专题04：比例（解决问题讲义）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册解决问题 专题04：比例 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题判关系：找出题目中相关联的两种量，分析它们的变化规律，判断成正比例还是反比例；涉及比例尺时，明确图上距离和实际距离的关系。 2、设未知数列式：正比例关系列比值相等的比例式，反比例关系列乘积相等的比例式；比例尺问题直接套用公式。 3、解比例/计算：根据比例的基本性质（内项积=外项积）解比例，或代入公式计算，注意单位统一。 4、验证作答：检查比例关系判断是否正确，计算结果是否符合实际，规范写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：正比例的实际应用 1、核心技巧 （1）正比例的判定条件 ①两种量相关联：一种量变化，另一种量也随之变化； ②比值（商）一定，即一定。 （2）常见正比例关系： ①速度一定，路程与时间成正比例； ②单价一定，总价与数量成正比例； ③工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。 （3）解题公式： 2、解题步骤 （1）判断正比例关系：找出两种相关联的量，验证它们的比值是否一定。 （2）设未知数：设要求的量为x，明确各量对应的数值。 （3）列比例式：根据比值相等，列出正比例方程。 （4）解比例：利用比例的基本性质（内项积=外项积）求解。 （5）验证并作答：检查比值是否一致，确认答案合理性。 考点2：反比例的实际应用 1、核心技巧 （1）反比例的判定条件 ①两种量相关联：一种量变化，另一种量随之反向变化； ②乘积一定，即xy＝k（一定）。 （2）常见反比例关系： ①路程一定，速度与时间成反比例； ②总价一定，单价与数量成反比例； ③工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例。 （3）解题公式：x1×y1=x2×y2 2、解题步骤 （1）判断反比例关系：找出两种相关联的量，验证它们的乘积是否一定。 （2）设未知数：设要求的量为x，标注已知量的对应值。 （3）列比例式：根据乘积相等，列出反比例方程。 （4）解比例：通过计算乘积、除法运算求解。 考点3：比例尺的实际应用 1、核心技巧 （1）比例尺的定义：＝比例尺 【注意】比例尺是一个比，没有单位；图上距离和实际距离单位需统一。 （2）公式推导 ①图上距离=实际距离×比例尺 ②实际距离=图上距离÷比例尺 （3）比例尺类型：数值比例尺、线段比例尺。 2、解题步骤 （1）统一单位：将图上距离和实际距离的单位换算一致（通常把大单位换算成小单位）。 （2）判断比例尺类型：若是线段比例尺，先转化为数值比例尺。 （3）明确求解目标：确定是求图上距离、实际距离还是比例尺。 （4）代入公式计算 ①求比例尺：图上距离÷实际距离； ②求图上距离：实际距离×比例尺； ③求实际距离：图上距离÷比例尺。 考点1：正比例的图像问题 【典型例题】如图是张叔叔骑摩托车从甲地到乙地所行驶的路程与所用时间的关系图，看图回答下列问题。 （1）从甲地到乙地的路程是________千米，张叔叔行驶了________小时。 （2）张叔叔行驶的路程和时间成________比例。 （3）张叔叔行驶70千米，用了________分钟。 （4）照这样的速度，张叔叔行驶小时能行驶多少千米？ 【答案】（1）90；3 （2）正 （3）140 （4）80千米 【分析】（1）根据图象可知：从甲地到乙地行驶的总路程是90千米，一共行驶了180分钟，根据1小时＝60分钟把时间单位换算成小时即可； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；如果两种关系都不满足，则这两种量不成比例；据此解答； （3）根据时间＝路程÷速度求出行驶70千米所需的时间，再根据1小时＝60分钟把单位换算成分钟； （4）根据路程＝速度×时间代入数据列式计算即可。 【详解】（1）180÷60＝3（时） 从甲地到乙地的路程是90千米，张叔叔行驶了3小时。 （2）180分钟＝3小时 120分钟＝2小时 因为90÷3＝60÷2＝30（千米/时）（一定），即路程÷时间＝速度（一定），所以张叔叔行驶的路程和时间成正比例。 （3）70÷30＝（时） 小时＝140分钟 张叔叔行驶70千米，用了140分钟。 （4）30×＝30×＝80（千米） 答：照这样的速度，张叔叔行驶小时能行驶80千米。 【练习1】下面是某种弹簧秤弹簧所挂物体的质量与伸长长度的情况。 所挂物体质量/g 20 30 40 50 60 弹簧伸长长度/cm 1 1.5 2 2.5 3 （1）写出2组所挂物体质量与对应弹簧伸长长度的比，并判断写出的比能否组成比例。 （2）在图中描出表示物体质量和对应弹簧长度的点，然后按顺序连起来。 （3）在弹性范围内，所挂物体质量与弹簧伸长长度成（     ）关系，因为：________________________。 （4）如果所挂物体质量是200克，弹簧伸长长度是多少厘米？ 【答案】（1）物体质量∶弹簧伸长长度＝20∶1＝30∶1.5；能 （2）见详解； （3）正比例；理由见详解 （4）10厘米 【分析】（1）根据比的意义及表格中的数据写出两组比，比例是由比值相等的两个比写成的式子，据此判断这两个比的比值是否相等，如果相等则可以组成比例，不相等则不能组成比例； （2）横轴表示所挂物体的质量，纵轴表示弹簧伸长的长度，据此描出各点，并按顺序用直线连接起来即可； （3）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答； （4）挂20克的物体则弹簧会伸长1厘米，据此用200除以20即可得到弹簧伸长的长度。 【详解】（1）物体质量∶弹簧伸长长度＝20∶1＝30∶1.5 20÷1＝20，30÷1.5＝20，因为20＝20，所以这两个比可以组成比例：20∶1＝30∶1.5。 写出的比能组成比例，组成比例为：20∶1＝30∶1.5。 （2）作图如下： （3）在弹性范围内，所挂物体质量与弹簧伸长长度成正比例关系，因为：20∶1＝30∶1.5＝40∶2＝20，弹簧所挂物体的质量与伸长长度的比值是20，是一定的；所以所挂物体质量与弹簧伸长长度成正比例关系。 （4）200÷20＝10（厘米） 答：弹簧伸长长度是10厘米。 【练习2】下面是某一银行存一年定期，不同金额的本金和对应利息的情况。 （1）看图填表。 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 720 （2）本金和利息成（     ）比例关系。 （3）如果本金是8万元，那么在这家银行定期存款一年，连本带息一共可以拿回多少钱？ 【答案】（1）480；840 （2）正； （3）80960元 【分析】（1）观察图中数据，1万元对应120元利息，2万元对应240元利息，4万元对应480元利息，6万元对应720元利息，7万元对应840元利息。据此把表补全。 （2）观察表中的数据，发现利息与本金之间的固定比例关系（利率），利息÷本金＝利率，120÷10000＝0.012；240÷20000＝0.012，本金与利息的比值一定，说明它们成正比例关系。 （3）连本带息＝本金＋利息，先计算利息再求和。如果本金是 8 万元，根据上面的规律：利息＝120×8＝960（元），连本带息共＝80000＋960＝80960（元）。 【详解】（1）根据图中数据，填表如下： 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 480 720 840 （2）120÷10000＝0.012 240÷20000＝0.012 480÷40000＝0.012 720÷60000＝0.012 本金与利息的比值一定，本金和利息成正比例关系。 （3）120×8＝960（元） 80000＋960＝80960（元） 答：连本带息一共可以拿回80960元。 考点2：正比例的实际应用 【典型例题】在科学课上，科学老师带领学生完成了小孔成像的实验。实验中，他们将一块带有小孔的木板放置在蜡烛和光屏之间，蜡烛火焰在光屏上形成了倒立的图像。在实验中验证了一个结论：小孔成像时，光屏上图像的高度与蜡烛火焰实际高度之比等于光屏到木板的距离与蜡烛到木板的距离之比，即。 （1）根据图上的数据，光屏上烛焰图像的高度是多少厘米？ （2）如果想在光屏上呈现出9厘米的烛焰图像，在不移动蜡烛和木板位置的前提下，需要将上图的光屏靠近木板还是远离木板？需要移动的距离是多少厘米？ 【答案】（1）7.5厘米 （2）远离；4厘米 【分析】（1）根据，设光屏上烛焰图像的高度是x厘米，列比例，＝，解比例，即可解答。 （2）根据（1）求出光屏上烛焰图像的高度，如果光屏上烛焰图像的高度小于9厘米，上图的光屏靠近木板，如果光屏上烛焰图像的高度大于9厘米，上图的光屏远离木板；设光屏到木板的距离是x厘米，列比例：＝ ，解比例，求出光屏到木板的距离，进而解答。 【详解】（1）解：设光屏上烛焰图像的高度是x厘米。 ＝ 8x＝3×20 8x＝60 x＝60÷8 x＝7.5 答：光屏上烛焰图像的高度是7.5厘米。 （2）9厘米＞7.5厘米，光屏远离木板。 解：设光屏到木板的距离是x厘米。 ＝ 3x＝9×8 3x＝72 x＝72÷3 x＝24 24－20＝4（厘米） 答：光屏远离木板，需要移动的距离是4厘米。 【练习1】重庆千厮门大桥是全国著名网红景点洪崖洞夜景最佳观赏点。该大桥全长1647米，平平和安安分别从大桥两端相向而行，安安先走一段距离后，平平再从桥的另一端出发。已知平平、安安的速度比是3∶2，相遇时，他们所走的总路程比是4∶5，安安先走了多少米？（用比例知识解答） 【答案】427米 【分析】相遇时平平走的路程占总路程的＝，安安走的路程占总路程的＝，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。由题意可知路程÷速度＝时间（一定），根据比例的知识可知，时间一定时，路程和速度成正比例，设安安先走了米，根据等量关系式：平平走的路程∶（安安走的路程－先走的路程）＝平平的速度∶安安的速度，据此列比例并求解。 【详解】解：设安安先走了米。 答：安安先走了427米。 【练习2】小红的身高是1.2米，她直直的站立在操场上，测得她的影子长是2米。如果在同一时间、同一地点，测得一根直立在操场上的竹竿的影子长是3米，这根竹竿的高是多少米？（用比例解） 【答案】1.8米 【分析】在同一时间、同一地点，物体的高度和它的影子的长度的比值是一定的，即物体高度与影子长度成正比例关系。设这根竹竿的高是米，可以根据这个正比例关系来列比例：1.2∶2＝∶3，解出比例，即可求出竹竿的高度。 【详解】解：设这根竹竿的高是米。 1.2∶2＝∶3 2＝1.2×3 2＝3.6 2÷2＝3.6÷2 ＝1.8 答：这根竹竿的高是1.8米。 考点3：反比例的实际应用 【典型例题】机床厂要加工一批机床，原计划每天加工80台，15天完成任务。由于技术革新，实际每天比原计划多加工50%，实际用多少天完成任务？（用比例解） 【答案】10天 【分析】这批机床的总数量（工作总量）是固定不变的，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。当工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系，即“原计划工作效率×原计划时间＝实际工作效率×实际时间”。原计划每天加工80台，实际每天比原计划多加工50%，则实际工作效率是原计划的（1＋50%），实际每天加工数量为：80×（1＋50%）台。设实际用x天完成任务，根据：实际效率×实际时间＝原计划效率×原计划时间，列方程为80×（1＋50%）×x＝80×15，然后解方程即可。 【详解】解：设实际用x天完成任务。 80×（1＋50%）×x＝80×15 80×（1＋0.5）x＝1200 80×1.5x＝1200 120x＝1200 x＝1200÷120 x＝10 答：实际用10天完成任务。 【练习1】一间教室的地面，如果用边长8分米的正方形地砖铺，需要108块。如果改用长1.2米、宽6分米的长方形地砖铺，需要多少块？（不计损耗） 【答案】96块 【分析】因为教室地面的总面积是固定不变的，即“每块地砖的面积×所需地砖的块数＝教室地面总面积（一定）”。根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。所以每块地砖的面积和所需地砖的块数成反比例。长方形地砖的长1.2米，因为1米＝10分米，所以1.2米为1.2×10＝12分米。设需要x块长方形地砖。正方形地砖的边长为8分米，其面积为（8×8）平方分米；长方形地砖的长为12分米，宽为6分米，其面积为（12×6）平方分米。由于每块地砖的面积和所需地砖的块数成反比例，所以可列方程：（8×8）×108＝（12×6）x，然后解方程即可。 【详解】解：设需要x块长方形地砖。 1米＝10分米 1.2×10＝12（分米） （8×8）×108＝（12×6）x 64×108＝72x 72x＝6912 x＝6912÷72 x＝96 答：如果改用长1.2米、宽6分米的长方形地砖铺，需要96块。 【练习2】王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 【答案】4小时 【分析】根据题意，去时和回程的路程相同，速度和时间成反比例关系。设回程需要x小时，可列比例式：85x＝100×3.4，解比例方程即可。 【详解】解：设回程需要x小时。 85x＝100×3.4 85x＝340 x＝340÷85 x＝4 答：回程需要4小时。 考点4：比例尺的实际应用 【典型例题】在一幅比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的公路长是6厘米。如果一辆汽车以每小时100千米的速度从甲城市开到乙城市，需要多少小时？ 【答案】2.4小时 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，代入数据求出甲、乙两城之间的公路的实际距离，再根据“路程÷速度＝时间”，代入数据计算即可。 【详解】 ＝6×4000000 ＝24000000（厘米） 24000000厘米＝240千米 240÷100＝2.4（小时） 答：需要2.4小时。 【练习1】坐地日行八万里，巡天遥看一千河。巡天空间望远镜，就好像一座在轨飞行的移动式空间天文台，可以避开大气干扰，展开前沿天文探索，被称为“中国哈勃”。我国计划于2024年发射巡天望远镜。图片中的巡天望远镜立起来后的高度为28厘米，它的高度与实际的高度比为1∶50，那么巡天望远镜的实际高度为多少米？ 【答案】14米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。再根据1米＝100厘米，统一单位。 【详解】28÷＝28×50＝1400（厘米） 1400厘米＝14米 答：巡天望远镜的实际高度为14米。 【练习2】学校一个长是2.5毫米、宽是1.5毫米的长方形精密零件，将它画在比例尺是30∶1的图纸上，图上周长是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】先根据图上距离＝实际距离×比例尺求出长方形零件画在图上的长和宽，再根据1厘米＝10毫米把单位换算成厘米，然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2列式求出图上周长即可。 【详解】2.5×30＝75（毫米） 1.5×30＝45（毫米） 75毫米＝7.5厘米 45毫米＝4.5厘米 （7.5＋4.5）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 答：图上周长是24厘米。 夯实基础 1．有两个相关联的量，它们的关系可以用如图表示，这两个量可能是（     ）。 A．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高。 B．《小学生学习报》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。 C．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 【答案】B 【分析】两种相关联的量，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就成正比例；如果这两种量中相对应的两个数乘积一定，这两种量就成反比例，根据图形可知，图形中两种相关联的量是正比例，逐项分析各选项，进行解答。 【详解】A．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成反比例关系，图像应该是曲线，不符合。 B．《小学生学习报》 的单价一定，订阅的费用与订阅的数量成正比例关系，图像应该是直线，符合。 C．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数，两者是和一定，不是成比例关系，不符合。 故答案为：B。 2．把一个长2mm的手机零件画在图纸上，要使制造工人看得清，应选择合适的比例尺是（     ）。 A．10∶1 B．1∶10 C．1∶100 【答案】A 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，2mm的手机零件画在图纸上，要使制造工人看得清，应该考虑图上距离大于实际距离，因此比例尺中比的前项应该大于后项，据此分析判断正确选项。 【详解】A. 比例尺10∶1中前项大于后项，图上距离是实际距离的10倍，符合分析结果； B． 比例尺 1∶10表示图上距离是实际距离的，图上距离为2×＝0.2mm，不能看得清； C． 比例尺 1∶100表示图上距离是实际距离的，图上距离为2×＝0.02mm，不能看得清。 故答案为：A 3．一个圆形花坛，按1∶1000缩小后画在图纸上，直径是2cm，花坛的实际占地面积是（     ）m2。 A．6.28 B．3.14 C．314 【答案】C 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出花坛直径的实际距离，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】2÷ ＝2×1000 ＝2000（cm） 2000cm＝20m 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（m2） 一个圆形花坛，按1∶1000缩小后画在图纸上，直径是2cm，花坛的实际占地面积是314m2。 故答案为：D 4．在一个比例尺是200∶1的图纸上，量得一个零件的长是2厘米，这个零件实际长（     ）。 A．4米 B．0.1毫米 C．0.4毫米 【答案】B 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此进行计算即可。 【详解】2÷200＝0.01（厘米）＝0.1（毫米） 则这个零件实际长0.1毫米。 故答案为：B 5．幸福小学的圆形花坛，按1∶100缩小后画在图纸上，直径是2cm。花坛的实际占地面积是（     ）m2。 A．3.14 B．6.28 C．12.56 【答案】A 【分析】图上距离÷比例尺＝实际距离，据此代入数据求出直径实际是多少米，再根据圆的面积＝π×半径的平方解答即可。 【详解】2÷＝200（cm） 200cm＝2m 2÷2＝1（m） 3.14×12＝3.14（m2） 实际占地面积是3.14m2。 故答案为：A 6．一列火车从甲地开往乙地，9小时行驶720km，距离乙地还有240km。照这样的速度行完全程还需要几小时？如果设还需要x小时，列式正确的是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，结合速度＝路程÷时间这一公式可知，把总路程看成两段，列出等量关系式为：第一段路程除以9小时等于第二段路程除以x小时。据此列式即可。 【详解】根据题意，结合速度＝路程÷时间这一公式可知，列式为。 故答案为：A 7．某学校教学楼的长为66米，宽12米，把它画在比例尺是1∶300的学校平面图上，教学楼的宽在图上距离是（ ）厘米。 【答案】4 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据解答即可。注意单位要统一。 【详解】12米＝1200厘米 1200×＝4（厘米） 所以教学楼的宽在图上距离是4厘米。 8．一幅地图的比例尺是1∶4000000，这幅地图上两个城市之间的距离是26厘米，那么这两个城市之间的实际距离是（ ）千米。 【答案】1040 【分析】由比例尺1∶4000000可知，图上1厘米代表实际距离4000000厘米，即40千米；已知这幅地图上两个城市之间的距离是26厘米，也就是26个40千米，用乘法计算。 【详解】4000000厘米＝40千米 26×40＝1040（千米） 所以这两个城市之间的实际距离是1040千米。 9．将一个底是3厘米，高是2厘米的三角形，按3∶1放大画在图上，画在图上的这个三角形面积是（ ）平方厘米。 【答案】27 【分析】先根据：图上距离＝实际距离×比例尺，分别算出图上三角形的底和高，再根据三角形的面积＝底×高÷2列式求出面积即可。 【详解】3×3＝9（厘米） 2×3＝6（厘米） 9×6÷2 ＝54÷2 ＝27（平方厘米） 将一个底是3厘米，高是2厘米的三角形，按3∶1放大画在图上，画在图上的这个三角形面积是27平方厘米。 10．某品牌自行车前齿轮数为48，后齿轮数为16，车轮直径为0.7m，蹬一圈自行车前进（ ）m。 【答案】6.594 【分析】首先根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出自行车车轮的周长，然后根据蹬一圈，自行车走的距离＝车轮周长×（前齿轮数÷后齿轮数），列式解答即可。 【详解】3.14×0.7×（48÷16） ＝3.14×0.7×3 ＝2.198×3 ＝6.594（m） 某品牌自行车前齿轮数为48，后齿轮数为16，车轮直径为0.7m，蹬一圈自行车前进6.594m。 11．一幅地图的比例尺是，把它改成数值比例尺是（ ）。中国66号公路，又称“草原天路”，是中国十大最美公路之一。在这幅地图上量得这条公路的长度是1.5cm，这条公路的实际长度是（ ）km。 【答案】 1∶9000000/ 135 【分析】从图示可知，线段比例尺表示图上1厘米相当于实际距离90千米；根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，将它改写成数值比例尺；再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出这条公路的实际长度，注意单位名数的换算。 【详解】1厘米∶90千米 ＝1厘米∶9000000厘米 ＝1∶9000000 1.5÷ ＝1.5×9000000 ＝13500000（cm） ＝135km 一幅地图的比例尺是，把它改成数值比例尺是1∶9000000。中国66号公路，又称“草原天路”，是中国十大最美公路之一。在这幅地图上量得这条公路的长度是1.5cm，这条公路的实际长度是135km。 12．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。 【答案】6.2 【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把爸爸和王丹阳的实际身高都换算成以厘米为单位，再把照片上爸爸的身高设为x厘米，根据爸爸照片上的身高∶爸爸实际的身高＝王丹阳照片上的身高∶王丹阳实际的身高列出比例，最后根据比例的基本性质解出比例即可。 【详解】1.65米＝165厘米 1.86米＝186厘米 解：设照片上爸爸的身高是x厘米。 x∶186＝5.5∶165 165x＝186×5.5 165x＝1023 x＝1023÷165 x＝6.2 王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是6.2厘米。 13．甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。 【答案】4200 【分析】根据“甲乙两个学校图书本数比是4∶3”，可以设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书；根据“两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5”可得出等量关系：（甲校原有图书的本数－300）∶（乙校原有图书的本数－300）＝7∶5；据此列出比例方程，并求解，进而求出甲校、乙校原有图书的本数，再相加，即是两校原有图书的总本数。 【详解】解：设甲校原来有4本图书，乙校原来有3本图书。 （4－300）∶（3－300）＝7∶5 7（3－300）＝5（4－300） 21－2100＝20－1500 21－20＝2100－1500 ＝600 甲校原有：600×4＝2400（本） 乙校原有：600×3＝1800（本） 一共：2400＋1800＝4200（本） 那么甲乙两校原来共有4200本图书。 14．陈老师自驾游，她在一幅比例尺为1∶7000000的地图上量得出发地与目的地之间的公路长是5厘米，两地之间的公路长实际是（ ）千米。 【答案】350 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算，最后根据1千米＝100000厘米，把单位转化为厘米。 【详解】＝5×7000000＝35000000（厘米）＝350千米 两地之间的公路长实际是350千米。 15．笑笑买4本笔记本花了5.4元，乐乐买了5本同样的笔记本，需要花多少钱？ （1）题目中相关联的两个量是（ ）和（ ）。 （2）根据“买5本同样的笔记本”可知，笔记本的（ ）一定，所以买笔记本花的总钱数和对应的本数成（ ）比例关系。 （3）用比例的知识解答，解：设需要花x元，列出比例式为：（ ）。 【答案】（1） 花的总钱数 买的本数 （2） 单价 正 （3）x∶5＝5.4∶4 【分析】（1）找到变化的量，同样的笔记本，即单价不变，花的总钱数随着买的本数的增加而增加，两个变化的量就是相关联的量，据此分析。 （2）根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，进行分析。 （3）设需要花x元，根据花的总钱数÷对应的本数＝笔记本的单价，单价一定，列出正比例算式解答即可。 【详解】（1）题目中相关联的两个量是花的总钱数和买的本数。 （2）花的总钱数÷对应的本数＝笔记本的单价（一定） 根据“买5本同样的笔记本”可知，笔记本的单价一定，所以买笔记本花的总钱数和对应的本数成正比例关系。 （3）解：设需要花x元。 x∶5＝5.4∶4 x×4＝5.4×5 4x＝27 x＝27÷4 x＝6.75 需要花6.75元。 用比例的知识解答，解：设需要花x元，列出比例式为：x∶5＝5.4∶4。 16．看图填空。 （1）观察上面图象，甲汽车行驶的路程与相应耗油量成（ ）比例关系。 （2）在比例尺是1∶8000000的地图上量得A城到B城的距离是4厘米，A城到B城的实际距离是（ ）千米。 （3）李叔叔驾驶甲汽车从A城到B城，如果甲汽车的油箱装了40升汽油，中途（ ）（填“需要”或“不需要”）加油。 【答案】（1）正 （2）320 （3）需要 【分析】（1）正比例关系的图象是一条经过原点的直线。 （2）根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率：1千米＝100000厘米，求出A城到B城的实际距离。 （3）根据甲汽车行驶的路程∶耗油量＝每升汽油行驶的路程（一定），据此列出正比例方程，并求解，再与A城到B城的实际距离320千米比较，得出结论。 【详解】（1）观察图象可知，甲汽车行驶的路程与相应耗油量成正比例关系。 （2）4÷ ＝4×8000000 ＝32000000（厘米） 32000000＝320千米 A城到B城的实际距离是320千米。 （3）解：设40升汽油可行驶千米。 ＝ 2＝40×15 2＝600 2÷2＝600÷2 ＝300 300＜320 如果甲汽车的油箱装了40升汽油，中途需要加油。 17．一杯盐水，盐占盐水的，加入10g盐后，盐与盐水的比为3∶7，原盐水有（ ）g。 【答案】25 【分析】根据“盐占盐水的”，可以设原有盐水g，则原有盐g。 根据“加入10g盐后，盐与盐水的比为3∶7”可得出等量关系：（原有盐的质量＋10）∶（原有盐水的质量＋10）＝3∶7，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设原有盐水g，则原有盐g； （＋10）∶（＋10）＝3∶7 3（＋10）＝7（＋10） 3＋30＝＋70 3－＝70－30 ＝40 ＝40÷ ＝40× ＝25 原盐水有25g。 培优拔高 18．小明从一幅比例尺是1∶12000000的地图上量得他家到北京的距离是4厘米，他家到北京的实际距离是多少千米？ 【答案】480千米 【分析】分析题目，先根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出小明家到北京的实际距离，再根据1千米＝100000厘米把实际距离换算成以千米为单位即可。 【详解】4÷ ＝4×12000000 ＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 答：他家到北京的实际距离是480千米。 19．在“运动场上的数学”主题活动中，六年级（1）班第5小组测量了跳远场地的沙坑。下面是他们画出的沙坑底面平面图。沙坑底面的实际面积是多少？ 【答案】16.2 【分析】根据题意，结合比例尺＝图上距离÷实际距离，先求出实际的长和宽，再根据长方形的面积公式：长×宽，代入数据，计算即可。 【详解】实际的长：3÷ ＝3×200 ＝600（cm） 实际的宽：1.35÷ ＝1.35×200 ＝270（cm） 600cm＝6m 270cm＝2.7m 6×2.7＝16.2（） 答：沙坑底面的实际面积是16.2。 20．一列货车前往灾区运送救灾物资，2小时行驶了160千米。从出发地点到灾区有480千米，照这样的速度，还需要几小时到达灾区？（用比例解） 【答案】4小时 【分析】根据题意可知，这列货车的速度不变，即路程∶时间＝速度（一定），比值一定，那么路程和时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设还需要小时到达灾区。 160∶2＝（480－160）∶ 160＝（480－160）×2 160＝320×2 160＝640 ＝640÷160 ＝4 答：还需要4小时到达灾区。 21．在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲乙两地的距离是6厘米，一辆小轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时开出，小轿车每小时行驶110千米，货车每小时行驶90千米，几小时后两车相遇？ 【答案】1.5小时 【分析】图上距离除以比例尺，先求出甲乙两地的实际距离，再根据，用两地的实际距离除以小轿车和货车的速度和，求出几小时后两车相遇。 【详解】 （小时） 答：1.5小时后两车相遇。 22．笔墨纸砚是我国独有的文书工具，被称为“文房四宝”，其中墨锭的制作过程最为繁杂。王叔叔根据教程自己制作墨锭，12克墨锭能磨出墨液240毫升。如果想磨出600毫升墨液，要制作多少克的墨锭？ 【答案】30克 【分析】设要制作克的墨锭，由题意可知，墨锭的质量与磨出的墨液的体积成正比例，据此列出比例并根据比例的基本性质解比例即可。 【详解】解：设要制作克的墨锭。 答：要制作30克的墨锭。 23．随着村民收入水平提高，福福家搬了新家。装修其中一间卧室时，如果用边长30厘米的正方形地砖铺地，需要200块。如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要多少块？（用比例解决问题） 【答案】50块 【分析】根据题意可知，每块地砖的面积×块数＝总面积（一定），每块地砖的面积和块数成反比例，先统一单位，据此设如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要块，列方程为，然后解出方程即可。 【详解】0.6米＝60厘米     解：设如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要块。          答：需要50块。 24．张叔叔加工一批零件，计划每小时加工25个，6小时完成，实际工作效率提高20%，实际多少小时可以完成？（用比例知识解答） 【答案】5小时 【分析】已知计划每小时加工25个，实际工作效率提高20%，把计划工作效率看作单位“1”，则实际工作效率是计划的（1＋20%），单位“1”已知，用计划工作效率乘（1＋20%），即是实际工作效率； 根据题意可知，加工这批零件的工作总量不变，即工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，则工作效率与工作时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：实际x小时可以完成。 25×（1＋20%）×x＝25×6 25×1.2×x＝150 30x＝150 x＝150÷30 x＝5 答：实际5小时可以完成。 思维拓展 25．某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 【答案】生产螺栓的工人12名，生产螺母的工人16名 【分析】可以设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名；则生产的螺栓有12x个，生产的螺母有18×（28－x）个；因为1个螺栓配2个螺母，即螺栓与螺母的数量比是1∶2，可以据此列一个比例式，即生产螺栓的数量∶生产螺母的数量＝1∶2，解比例即可。 【详解】解：设生产螺栓的工人有x名，生产螺母的工人有（28－x）名。 12x∶18×（28－x）＝1∶2 18×（28－x）＝12x×2 504－18x＝24x 504－18x＋18x＝24x＋18x 42x＝504 42x÷42＝504÷42 x＝12 28－12＝16（名） 答：生产螺栓的工人12名，生产螺母的16名，才能使螺栓和螺母正好配套。 26．在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 【答案】小时 【分析】由题意可知，一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时，根据灯泡亮的时间与电池毫安数成正比，可用1000÷5求出比值200，再用电池毫安数除以比值可求出灯泡亮的时间；题目中小明用了一个1500毫安的电池的时候，是在电路中串联了两个相同的灯泡，即1500毫安的电量要平均分给两个灯泡使用，可用1500除以2，得到供每个灯泡使用的电池毫安数，再除以比值200，即可得解。 【详解】 （小时） 答：每个灯泡可以亮小时。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册解决问题 专题04：比例 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题判关系：找出题目中相关联的两种量，分析它们的变化规律，判断成正比例还是反比例；涉及比例尺时，明确图上距离和实际距离的关系。 2、设未知数列式：正比例关系列比值相等的比例式，反比例关系列乘积相等的比例式；比例尺问题直接套用公式。 3、解比例/计算：根据比例的基本性质（内项积=外项积）解比例，或代入公式计算，注意单位统一。 4、验证作答：检查比例关系判断是否正确，计算结果是否符合实际，规范写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：正比例的实际应用 1、核心技巧 （1）正比例的判定条件 ①两种量相关联：一种量变化，另一种量也随之变化； ②比值（商）一定，即一定。 （2）常见正比例关系： ①速度一定，路程与时间成正比例； ②单价一定，总价与数量成正比例； ③工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。 （3）解题公式： 2、解题步骤 （1）判断正比例关系：找出两种相关联的量，验证它们的比值是否一定。 （2）设未知数：设要求的量为x，明确各量对应的数值。 （3）列比例式：根据比值相等，列出正比例方程。 （4）解比例：利用比例的基本性质（内项积=外项积）求解。 （5）验证并作答：检查比值是否一致，确认答案合理性。 考点2：反比例的实际应用 1、核心技巧 （1）反比例的判定条件 ①两种量相关联：一种量变化，另一种量随之反向变化； ②乘积一定，即xy＝k（一定）。 （2）常见反比例关系： ①路程一定，速度与时间成反比例； ②总价一定，单价与数量成反比例； ③工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例。 （3）解题公式：x1×y1=x2×y2 2、解题步骤 （1）判断反比例关系：找出两种相关联的量，验证它们的乘积是否一定。 （2）设未知数：设要求的量为x，标注已知量的对应值。 （3）列比例式：根据乘积相等，列出反比例方程。 （4）解比例：通过计算乘积、除法运算求解。 考点3：比例尺的实际应用 1、核心技巧 （1）比例尺的定义：＝比例尺 【注意】比例尺是一个比，没有单位；图上距离和实际距离单位需统一。 （2）公式推导 ①图上距离=实际距离×比例尺 ②实际距离=图上距离÷比例尺 （3）比例尺类型：数值比例尺、线段比例尺。 2、解题步骤 （1）统一单位：将图上距离和实际距离的单位换算一致（通常把大单位换算成小单位）。 （2）判断比例尺类型：若是线段比例尺，先转化为数值比例尺。 （3）明确求解目标：确定是求图上距离、实际距离还是比例尺。 （4）代入公式计算 ①求比例尺：图上距离÷实际距离； ②求图上距离：实际距离×比例尺； ③求实际距离：图上距离÷比例尺。 考点1：正比例的图像问题 【典型例题】如图是张叔叔骑摩托车从甲地到乙地所行驶的路程与所用时间的关系图，看图回答下列问题。 （1）从甲地到乙地的路程是________千米，张叔叔行驶了________小时。 （2）张叔叔行驶的路程和时间成________比例。 （3）张叔叔行驶70千米，用了________分钟。 （4）照这样的速度，张叔叔行驶小时能行驶多少千米？ 【练习1】下面是某种弹簧秤弹簧所挂物体的质量与伸长长度的情况。 所挂物体质量/g 20 30 40 50 60 弹簧伸长长度/cm 1 1.5 2 2.5 3 （1）写出2组所挂物体质量与对应弹簧伸长长度的比，并判断写出的比能否组成比例。 （2）在图中描出表示物体质量和对应弹簧长度的点，然后按顺序连起来。 （3）在弹性范围内，所挂物体质量与弹簧伸长长度成（     ）关系，因为：________________________。 （4）如果所挂物体质量是200克，弹簧伸长长度是多少厘米？ 【练习2】下面是某一银行存一年定期，不同金额的本金和对应利息的情况。 （1）看图填表。 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 720 （2）本金和利息成（     ）比例关系。 （3）如果本金是8万元，那么在这家银行定期存款一年，连本带息一共可以拿回多少钱？ 考点2：正比例的实际应用 【典型例题】在科学课上，科学老师带领学生完成了小孔成像的实验。实验中，他们将一块带有小孔的木板放置在蜡烛和光屏之间，蜡烛火焰在光屏上形成了倒立的图像。在实验中验证了一个结论：小孔成像时，光屏上图像的高度与蜡烛火焰实际高度之比等于光屏到木板的距离与蜡烛到木板的距离之比，即。 （1）根据图上的数据，光屏上烛焰图像的高度是多少厘米？ （2）如果想在光屏上呈现出9厘米的烛焰图像，在不移动蜡烛和木板位置的前提下，需要将上图的光屏靠近木板还是远离木板？需要移动的距离是多少厘米？ 【练习1】重庆千厮门大桥是全国著名网红景点洪崖洞夜景最佳观赏点。该大桥全长1647米，平平和安安分别从大桥两端相向而行，安安先走一段距离后，平平再从桥的另一端出发。已知平平、安安的速度比是3∶2，相遇时，他们所走的总路程比是4∶5，安安先走了多少米？（用比例知识解答） 【练习2】小红的身高是1.2米，她直直的站立在操场上，测得她的影子长是2米。如果在同一时间、同一地点，测得一根直立在操场上的竹竿的影子长是3米，这根竹竿的高是多少米？（用比例解） 考点3：反比例的实际应用 【典型例题】机床厂要加工一批机床，原计划每天加工80台，15天完成任务。由于技术革新，实际每天比原计划多加工50%，实际用多少天完成任务？（用比例解） 【练习1】一间教室的地面，如果用边长8分米的正方形地砖铺，需要108块。如果改用长1.2米、宽6分米的长方形地砖铺，需要多少块？（不计损耗） 【练习2】王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 考点4：比例尺的实际应用 【典型例题】在一幅比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的公路长是6厘米。如果一辆汽车以每小时100千米的速度从甲城市开到乙城市，需要多少小时？ 【练习1】坐地日行八万里，巡天遥看一千河。巡天空间望远镜，就好像一座在轨飞行的移动式空间天文台，可以避开大气干扰，展开前沿天文探索，被称为“中国哈勃”。我国计划于2024年发射巡天望远镜。图片中的巡天望远镜立起来后的高度为28厘米，它的高度与实际的高度比为1∶50，那么巡天望远镜的实际高度为多少米？ 【练习2】学校一个长是2.5毫米、宽是1.5毫米的长方形精密零件，将它画在比例尺是30∶1的图纸上，图上周长是多少厘米？ 夯实基础 1．有两个相关联的量，它们的关系可以用如图表示，这两个量可能是（     ）。 A．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高。 B．《小学生学习报》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。 C．一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。 2．把一个长2mm的手机零件画在图纸上，要使制造工人看得清，应选择合适的比例尺是（     ）。 A．10∶1 B．1∶10 C．1∶100 3．一个圆形花坛，按1∶1000缩小后画在图纸上，直径是2cm，花坛的实际占地面积是（     ）m2。 A．6.28 B．3.14 C．314 4．在一个比例尺是200∶1的图纸上，量得一个零件的长是2厘米，这个零件实际长（     ）。 A．4米 B．0.1毫米 C．0.4毫米 5．幸福小学的圆形花坛，按1∶100缩小后画在图纸上，直径是2cm。花坛的实际占地面积是（     ）m2。 A．3.14 B．6.28 C．12.56 6．一列火车从甲地开往乙地，9小时行驶720km，距离乙地还有240km。照这样的速度行完全程还需要几小时？如果设还需要x小时，列式正确的是（     ）。 A． B． C． 7．某学校教学楼的长为66米，宽12米，把它画在比例尺是1∶300的学校平面图上，教学楼的宽在图上距离是（ ）厘米。 8．一幅地图的比例尺是1∶4000000，这幅地图上两个城市之间的距离是26厘米，那么这两个城市之间的实际距离是（ ）千米。 9．将一个底是3厘米，高是2厘米的三角形，按3∶1放大画在图上，画在图上的这个三角形面积是（ ）平方厘米。 10．某品牌自行车前齿轮数为48，后齿轮数为16，车轮直径为0.7m，蹬一圈自行车前进（ ）m。 11．一幅地图的比例尺是，把它改成数值比例尺是（ ）。中国66号公路，又称“草原天路”，是中国十大最美公路之一。在这幅地图上量得这条公路的长度是1.5cm，这条公路的实际长度是（ ）km。 12．王丹阳一家去曲阜尼山书院游玩，他们并排站着拍了一张全家福照片。王丹阳身高1.65米，照片上王丹阳的身高是5.5厘米。爸爸身高1.86米，照片上爸爸的身高是（ ）厘米。 13．甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。 14．陈老师自驾游，她在一幅比例尺为1∶7000000的地图上量得出发地与目的地之间的公路长是5厘米，两地之间的公路长实际是（ ）千米。 15．笑笑买4本笔记本花了5.4元，乐乐买了5本同样的笔记本，需要花多少钱？ （1）题目中相关联的两个量是（ ）和（ ）。 （2）根据“买5本同样的笔记本”可知，笔记本的（ ）一定，所以买笔记本花的总钱数和对应的本数成（ ）比例关系。 （3）用比例的知识解答，解：设需要花x元，列出比例式为：（ ）。 16．看图填空。 （1）观察上面图象，甲汽车行驶的路程与相应耗油量成（ ）比例关系。 （2）在比例尺是1∶8000000的地图上量得A城到B城的距离是4厘米，A城到B城的实际距离是（ ）千米。 （3）李叔叔驾驶甲汽车从A城到B城，如果甲汽车的油箱装了40升汽油，中途（ ）（填“需要”或“不需要”）加油。 17．一杯盐水，盐占盐水的，加入10g盐后，盐与盐水的比为3∶7，原盐水有（ ）g。 培优拔高 18．小明从一幅比例尺是1∶12000000的地图上量得他家到北京的距离是4厘米，他家到北京的实际距离是多少千米？ 19．在“运动场上的数学”主题活动中，六年级（1）班第5小组测量了跳远场地的沙坑。下面是他们画出的沙坑底面平面图。沙坑底面的实际面积是多少？ 20．一列货车前往灾区运送救灾物资，2小时行驶了160千米。从出发地点到灾区有480千米，照这样的速度，还需要几小时到达灾区？（用比例解） 21．在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲乙两地的距离是6厘米，一辆小轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时开出，小轿车每小时行驶110千米，货车每小时行驶90千米，几小时后两车相遇？ 22．笔墨纸砚是我国独有的文书工具，被称为“文房四宝”，其中墨锭的制作过程最为繁杂。王叔叔根据教程自己制作墨锭，12克墨锭能磨出墨液240毫升。如果想磨出600毫升墨液，要制作多少克的墨锭？ 23．随着村民收入水平提高，福福家搬了新家。装修其中一间卧室时，如果用边长30厘米的正方形地砖铺地，需要200块。如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要多少块？（用比例解决问题） 24．张叔叔加工一批零件，计划每小时加工25个，6小时完成，实际工作效率提高20%，实际多少小时可以完成？（用比例知识解答） 思维拓展 25．某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？ 26．在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $