7.1.2 两条直线垂直 寒假自学练-2025-2026学年下学期初中数学人教版七年级下册

7.1.2 两条直线垂直 一、单选题 1．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 3．过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 4．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 5．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离（　　） A．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3 6．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线，相交于点，下列条件：①；②；③，其中能说明的有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（　　） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 10．以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定 D．弯曲河道改直 二、填空题 11．如图，，， 为垂足，若 ，则 ． 12．如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 13．在直线上任取一点O，过点O作射线、，使得，如果，那么的度数为 ． 三、解答题 14．如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 15．如图，直线、相交于点，； (1)若，证明：； (2)若，求的度数． 16．根据下列要求画图： (1)画直线； (2)画线段交直线于点E； (3)点P是直线上的一动点，且的长度最小，画出点P的位置． 17．如图，射线OC端点O在直线AB上，，OE平分． (1)当时，求的度数； (2)OC与OE有怎样的位置关系?为什么？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D A B A D B A 1．A 本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 2．B 根据垂线的性质解答即可． 解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1． 故选：B． 本题主要考查了垂线的性质，理解性质是解题的关键．即在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3．A 本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 4．D 本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 5．A 本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答． 解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 6．B 本题考查垂直的定义，角的和差运算，根据垂直的定义可得，再根据即可求解． 解：，， ， 又， ， 故选B． 7．A 此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 解：①，可以得出； ②，， ，可以得出； ③，不能得到； 故能说明的有①②． 故选：A． 8．D 本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．B 本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，平角的定义，直线，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别；根据平行线、垂线的性质，角和直线的概念逐一判断可求解 解：A、应强调在同一平面内，错误； B、同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确； C、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，错误； D、过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误； 故选：B． 10．A 本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 11． 本题考查了垂直的定义，角的和差，熟练掌握是解题的关键． 根据垂直的定义得到，得到，根据，，即得． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．①③④ 根据角平分线的定义，垂直的定义，逐一判断即可得出结论． 本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键． ①∵是的平分线 ∴，故①正确； ②∵ ∴ ∴，故②错误； ③∵、分别是和的平分线 ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 故答案为：①③④． 13．或 本题考查垂线的定义，几何图形中的角度计算．分类讨论，再画出图形是解题关键．分类讨论：①当C、D在直线的同侧时和②当C、D在直线的异侧时，分别求解即可． 解：分类讨论：①当C、D在直线的同侧时，如图①， ∵， ∴． ∵， ∴； ②当C、D在直线的异侧时，如图②， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 14．(1) (2) 本题考查垂直的定义，平角的定义，邻补角互补，有关角平分线计算，解题的关键是熟练掌握几种角的关系． （1）根据因为平分，，得到的度数，结合得到，即可得到答案； （2）因为，设，则，根据，解出x的值，根据角平分线定义结合平角定义得到． （1）解：平分，， ， ， ． （2）， 设，则． ， ，解得， ． 平分， ． ， ， ． 15．(1)见解析 (2) 此题主要考查了垂直的定义，角的运算，正确把握垂直的定义是解题关键． （1）利用垂直的定义得出，进而得出答案； （2）根据题意得出的度数，即可得出的度数． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 本题考查了画射线，画直线，画垂线，掌握射线、直线、垂线的性质是解题的关键． （1）根据题意画直线； （2）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （3）过D点作的垂线，垂足为P点，根据垂线段最短可得到P点满足条件． （1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 17．(1)； (2)，见解析． （1）解：∵∠AOC=100°，， ∴， ∴∠BOD=， ∵OE平分， ∴∠BOE=； （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵OE平分∠DOB， ∴， ∴， ∴． 本题考查了与角平分线有关的计算，垂直的定义等知识，熟知角平分线的定义，并根据图形特点进行角的计算是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $