒。”八戒高兴地说：“嘿嘿，还是师父最疼我，知道我能吃，所以多分些给我！”八戒说得对吗？说说你的理由。 【练习1】布置板报。 哪些栏目的版面一样大？ 【练习2】甲、乙两位师傅同做一种零件，甲师傅要用小时才能完成，乙师傅要用小时才能完成。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算方法说明理由。 考点3：用最大公因数解决实际问题 【典型例题】端午节即将到来，天鹅酒店为答谢各地游客，提前准备了一些粽子：81个白米粽，72个火腿粽，分别装到礼盒中，不能混装且每盒装的数量都相等，每盒最多装几个？ 分析与解答： （1）要每盒装的数量都相等，每盒装的数量必须是81和72的（     ）。 （2）要使每盒装的最多，那么每盒装的数量必须是81和72的（     ）。 （3）我是这样解决的： 【练习1】动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【练习2】小亮家储藏室的长方形地面长48分米，宽36分米，如果用一种边长是整分米数的正方形地砖将储藏室铺满（用的地砖必须都是整块的），至少需要多少块地砖？ 考点4：约分的认识及应用 【典型例题】小明打算为生病的妈妈配制一杯淡盐水漱口，他在200克的水里放入了2克的盐。 （1）盐占盐水的几分之几？ （2）再加入20克水，这时水占盐水的几分之几？ 【练习1】养殖场里有公鸡180只，母鸡240只，公鸡的只数是母鸡的几分之几？母鸡的只数是公鸡的几分之几？ 【练习2】北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，将100克的糯米和12克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了。在一个枣子粽中，蜜枣的质量是粽子的几分之几？ 考点5：用最小公倍数解决实际问题 【典型例题】丁丁每4天给牡丹花浇一次水，每5天给月季花浇一次水，如果6月10日丁丁给这两种花同时浇了水，那么下次给这两种花同时浇水是6月几日？ 【练习1】A大道有一排路灯，原来每相邻两盏路灯之间的距离是40m，现在改为50m。如果起点的一盏路灯不移动，那么至少隔多远又有一盏路灯不需要移动？ 【练习2】玉溪是聂耳的故乡，每年7月17日都会举行“同升国旗·同唱国歌”的活动来缅怀聂耳这位伟大的人民音乐家。学校组织同学们参与活动时，五年级报名人数若按12人一组或13人一组分组，都会剩余5人。那么五年级至少有多少人报名？ 考点6：通分与分数的大小比较 【典型例题】老师去超市购买一批圆珠笔作为奖品，同一种圆珠笔，在甲超市的标价为5元6支；在乙超市的标价为8元9支；在丙超市的标价为每支1元，买4送1。这种圆珠笔在哪家超市里卖得最便宜？在哪家超市里卖得最贵？ 【练习1】小猫、小兔和小猴进行跑步比赛，跑完同一段路程，小猫用了时，小兔用了时，小猴用了时。谁跑步的速度快？ 【练习2】水果店运进了相同数量的三种水果，一天下来，三种水果的剩余情况如下： 如果你是水果店的进货员，你应该多进哪种水果？为什么？ 考点7：分数和小数的互化 【典型例题】小明从家走到学校要花22分钟，小丽从家走到学校要花小时，如果他们的速度相等，谁家离学校近一些？ 【练习1】乐乐和园园的水杯款式相同，大小却不同。她们俩谁的水杯大？ 【练习2】编绳作为中国传统民间手工技艺，通过组合不同绳结来制作饰品，兼具装饰功能与文化功能。王奶奶把一根8米长的绳子编织成手链，第一条手链用去了3.5米，第二条手链用去了米，这根绳子还剩下多少米？ 夯实基础 1．如图，钟面上，秒针从数字“5”走到数字“8”，扫过了钟面的（     ）。 A． B． C． 2．在限速60千米的道路上，超过60千米/小时的速度就算超速。李小明的爸爸在这条道路上的行驶速度是66千米/小时，他超速（     ）。 A． B． C． 3．三（1）班女生人数占全班人数的，三（2）班女生人数占全班人数的，哪个班的女生人数多？（     ） A．三（1）班 B．三（2）班 C．无法比较 4．美术课上，李老师讲授新知识用了小时，学生讨论用了小时，学生画画用了0.3小时。（     ）用时最长。 A．讲授新知识 B．学生讨论 C．学生画画 5．“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂。”小智一家一共包了24个豆沙粽和16个火腿粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放（     ）个。 A．4 B．8 C．12 6．五（1）班的学生不超过50人，课堂上分组活动时4人一组或6人一组都刚好分完，五（1）班的学生可能是（     ）。 A．42人 B．48人 C．49人 7．甲、乙两筐苹果各24kg，从甲筐取出4kg放入乙筐，这时乙筐里的苹果比甲筐多（     ）。 A． B． C． 8．把一瓶3L的果汁平均倒成9杯，每杯是（     ）L，每杯果汁是这瓶的。 9．一根米长的绳子，用米长的标准去量，量（ ）次正好量完。 10．甲平均每秒打0.9个字，乙平均每秒打个字，（ ）打字速度快一些。 11．一辆汽车行完10千米的路程用了12分钟，它平均每分钟行全程的，每分钟行了（     ）千米。 12．聪聪和明明各买了若干本相同的笔记本，已知聪聪花了48元，明明花了36元。这些笔记本的单价最高是（ ）元。 13．小丽绕操场跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈要3分钟，妈妈跑一圈要4分钟，如果小丽和爸爸妈妈在同一起点同时起跑，至少（ ）分钟后三人在起点再次相遇。 14．将24支笔和18本练习本平均分给若干个同学。如果笔和练习本都没有剩余，且保证分到笔和练习本的同学人数相同，最多能分给（ ）名同学。 15．从学校步行回家，小英要花15分钟，小丽要花小时，小青要花0.2小时。如果她们步行的速度相同，那么（ ）家距离学校远一些。 16．五（2）班庆祝“六一”儿童节时买了35个气球，其中红气球占，这是把（ ）看作单位“1”，把它平均分成（ ）份，红气球占了（ ）份，红气球有（ ）个。 17．为庆祝“六、一”国际儿童节，学校星星合唱团需要舞蹈社团伴舞。舞蹈社团要4天排练一次，合唱团要6天排练一次，每逢两个社团同时排练的日子需要在一起合练。5月7日两个社团第一次在一起合练，6月1日演出之前的最后一次合练是5月（ ）日。 培优拔高 18．星星和周周相约去书店购物，他们带的钱数同样多。星星用全部钱数的买了文具，用剩下钱数的买了其它用品；周周用全部钱数的买了文具，用剩下钱数的买了其它用品。他们花的钱一样多吗？请你画线段图说明你的理由。 19．近年来，随着我国不断推行改革开放和一带一路发展战略，中国经济获得了空前发展。2023年《财富》世界500强排行榜，中国企业上榜142家。中国上榜企业数量占世界500强的几分之几？ 20．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 21．一桶油重40千克，第一次倒出总量的，第二次倒出的是第一次的，第一次比第二次多倒多少千克？ 22．张阿姨买了几个红灯笼，花了90元；杨叔叔也买了几个同样的红灯笼，花了105元。这种红灯笼的单价最贵是多少元？（红灯笼单价为整数） 23．从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 思维拓展 24．某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 25．一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的2倍，第三次溢出的水量是第一次的3倍。中球体积是大球体积的几分之几？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册解决问题 专题04：分数的意义和性质 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题辨类型：圈出关键词（如“几分之几”“最简分数”“最大”“最小”“互化”等），判断属于哪个考点。 2、忆核心知识点：调取对应考点的公式、性质或方法（如分数基本性质、最大公因数求法、通分步骤等）。 3、按步骤解题：结合题目条件，选择列举法、短除法、计算法等进行求解。 4、验证作答：检查结果是否符合题意（如是否为最简分数、是否满足实际场景），规范书写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：求一个数占另一个数几分之几 1、核心技巧 （1）核心公式：÷b=（≠0）（是被除数，b是除数） （2）推导关系：被除数=分子，除数=分母，商=分数值。 （3）应用场景：求“一个数是另一个数的几分之几”“把一些物体平均分，每份占总数的几分之几”。 2、解题步骤 （1）确定被除数和除数：“是”“占”后面的数是除数，前面的数是被除数； （2）代入公式，写成分数形式； （3）若需要，化成最简分数。 考点2：分数的基本性质的应用 1、核心技巧 （1）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （2）应用场景：分数的化简、把分数化成分母不同但大小相同的分数。 （3）关键原则：分子分母的变化必须同步，且不能乘/除以0。 2、解题步骤 （1）化简分数： ①找出分子和分母的公因数； ②分子分母同时除以公因数，直到分子分母只有公因数1。 （2）化成分母指定的分数： ①计算指定分母与原分母的倍数关系（指定分母÷原分母）； ②分子分母同时乘这个倍数，得到新分数。 考点3：用最大公因数解决实际问题 1、核心技巧 （1）最大公因数：几个数公有的因数中，最大的那个因数。 （2）求法：列举法、短除法。 （3）应用场景：“裁最大的正方形”“分最多的份数”“最长的分段长度”等，核心是平均分且无剩余。 2、解题步骤 （1）确定需要求最大公因数的几个数（如长方形的长和宽、绳子的长度等）； （2）用短除法求出这几个数的最大公因数； （3）最大公因数就是题目要求的“最大规格”“最多份数”等答案。 考点4：约分的应用 1、核心技巧 （1）约分定义：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。 （2）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。 （3）核心方法：用分子分母的最大公因数约分，一步到位最简便。 2、解题步骤 （1）找出分数分子和分母的最大公因数； （2）分子分母同时除以这个最大公因数； （3）验证：约分后的分子分母是否只有公因数1，若否，继续约分。 考点5：用最小公倍数解决实际问题 1、核心技巧 （1）最小公倍数：几个数公有的倍数中，最小的那个倍数。 （2）求法：列举法、短除法。 （3）应用场景：“再次同时出现”“至少需要多少”“刚好分完”等，核心是满足多个条件的最小数量。 2、解题步骤 （1）确定需要求最小公倍数的几个数（如周期、间隔、每份数量等）； （2）用短除法求出这几个数的最小公倍数； （3）最小公倍数就是题目要求的“最少数量”“最短时间”等答案。 考点6：通分与分数的大小比较 1、核心技巧 （1）通分定义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （2）通分方法：列举法；筛选法；分解质因数法；短除法。 （3）分数大小比较规则 ①同分母分数：分子大的分数大； ②同分子分数：分母小的分数大； ③异分母分数：先通分，再比较。 2、解题步骤 （1）通分 ①找出几个异分母分数的分母的最小公倍数（公分母）； ②把每个分数化成以最小公倍数为分母的分数。 （2）异分母分数大小比较 ①对分数进行通分，转化为同分母分数； ②比较分子大小，分子大的分数大。 考点7：分数和小数的互化 解题步骤 （1）分数化小数 ①用分子除以分母； ②除不尽时，按题目要求保留小数位数（用“四舍五入”法）。 （2）小数化分数 ①写成分母是10、100、1000……的分数（小数有几位，分母就有几个0）； ②约分成最简分数。 考点1：求一个数占另一个数几分之几 【典型例题】在长沙望城茶亭镇九峰山古驿道旁，矗立着一座别具一格的古塔——惜字塔，塔顶有株令人称奇的朴树，塔与树整体高约19米。朴树大约高7米，扎根于塔顶，历经风雨洗礼，树冠如华盖般舒展，与塔身相互映衬，形成了望城的独特景观。以数学的眼光来看，树高是塔高的几分之几？惜字塔占整个高度的几分之几？ 【答案】； 【分析】已知塔与树整体高约19米，朴树大约高7米，则塔高（19－7）米；用树高除以塔高，求出树高是塔高的几分之几；用惜字塔的高度除以整个高度，求出惜字塔占整个高度的几分之几。 【详解】塔高：19－7＝12（米） 7÷12＝ 12÷19＝ 答：树高是塔高的，惜字塔占整个高度的。 【练习1】在2024年巴黎奥运会上，中国代表团以40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌的优异成绩，位列金牌榜并列第一、奖牌榜第二位，创造了中国境外参加奥运会的历史最佳战绩。此次奥运会上，我国奥运健儿获得的金牌枚数是奖牌总数的几分之几？ 【答案】 【分析】根据题意，先把中国代表团获得的金牌、银牌、铜牌的枚数相加，求出奖牌总数；再用金牌枚数除以奖牌总数，求出金牌枚数是奖牌总数的几分之几。 【详解】40÷（40＋27＋24） ＝40÷91 ＝ 答：我国奥运健儿获得的金牌枚数是奖牌总数的。 【练习2】一本故事书共180页，小华已经看了60页，看的页数占总页数的几分之几？ 【答案】 【分析】已知一本故事书共180页，小华已经看了60页，求看的页数占总页数的几分之几，用看的页数÷总页数即可。 【详解】60÷180＝ 答：看的页数占总页数的。 考点2：分数的基本性质的应用 【典型例题】一天，悟空找来一个大西瓜，师父说：“把这个西瓜的分给悟空，分给悟净，分给八戒。”八戒高兴地说：“嘿嘿，还是师父最疼我，知道我能吃，所以多分些给我！”八戒说得对吗？说说你的理由。 【答案】八戒说得不对。理由见解析 【分析】要判断八戒说得对不对，需要比较三个分数的大小，根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，将分数化简后进行比较。 【详解】八戒说得不对。 理由：， 所以，三人分得一样多。 【练习1】布置板报。 哪些栏目的版面一样大？ 【答案】“知识海洋”、“生活乐园”和“科学园地”；“历史足迹”和“开心一刻” 【分析】要比较哪些栏目的版面一样大，就是要知道、、、、这些分数中，哪些分数相等。这些分数的分母不同，可以根据分数的基本性质将分数统一化成分母是20的分数，然后进行对比，找出大小相等的分数即可。 【详解】知识海洋： 生活乐园： 开心一刻： 答：“知识海洋”、“生活乐园”和“科学园地”的版面一样大，“历史足迹”和“开心一刻”的版面一样大。 【练习2】甲、乙两位师傅同做一种零件，甲师傅要用小时才能完成，乙师傅要用小时才能完成。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算方法说明理由。 【答案】小丽说的对，理由见详解 【分析】两位师傅用的时间是否一样长，要看和是否相等。根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。据此解答即可。 【详解】 所以两位师傅用的时间一样长。 答：小丽说的对。 考点3：用最大公因数解决实际问题 【典型例题】端午节即将到来，天鹅酒店为答谢各地游客，提前准备了一些粽子：81个白米粽，72个火腿粽，分别装到礼盒中，不能混装且每盒装的数量都相等，每盒最多装几个？ 分析与解答： （1）要每盒装的数量都相等，每盒装的数量必须是81和72的（     ）。 （2）要使每盒装的最多，那么每盒装的数量必须是81和72的（     ）。 （3）我是这样解决的： 【答案】（1）公因数         （2）最大公因数 （3）见详解 【分析】（1）要每盒装的数量都相等，每盒装的数量必须是81和72的公因数。 （2）要使每盒装的最多，那么每盒装的数量必须是81和72的最大公因数。 （3）先求出81和72的最大公因数；两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此求出两个数的最大公因数，即每盒最多装的数量，据此解答。 【详解】（1）要每盒装的数量都相等，每盒装的数量必须是81和72的公因数。 （2）要使每盒装的最多，那么每盒装的数量必须是81和72的最大公因数。 （3）81＝3×3×3×3 72＝2×2×2×3×3 81和72的最大公因数是3×3＝9；每盒最多装9个。 答：每盒最多装9个。 【练习1】动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】24只 【分析】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【详解】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【练习2】小亮家储藏室的长方形地面长48分米，宽36分米，如果用一种边长是整分米数的正方形地砖将储藏室铺满（用的地砖必须都是整块的），至少需要多少块地砖？ 【答案】12块 【分析】由题意可知，正方形地砖的边长同时是长方形地面长和宽的因数，需要地砖的块数最少时正方形地砖的边长最大，求出48和36的最大公因数就是正方形地砖的最大边长，“”“”，需要地砖的块数＝长方形的面积÷正方形的面积，据此解答。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数：2×2×3＝12 （48×36）÷（12×12） ＝1728÷144 ＝12（块） 答：至少需要12块地砖。 考点4：约分的认识及应用 【典型例题】小明打算为生病的妈妈配制一杯淡盐水漱口，他在200克的水里放入了2克的盐。 （1）盐占盐水的几分之几？ （2）再加入20克水，这时水占盐水的几分之几？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）已知水的质量是200克，盐的质量是2克，因此盐水总质量为：200＋2＝202（克）。根据“求一个数是另一个数的几分之几，用除法”，所以用2除以202计算即可。 （2）再加入20克水后，新的水的质量为200＋20＝220（克），新的盐水总质量为220＋2＝222（克）。根据“求一个数是另一个数的几分之几，用除法”，用220除以222计算即可。 【详解】（1）200＋2＝202（克） 答：盐占盐水的。 （2）200＋20＝220（克） 202＋20＝222（克） 答：再加入20克水，这时水占盐水的。 【练习1】养殖场里有公鸡180只，母鸡240只，公鸡的只数是母鸡的几分之几？母鸡的只数是公鸡的几分之几？ 【答案】； 【分析】求公鸡的只数是母鸡只数的几分之几，用公鸡的只数÷母鸡只数；求母鸡的只数是公鸡只数的几分之几，用母鸡的只数÷公鸡只数；据此解答。 【详解】180÷240＝ 240÷180＝ 答：公鸡的只数是母鸡的，母鸡的只数是公鸡的。 【练习2】北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，将100克的糯米和12克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了。在一个枣子粽中，蜜枣的质量是粽子的几分之几？ 【答案】 【分析】求蜜枣质量占粽子的几分之几，需先计算粽子的总质量（糯米质量＋蜜枣质量），再用蜜枣质量除以总质量即可，最后将结果约分为最简分数。 【详解】12÷（100＋12） ＝12÷112 ＝ ＝ 答：蜜枣的质量是粽子的。 考点5：用最小公倍数解决实际问题 【典型例题】丁丁每4天给牡丹花浇一次水，每5天给月季花浇一次水，如果6月10日丁丁给这两种花同时浇了水，那么下次给这两种花同时浇水是6月几日？ 【答案】6月30日 【分析】根据题意，每4天给牡丹花浇一次水，每5天给月季花浇一次水，那么同时给这两种花浇水的间隔天数就是4和5的公倍数；先求出4和5的最小公倍数，再加上第一次同时给这两种花浇水的日期，得出下一次再给它们同时浇水的日期。 【详解】4和5的最小公倍数为：4×5＝20 即每20天给这两种花同时浇水。 6月10日＋20天＝6月30日 答：下次给这两种花同时浇水是6月30日。 【练习1】A大道有一排路灯，原来每相邻两盏路灯之间的距离是40m，现在改为50m。如果起点的一盏路灯不移动，那么至少隔多远又有一盏路灯不需要移动？ 【答案】200m 【分析】求出40和50的最小公倍数，即把40和50进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，即可求出再隔多远又有一盏路灯不需要移动。据此解答。 【详解】 40和50的最小公倍数： 答：至少隔200m又有一盏路灯不需要移动。 【练习2】玉溪是聂耳的故乡，每年7月17日都会举行“同升国旗·同唱国歌”的活动来缅怀聂耳这位伟大的人民音乐家。学校组织同学们参与活动时，五年级报名人数若按12人一组或13人一组分组，都会剩余5人。那么五年级至少有多少人报名？ 【答案】161人 【分析】据题意可知五年级报名人数减去5后，能被12整除，也能被13整除，12和13两个数互质，则12和13的最小公倍数为12与13的积，用最小公倍数加5后即为五年级至少的报名人数。 【详解】12与13的最小公倍数：12×13＝156（人） 156＋5＝161（人） 答：五年级至少有161人报名。 考点6：通分与分数的大小比较 【典型例题】老师去超市购买一批圆珠笔作为奖品，同一种圆珠笔，在甲超市的标价为5元6支；在乙超市的标价为8元9支；在丙超市的标价为每支1元，买4送1。这种圆珠笔在哪家超市里卖得最便宜？在哪家超市里卖得最贵？ 【答案】丙超市；乙超市 【分析】根据总价÷数量＝单价，分别计算出三家超市的单价，比较即可，计算时根据分数与除法的关系，即分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，表示出结果；异分母分数比较大小，先通分再比较。其中丙超市买4送1，即买4支的钱数实际得到（4＋1）支圆珠笔。 【详解】甲超市：5÷6＝（元）＝（元） 乙超市：8÷9＝（元）＝（元） 丙超市：1×4÷（4＋1） ＝4÷5 ＝（元） ＝（元） ＜＜ 答：丙超市卖得最便宜，乙超市卖得最贵。 【练习1】小猫、小兔和小猴进行跑步比赛，跑完同一段路程，小猫用了时，小兔用了时，小猴用了时。谁跑步的速度快？ 【答案】小兔 【分析】根据异分母分数比较大小的方法：通分，化成分母相同的分数，再进行比较大小，谁小，谁的速度快，据此解答。 【详解】＝；＝；＝ 因为＜＜，即＜＜，小兔的速度快。 答：小兔的速度快。 【练习2】水果店运进了相同数量的三种水果，一天下来，三种水果的剩余情况如下： 如果你是水果店的进货员，你应该多进哪种水果？为什么？ 【答案】 应该多进香蕉，因为香蕉剩下的最少，所以它卖得最好。 【分析】根据图片显示，苹果剩下了，橘子剩下了，香蕉剩下了，水果店运进的三种水果数量相同，将三种水果剩下的部分比较大小，剩下的越少，说明卖得越好；剩下的越多，说明卖得越差； 异分母分数比较大小：先通分成同分母分数，再比较大小；分母相同，分子越大、分数越大，据此解答。 【详解】，，， 因为，所以。 答：应该多进香蕉，因为香蕉剩下的最少，所以它卖得最好。 考点7：分数和小数的互化 【典型例题】小明从家走到学校要花22分钟，小丽从家走到学校要花小时，如果他们的速度相等，谁家离学校近一些？ 【答案】小丽 【分析】小丽上学花费的时间是小时，转化为小数就是小时。把单位统一为分钟，再根据路程、速度、时间的关系（当速度相等时，时间越短，路程越短）来判断谁家离学校更近。因为1小时＝60分钟，那么小丽从家走到学校花费的0.2小时换算为分钟是：0.2×60＝12分钟。然后再比较两人上学花费的时间的多少，即可解答。 【详解】 1小时＝60分钟 0.2×60＝12（分钟） 小明上学花费22分钟，小丽上学花费12分钟。 12分钟＜22分钟 答：小丽家离学校近一些。 【练习1】乐乐和园园的水杯款式相同，大小却不同。她们俩谁的水杯大？ 【答案】 乐乐的水杯大。 【分析】先将乐乐水杯容积的数值化成分数形式，再通分，最后比较两人水杯容积的大小，据此判断谁的水杯大。 【详解】 答：乐乐的水杯大。 【练习2】编绳作为中国传统民间手工技艺，通过组合不同绳结来制作饰品，兼具装饰功能与文化功能。王奶奶把一根8米长的绳子编织成手链，第一条手链用去了3.5米，第二条手链用去了米，这根绳子还剩下多少米？ 【答案】3米 【分析】总绳长为8米，第一次用去3.5米，第二次用去米。用总长度减去第一次和第二次用的长度，即可得出剩余绳子的长度。为了方便计算，可以把转化为小数进行计算。 【详解】 （米） 答：这根绳子还剩下3米。 夯实基础 1．如图，钟面上，秒针从数字“5”走到数字“8”，扫过了钟面的（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】钟面上平均分成12个大格，秒针从数字“5”走到数字“8”，走过了（8－5）个大格，用走过的大格数除以大格总数，即是秒针从数字“5”走到数字“8”，扫过了钟面的几分之几。 【详解】（8－5）÷12 ＝3÷12 ＝ 钟面上，秒针从数字“5”走到数字“8”，扫过了钟面的。 故答案为：A 2．在限速60千米的道路上，超过60千米/小时的速度就算超速。李小明的爸爸在这条道路上的行驶速度是66千米/小时，他超速（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】先算出超过60千米的速度，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 【详解】（66－60）÷60 ＝6÷60 ＝ 故答案为：A 3．三（1）班女生人数占全班人数的，三（2）班女生人数占全班人数的，哪个班的女生人数多？（     ） A．三（1）班 B．三（2）班 C．无法比较 【答案】C 【分析】三（1）班女生人数占全班人数的，单位“1”是三（1）班的全班人数；三（2）班女生人数占全班人数的，单位“1”是三（2）班的全班人数。在不确定三（1）班和三（2）班的人数的情况下，无法比较两个班的女生人数。 【详解】根据分数的意义可知，在不确定三（1）班和三（2）班的人数的情况下，无法确定哪个班的人数多。 故答案为：C 4．美术课上，李老师讲授新知识用了小时，学生讨论用了小时，学生画画用了0.3小时。（     ）用时最长。 A．讲授新知识 B．学生讨论 C．学生画画 【答案】A 【分析】已知李老师讲授新知识用了小时，学生讨论用了小时，学生画画用了0.3小时，根据分数与除法的关系＝a÷b（b≠0）将和化为小数，最后比较小数大小，判断出讲授新知识、学生讨论、学生画画三部分中哪部分用时最长。 【详解】＝9÷20＝0.45（小时） ＝1÷4＝0.25（小时） 因为0.25＜0.3＜0.45，即＜0.3＜，所以讲授新知识用时最长。 故答案为：A 5．“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂。”小智一家一共包了24个豆沙粽和16个火腿粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放（     ）个。 A．4 B．8 C．12 【答案】B 【分析】根据题意可知，求每盒最多装几个，也就是求24和16的最大公因数，先把这两个数分解质因数，它们公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，由此解答。 【详解】24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是2×2×2＝8，每盒最多放8个。 故答案为：B 6．五（1）班的学生不超过50人，课堂上分组活动时4人一组或6人一组都刚好分完，五（1）班的学生可能是（     ）。 A．42人 B．48人 C．49人 【答案】B 【分析】这个班级人数既能被4整除，也能被6整除，且不超过50；先找4和6的公倍数，再从中选择不超过50的数，即为这个班级可能的学生人数。 【详解】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48… 6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48… 4和6的公倍数有：12，24，36，48… 其中不超过50的数有12，24，36，48，因此五（1）班的学生可能是48人。 故答案为：B 7．甲、乙两筐苹果各24kg，从甲筐取出4kg放入乙筐，这时乙筐里的苹果比甲筐多（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】由题意可知，甲、乙两筐苹果各24kg，从甲筐取出4kg放入乙筐，此时甲筐中苹果的重量为（24－4）kg，乙筐中苹果的重量为（24＋4）kg，然后求出乙筐里的苹果比甲筐多多少千克，再除以甲筐中苹果的重量即可。 【详解】24－4＝20（kg） 24＋4＝28（kg） （28－20）÷20 ＝8÷20 ＝ 所以这时乙筐里的苹果比甲筐多。 故答案为：B 8．把一瓶3L的果汁平均倒成9杯，每杯是（     ）L，每杯果汁是这瓶的。 【答案】； 【分析】将果汁总量除以9，求出每杯是多少L。分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母。将除法写成分数形式后，能约分的要约分为最简分数。 分数的意义：将一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示。将果汁平均分成9杯，那么分母是9。每杯果汁占1份，那么分子是1。即每杯果汁是这瓶的。 【详解】3÷9＝（L） 所以把一瓶3L的果汁平均倒成9杯，每杯是L，每杯果汁是这瓶的。 9．一根米长的绳子，用米长的标准去量，量（ ）次正好量完。 【答案】7 【分析】一根米长的绳子，此时它的分数单位是米，而此时用米长的绳子测量，根据分数的意义：分子是几就有几个这样的分数单位，据此可得出答案。 【详解】一根米长的绳子，此时它的分数单位是米，用分数单位米去测量。绳子长度为米，即有7个，则量7次正好量完。 10．甲平均每秒打0.9个字，乙平均每秒打个字，（ ）打字速度快一些。 【答案】甲 【分析】先把小数化为最简分数，再通分比较两个分数的大小关系，分数值大的打字速度快一些，分数值小的打字速度慢一些，据此解答。 【详解】0.9＝ ＝＝ ＝＝ 因为＞，＞，则0.9＞，所以甲打字速度快一些。 11．一辆汽车行完10千米的路程用了12分钟，它平均每分钟行全程的，每分钟行了（     ）千米。 【答案】 ； 【分析】平均每分钟行全程的几分之几：将全程看作单位“1”，12分钟行完全程，则每分钟行的路程占全程的。 每分钟行的实际距离：总路程为10千米，时间为12分钟，速度＝路程÷时间，即千米/分钟。 【详解】1÷12＝ 10÷12＝＝（千米） 一辆汽车行完10千米的路程用了12分钟，它平均每分钟行全程的，每分钟行了千米。 12．聪聪和明明各买了若干本相同的笔记本，已知聪聪花了48元，明明花了36元。这些笔记本的单价最高是（ ）元。 【答案】12 【分析】因为是相同的笔记本，所以笔记本的单价相同，求笔记本的最高单价，也求48和36的最大公因数，就是笔记本的单价，两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此解答。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是2×2×3＝12，笔记本的单价最高是12元。 聪聪和明明各买了若干本相同的笔记本，已知聪聪花了48元，明明花了36元。这些笔记本的单价最高是12元。 13．小丽绕操场跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈要3分钟，妈妈跑一圈要4分钟，如果小丽和爸爸妈妈在同一起点同时起跑，至少（ ）分钟后三人在起点再次相遇。 【答案】12 【分析】已知小丽和爸爸妈妈绕操场跑一圈分别用时6分钟、3分钟和4分钟，三人在同一起点同时起跑，求至少多少分钟后三人在起点再次相遇，也就是求6、3、4的最小公倍数；据此解答。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 6、3和4的最小公倍数是：2×2×3＝12 即至少（12）分钟后三人在起点再次相遇。 14．将24支笔和18本练习本平均分给若干个同学。如果笔和练习本都没有剩余，且保证分到笔和练习本的同学人数相同，最多能分给（ ）名同学。 【答案】6 【分析】要同时将24支笔和18本练习本平均分给同学且没有剩余，最多能分给的同学人数即为24和18的最大公因数。通过分解质因数并取公共质因数的乘积，可得结果。 【详解】 24和18的最大公因数：2×3＝6 因此，最多能分给6名同学。 15．从学校步行回家，小英要花15分钟，小丽要花小时，小青要花0.2小时。如果她们步行的速度相同，那么（ ）家距离学校远一些。 【答案】小英 【分析】比较谁家离学校远一些，因为步行速度相同，根据路程＝速度×时间，所以只需比较三人花费时间的长短，时间越长，家离学校越远。因为1小时＝60分钟，小丽花费的时间是小时，换算成分钟为×60＝10（分钟），小青花费的时间是0.2小时，换算成分钟为0.2×60＝12（分钟）。 【详解】小英所花时间：15分钟 小丽所花时间：×60＝10（分钟） 小青所花时间：0.2×60＝12（分钟） 因为15＞12＞10，所以小英家距离学校远一些。 16．五（2）班庆祝“六一”儿童节时买了35个气球，其中红气球占，这是把（ ）看作单位“1”，把它平均分成（ ）份，红气球占了（ ）份，红气球有（ ）个。 【答案】 气球总数 7 3 15 【分析】根据题意，把气球总数看作单位“1”，表示将气球总数平均分成7份，其中红气球占了3份；用气球总数除以7，计算出一份表示多少个气球，再乘3份，所得结果即为红气球有多少个。 【详解】35÷7×3 ＝5×3 ＝15（个） 因此五（2）班庆祝“六一”儿童节时买了35个气球，其中红气球占，这是把气球总数看作单位“1”，把它平均分成7份，红气球占了3份，红气球有15个。 17．为庆祝“六、一”国际儿童节，学校星星合唱团需要舞蹈社团伴舞。舞蹈社团要4天排练一次，合唱团要6天排练一次，每逢两个社团同时排练的日子需要在一起合练。5月7日两个社团第一次在一起合练，6月1日演出之前的最后一次合练是5月（ ）日。 【答案】31 【分析】舞蹈社团每4天排练一次，合唱团每6天排练一次，合练的间隔天数为4和6的最小公倍数。先求出最小公倍数，再从5月7日开始依次加最小公倍数，找到6月1日之前的最后一次合练日期。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12，每隔12天合练一次。 第一次合练：5月7日； 第二次合练：5月7日＋12天＝5月19日； 第三次合练：5月19日＋12天＝5月31日； 第四次合练：5月31日＋12天＝6月12日（不超过6月1日）。 所以，6月1日演出之前的最后一次合练是5月31日。 为庆祝“六、一”国际儿童节，学校星星合唱团需要舞蹈社团伴舞。舞蹈社团要4天排练一次，合唱团要6天排练一次，每逢两个社团同时排练的日子需要在一起合练。5月7日两个社团第一次在一起合练，6月1日演出之前的最后一次合练是5月31日。 培优拔高 18．星星和周周相约去书店购物，他们带的钱数同样多。星星用全部钱数的买了文具，用剩下钱数的买了其它用品；周周用全部钱数的买了文具，用剩下钱数的买了其它用品。他们花的钱一样多吗？请你画线段图说明你的理由。 【答案】见详解 【分析】分别将两人带的钱数看作单位“1”，他们带的钱数同样多，画两条相同的线段，表示两人带的钱数，将两条线段都平均分成6份，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，星星：选取其中的3份是全部钱数的，再选取1份是剩下钱数的；周周：选取其中的2份是全部钱数的，再选取2份是剩下钱数的。通过画线段图可知，两人选取的总份数同样多，表示花的钱一样多。 【详解】 他们花的钱一样多。 19．近年来，随着我国不断推行改革开放和一带一路发展战略，中国经济获得了空前发展。2023年《财富》世界500强排行榜，中国企业上榜142家。中国上榜企业数量占世界500强的几分之几？ 【答案】 【分析】根据求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算，最后要约分为最简分数。 【详解】 答：中国上榜企业数量占世界500强的。 20．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 【答案】7厘米；9段 【分析】因每小段最长长度是28和35的最大公因数，先分解质因数得28＝2×2×7、35＝5×7，二者共同质因数为7，故每小段最长7厘米；再分别计算28÷7＝4段、35÷7＝5段，总段数为4＋5＝9段，因此每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 【详解】28＝2×2×7，35＝5×7，最大公因数是7。 28厘米铁丝：28÷7＝4（段） 35厘米铁丝：35÷7＝5（段） 总段数：4＋5＝9（段） 答：每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 21．一桶油重40千克，第一次倒出总量的，第二次倒出的是第一次的，第一次比第二次多倒多少千克？ 【答案】3千克 【分析】已知油的总量40千克，第一次倒出总量的，把油的总量看作单位“1”，表示把油的总量平均分成8份，取其中3份，每份是40÷8＝5千克，那么3份就是5×3＝15千克，即第一次倒出的油量为15千克。第二次倒出的是第一次的，把第一次倒出的油量看作单位“1”，表示把第一次倒出的油量平均分成5份，取其中4份，每份是15÷5＝3千克，则4份就是3×4＝12千克，即第二次倒出的油量是12千克。然后用第一次倒出的油量减第二次倒出的油量即可解答。 【详解】表示把油的总量平均分成8份，取其中3份。 40÷8×3＝15（千克） 表示把15千克的油量平均分成5份，取其中4份。 15÷5×4＝12（千克） 15－12＝3（千克） 答：第一次比第二次多倒3千克。 22．张阿姨买了几个红灯笼，花了90元；杨叔叔也买了几个同样的红灯笼，花了105元。这种红灯笼的单价最贵是多少元？（红灯笼单价为整数） 【答案】15元 【分析】数量×单价＝总价，由于红灯笼的单价和买的数量都是整数，那么红灯笼的单价是总价的因数。又要求这种红灯笼的单价最贵是多少元，即求90和105的最大公因数。将90和105分解质因数，将公有质因数相乘，即可求出90和105的最大公因数。 【详解】90＝3×3×2×5 105＝5×3×7 90和105的最大公因数是3×5＝15。 答：这种红灯笼的单价最贵是15元。 23．从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 【答案】26次 【分析】要解决该问题需先求1路车（4分钟一班）和2路车（6分钟一班）发车间隔的最小公倍数，分解质因数得4＝2×2、6＝2×3，最小公倍数为12，即每12分钟两路车同时发车一次；从早晨6：00到上午11：00共5小时（300分钟），用300÷12＋1＝26（次）（“＋1”包含6：00初始发车），因此到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 【详解】4＝2×2，6＝2×3，最小公倍数为 2×2×3＝12。 11：006：00 ＝5小时 ＝ 5×60 ＝300 分钟。 300÷12＋1 ＝25＋1 ＝26（次） 答：到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 思维拓展 24．某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 【答案】36名 【分析】根据题意可知，宴会上的客人人数是2，3，4的公倍数，根据求最小公倍数的方法，先求出2，3，4的最小公倍数；2，3，4的最小公倍数是12；假设宴会上有12名客人，将其分别除以2，3，4，所得的商相加，即可求出此时假设客人需要点心的份数；再用实际客人吃到点心的份数÷此时假设客人需要点心的份数，求出实际客人吃到点心的份数是此时假设客人需要点心的份数的几倍，再乘12，即可求出宴会上的客人数量。 【详解】2，3，4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（份） 39÷13＝3 12×3＝36（名） 答：宴会上有36名客人。 25．一个容器内装满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的2倍，第三次溢出的水量是第一次的3倍。中球体积是大球体积的几分之几？ 【答案】 【分析】第一次，沉入小球，溢出的水量是小球的体积；第二次，取出小球，沉入中球，溢出的水量＝中球体积－小球体积；第三次，取出中球，沉入大球，溢出的水量＝大球体积－中球体积。第一次溢出的水量是第二次的2倍，假设小球体积是2，则中球体积－小球体积是1，那么中球体积是3。第三次溢出的水量是第一次的3倍，即大球体积－中球体积＝小球体积×3，由此确定大球体积，将大球体积看作单位“1”，中球体积÷大球体积＝中球体积是大球体积的几分之几。 【详解】假设小球体积是2，则中球体积是3。 大球体积－中球体积＝2×3＝6 大球体积＝3＋6＝9 3÷9＝ 答：中球体积是大球体积的。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $