专项训练10：圆柱与圆锥的实际问题（不规则物体的体积问题）-数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册解决问题 专项训练10：圆柱与圆锥的实际问题（不规则物体的体积问题） 1．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 2．一个圆柱形水杯，底面半径为5厘米，杯中有一个底面积是30平方厘米的圆锥形铁块，完全淹没在水中，如果从水中取出这块铁块，水面下降2厘米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ 3．一个底面半径是5厘米，高是10厘米的圆柱形容器中装满了水，将一个高是20厘米的长方体铁块垂直插入到容器底部，当把长方体铁块取出后，容器内水面高度为8厘米。 （1）这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是多少平方厘米？ （2）这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？（π＝3.14） 4．瑞瑞和安安用不同方法测量一块不规则的石块体积： 他们俩的方法都可行吗？请计算说明。（π取3） 5．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是300毫升。如图，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料的高度是20厘米，倒放时空余部分的高度是5厘米。瓶内现有饮料多少毫升？ 6．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里盛满了水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。把铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 7．一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 8．一只乌鸦口渴了，它找了很久，找到一个圆柱形容器里盛的水。这个容器高25厘米，底面积是50平方厘米，但水面太低，乌鸦喝不到水（见图1）。于是乌鸦衔来许多小石子放入容器内，水面上升后，聪明的乌鸦终于喝到了水（见图2）。问：放入容器的小石子一共有多少立方厘米？乌鸦喝了多少毫升水？ 9．把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶中，将有多少立方厘米的水溢出？ 10．一个圆柱形鱼缸如下图，把鱼缸中的石块取出后水面会下降2厘米。 （1）石块的体积是多少？ （2）取出鱼后，鱼缸里的水又下降2.2厘米，鱼的体积是多少？ （3）这个鱼缸的高是22厘米，取出石块和鱼以后，再加多少升水就能加满鱼缸？（得数保留一位小数） 11．下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 12．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 13．参观回来后，同学们感受到“科技”的力量，在一节数学拓展实验课中，4名同学准备测量1枚铁钉的体积。 ①张亮准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量出它的底面直径是6厘米，高是15厘米。 ②王明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是10厘米。 ③李静把30枚铁钉完全浸没在水中。 ④董乐量得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是7∶2。 根据上面的信息，你能计算出1枚铁钉的体积吗？ 14．一个盖着瓶盖的瓶子里装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的体积是多少立方厘米？（瓶底面积10平方厘米） 15．乐乐为了测出一个土豆的体积，做了如下一个实验： ①在一个底面直径是10厘米的圆柱形玻璃杯中倒入一定量的水，测得水的高度是8厘米。 ②将土豆全部浸没在水中，再次测量水面的高度是10厘米。（水未溢出） 你能计算出这个土豆的体积吗？ 16．一个盛有水、底面直径是20厘米的圆柱形容器中，完全浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 17．同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。 准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大）、一些水和盐。 实验过程：（1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米； （2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米； （3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都悬浮在水中，如图1所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图2、3所示。 请根据实验所得数据，解答问题。 （1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？ （2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？ 18．小新测量一个土豆的体积，按以下步骤操作。 第一步：准备一个里面半径为5厘米的圆柱形玻璃杯，一个土豆。 第二步：往杯子里加水，测出水面的高度为7.4厘米。 第三步：把土豆浸没在水中，这时测出水面高度为8厘米。 （1）土豆的体积是多少？ （2）如果再将一个半径为3厘米的圆锥形铅锤浸没在水中。已知土豆、铅锤和水的体积之间的关系如下图，那么铅锤的高是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册解决问题 专项训练10：圆柱与圆锥的实际问题（不规则物体的体积问题） 1．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【详解】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 2．一个圆柱形水杯，底面半径为5厘米，杯中有一个底面积是30平方厘米的圆锥形铁块，完全淹没在水中，如果从水中取出这块铁块，水面下降2厘米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】157立方厘米 【分析】分析条件后可得出“铁块的体积＝水面下降后减少的水那一部分的体积”，则求这块铁块的体积是多少，也就是求半径是5厘米，高是2厘米的圆柱形容器里水的体积。 【详解】3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：这块铁块的体积是157立方厘米。 3．一个底面半径是5厘米，高是10厘米的圆柱形容器中装满了水，将一个高是20厘米的长方体铁块垂直插入到容器底部，当把长方体铁块取出后，容器内水面高度为8厘米。 （1）这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是多少平方厘米？ （2）这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？（π＝3.14） 【答案】（1）15.7平方厘米； （2）314立方厘米 【分析】（1）根据题意可知，把长方体铁块从容器中取出后，下降部分水的体积就等于这个长方体铁块在水中的体积，根据圆柱的体积V＝πr2h，求出在水中长方体铁块的体积，再根据长方体的体积V＝Sh，那么S＝V÷h，此时h＝10厘米，把数据代入公式解答。 （2）根据（1）求出长方体铁块与容器底部接触面的面积后，再根据长方体的体积V＝Sh，此时h＝20厘米，把数据代入公式解答。 【详解】（1）3.14×52×（10－8）÷10 ＝3.14×25×2÷10 ＝78.5×2÷10 ＝157÷10 ＝15.7（平方厘米） 答：这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是15.7平方厘米。 （2）15.7×20＝314（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是314立方厘米。 4．瑞瑞和安安用不同方法测量一块不规则的石块体积： 他们俩的方法都可行吗？请计算说明。（π取3） 【答案】见详解 【分析】瑞瑞的方法：石块的体积等于上升的水的体积，根据圆柱的体积＝底面积×上升的厘米数即可解答； 安安的方法：橡皮泥前后的体积差就是石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】瑞瑞的方法：3×（10÷2）2×（8－6） ＝3×25×2 ＝75×2 ＝150（立方厘米） 安安的方法：10×4×6－10×1.5×6 ＝40×6－15×6 ＝240－90 ＝150（立方厘米） 答：他们俩的方法都可行，不规则的石块体积为150立方厘米。 5．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是300毫升。如图，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料的高度是20厘米，倒放时空余部分的高度是5厘米。瓶内现有饮料多少毫升？ 【答案】240毫升 【分析】从图中可知：无论饮料瓶是正放还是倒放，瓶内空余部分的体积不变。因此通过将饮料瓶正放和倒放两个空余部分替换，饮料瓶的容积就相当于（20＋5）厘米高的圆柱形饮料瓶的容积。用300÷（20＋5），就求出了圆柱的底面积，再用底面积×正放时饮料的高度，即可求出瓶内现有饮料的体积。据此解答。 【详解】 300毫升＝300立方厘米 300÷（20＋5）×20 ＝300÷25×20 ＝240（立方厘米） ＝240（毫升） 答：瓶内现有饮料240毫升 6．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里盛满了水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。把铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】根据题意可知，下部分水的体积＝物体的体积，物体的体积＝容器的底面积×下降的高度，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×62×0.5即可求出圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用圆锥的体积×3÷9即可求出圆锥的底面积。 【详解】3.14×62×0.5×3÷9 ＝3.14×36×0.5×3÷9 ＝56.52×3÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 7．一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 【答案】7348克 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，水面上升的形状是圆柱，铁块体积＝圆柱形玻璃杯底面积×水面上升高度，铁块体积×每立方厘米质量＝这个铁块质量，据此列式解答。根据四舍五入法保留近似数。 【详解】3.14×102×（15－12）×7.8 ＝3.14×100×3×7.8 ＝942×7.8 ≈7348（克） 答：这个铁块重7348克。 8．一只乌鸦口渴了，它找了很久，找到一个圆柱形容器里盛的水。这个容器高25厘米，底面积是50平方厘米，但水面太低，乌鸦喝不到水（见图1）。于是乌鸦衔来许多小石子放入容器内，水面上升后，聪明的乌鸦终于喝到了水（见图2）。问：放入容器的小石子一共有多少立方厘米？乌鸦喝了多少毫升水？ 【答案】700立方厘米；300毫升 【分析】根据题意，结合圆柱的体积公式：底面积×高，先求出水的体积，用50乘8即可；再求出放了小石子后，水和小石子的体积，用50乘22即可；两个结果相减，得出小石子的体积。再求出喝了水之后，小石子和水的体积。用没喝水之前小石子和水的体积减去喝了之后小石子和水的体积，即可求出它喝了多少水。 【详解】50×8＝400（立方厘米） 50×22＝1100（立方厘米） 1100－400＝700（立方厘米） 50×16＝800（立方厘米） 1100－800＝300（立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：放入容器的小石子一共有700立方厘米；乌鸦喝了300毫升水。 9．把一个底面直径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶中，将有多少立方厘米的水溢出？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】根据题意，溢出的水的体积等于这个圆锥体的体积，根据圆锥的体积，代入数据计算即可。 【详解】 （立方厘米） 答：将有25.12立方厘米的水溢出。 10．一个圆柱形鱼缸如下图，把鱼缸中的石块取出后水面会下降2厘米。 （1）石块的体积是多少？ （2）取出鱼后，鱼缸里的水又下降2.2厘米，鱼的体积是多少？ （3）这个鱼缸的高是22厘米，取出石块和鱼以后，再加多少升水就能加满鱼缸？（得数保留一位小数） 【答案】（1）981.25立方厘米 （2）1079.375立方厘米 （3）3.0升 【分析】（1）根据题意可知，把鱼缸里的石块取出后，水面下降2厘米，水面下降部分的体积，就是石块的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出石块的体积； （2）鱼缸取出鱼后水面又下降2.2厘米，水面下降部分的体积就是鱼的体积，根据圆柱的体积公式，体积＝底面积×高，代入数据，求出鱼的体积； （3）先用20减去取出石块下降的高度，再减去取出鱼水面下降的高度，求出现在水面的高度，再用鱼缸的高度减现在鱼缸里水的高度，求出空白高度，再代入圆柱的体积公式，即可解答。 【详解】（1）3.14×（25÷2）2×2 ＝3.14×12.52×2 ＝3.14×156.25×2 ＝490.625×2 ＝981.25（立方厘米） 答：石块的体积是981.25立方厘米。 （2）3.14×（25÷2）2×2.2 ＝3.14×12.52×2.2 ＝3.14×156.25×2.2 ＝490.625×2.2 ＝1079.375（立方厘米） 答：鱼的体积是1079.375立方厘米。 （3）3.14×（25÷2）2×[22－（20－2－2.2）] ＝3.14×12.52×[22－（18－2.2）] ＝3.14×156.25×[22－15.8] ＝490.625×6.2 ＝3041.875（立方厘米） 3041.875立方厘米＝3.041875升 3.041875升≈3.0升 答：再加3.0升水就能加满鱼缸。 11．下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 【答案】3立方厘米；14立方厘米 【分析】看图可知，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积是17立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积是23立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积－1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积＝2个小玻璃球的体积，2个小玻璃球的体积÷2＝1个小玻璃球的体积，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积－1个小玻璃球的体积＝1个大玻璃球的体积。 【详解】（23－17）÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（立方厘米） 17－3＝14（立方厘米） 答：一个小玻璃球的体积是3立方厘米，一个大玻璃球的体积是14立方厘米。 12．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 【答案】（1）99平方分米 （2）27厘米 【分析】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。 （2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。 （2） （厘米） 答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。 13．参观回来后，同学们感受到“科技”的力量，在一节数学拓展实验课中，4名同学准备测量1枚铁钉的体积。 ①张亮准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量出它的底面直径是6厘米，高是15厘米。 ②王明往玻璃杯里注入一些水，水的高度是10厘米。 ③李静把30枚铁钉完全浸没在水中。 ④董乐量得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是7∶2。 根据上面的信息，你能计算出1枚铁钉的体积吗？ 【答案】1.57立方厘米 【分析】已知把30枚铁钉完全浸没在水中时水的高度与水面离杯口的距离之比是7∶2，即把玻璃杯高度15厘米平均分成7＋2＝9份，用15除以9算出1份的高度再乘7计算出现在水面的高度；用现在水面的高度减去原来水面的高度计算出上升水的高度；水上升部分是圆柱，已知圆柱底面直径是6厘米，先用直径除以2计算出半径，然后根据圆柱体积公式，算出上升水的体积，也就是30枚铁钉总体积；最后用30枚铁钉总体积除以30，得到1枚铁钉体积。 【详解】15÷（7＋2）×7 ＝15÷9×7 ＝×7 ＝×7 ＝（厘米） －10 ＝－ ＝（厘米） 3.14×（6÷2）2×÷30 ＝3.14×32×÷30 ＝3.14×9×÷30 ＝3.14×3×5÷30 ＝9.42×5÷30 ＝47.1÷30 ＝1.57（立方厘米） 答：1枚铁钉的体积是1.57立方厘米。 14．一个盖着瓶盖的瓶子里装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的体积是多少立方厘米？（瓶底面积10平方厘米） 【答案】60立方厘米 【分析】根据题意，结合图示可知，水的体积加上瓶子空的体积就是瓶子的体积，根据圆柱的体积公式：底面积×高，图一可以求出水的体积，图二可以求出瓶子空的体积，两者相加即可。 【详解】水的体积：4×10＝40（立方厘米） 瓶子空的体积：（7－5）×10 ＝2×10 ＝20（立方厘米） 瓶子体积：40＋20＝60（立方厘米） 答：瓶子的体积为60立方厘米。 15．乐乐为了测出一个土豆的体积，做了如下一个实验： ①在一个底面直径是10厘米的圆柱形玻璃杯中倒入一定量的水，测得水的高度是8厘米。 ②将土豆全部浸没在水中，再次测量水面的高度是10厘米。（水未溢出） 你能计算出这个土豆的体积吗？ 【答案】157立方厘米 【分析】根据物体的体积＝上升部分水的体积，圆柱的体积＝底面积×高，则土豆的体积＝底面积×上升部分的高度即可解答。 【详解】3.14×（10÷2）2×（10－8） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 答：这个土豆的体积157立方厘米。 16．一个盛有水、底面直径是20厘米的圆柱形容器中，完全浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】1.2厘米 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据列式求出圆锥形铅锤的体积，再根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2求出圆柱形容器的底面积，最后用圆锥形铅锤的体积除以圆柱容器的底面积即可得到水面下降的高度。 【详解】3.14×（12÷2）2×10× ＝3.14×62×10× ＝3.14×36×10× ＝113.04×10× ＝1130.4× ＝376.8（立方厘米） 376.8÷[3.14×（20÷2）2] ＝376.8÷[3.14×102] ＝376.8÷[3.14×100] ＝376.8÷314 ＝1.2（厘米） 答：当铅锤从水中取出后，容器中的水面下降1.2厘米。 17．同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。 准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大）、一些水和盐。 实验过程：（1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米； （2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米； （3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都悬浮在水中，如图1所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图2、3所示。 请根据实验所得数据，解答问题。 （1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？ （2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？ 【答案】（1）47.1立方厘米 （2）1厘米 【分析】（1）鸡蛋的体积等于等于上升的水的体积，根据上升的体积是一个圆柱体，根据上升体积＝底面积×上升水面高度，即可计算得出答案； （2）根据扇形统计图中可得到鸡蛋占总体积的6%，鸡蛋体积为47.1立方米，运用百分数除法计算得出总体积；鸭蛋占圆柱杯子中体积的，再乘总体积得到鸭蛋体积，此时鸭蛋体积就是水面上升的体积，运用体积除以底面积即可得出答案。 【详解】（1）3.14×52×（9－8.4） ＝3.14×25×0.6 ＝78.5×0.6 ＝47.1（立方厘米） 答：鸡蛋的体积是47.1立方厘米。 （2）47.1÷6%÷（3.14×52） ＝785÷78.5 ＝10（厘米） 10－9＝1（厘米） 答：放入鸭蛋以后水面上升了1厘米。 18．小新测量一个土豆的体积，按以下步骤操作。 第一步：准备一个里面半径为5厘米的圆柱形玻璃杯，一个土豆。 第二步：往杯子里加水，测出水面的高度为7.4厘米。 第三步：把土豆浸没在水中，这时测出水面高度为8厘米。 （1）土豆的体积是多少？ （2）如果再将一个半径为3厘米的圆锥形铅锤浸没在水中。已知土豆、铅锤和水的体积之间的关系如下图，那么铅锤的高是多少厘米？ 【答案】（1）47.1立方厘米 （2）30厘米 【分析】（1）土豆浸没水中，上升的水的体积就是土豆的体积，据此求出土豆的体积； （2）根据“已知一个数的百分之几是多少用除法求这个数”，求出水、土豆、铅锤的总体积。铅锤的体积占总体积的（1－84%－10%），用百分数乘法计算出铅锤的体积。，铅锤的体积乘3再除以底面积就是铅锤的高，据此解答。 【详解】（1）3.14×52×（8－7.4） ＝3.14×25×0.6 ＝47.1（立方厘米） 答：土豆的体积是47.1立方厘米。 （2）47.1÷10%×（1－84%－10%） ＝47.1÷0.1×0.6 ＝471×0.6 ＝282.6（立方厘米） 282.6×3÷（3.14×32） ＝847.8÷（3.14×9） ＝847.8÷28.26 ＝30（厘米） 答：铅锤的高是30厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $