精品解析：陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

陕西师大附中2025—2026学年度第一学期 期末考试七年级数学试题 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 泉州湾跨海大桥采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，实现了30年超长防腐寿命的突破．石墨烯是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，它的理论厚度仅有约，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校6000名学生的体重情况，从中抽查了400名学生的体重，则下面说法不正确的是（ ） A. 6000名学生的体重是总体 B. 每个学生的体重是个体 C. 400是所抽取的样本 D. 此调查属于抽样调查 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，，是三个海上观测站，在灯塔北偏西方向上，在灯塔正东方向上，在的平分线上，则在灯塔的（ ） A. 北偏东方向 B. 北偏西方向 C. 北偏东方向 D. 北偏西方向 6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 数轴上，有理数、、、的位置如图，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 0 8. 下列说法中错误的有（ ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段；⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（ ）     A. B. C. D. 10. “以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（ ） A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分） 11. 代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 12. 如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则的值为_______． 13. 已知，则___________． 14. 时钟3点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于_______． 15. 若是完全平方式，则m的值为______． 16. 如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于________． 17. 在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为______． 三、解答题（共7小题，共49分） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解下列方程： （1）． （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 尺规作图：如图，以C为顶点，射线为一边，利用尺规作，使得．（要求：作出任意一个即可，不写作法，保留作图痕迹） 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在七年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图． （2）A组人数占本次调查人数的百分比_______；在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为_______． （3）若该校七年级共有1000名学生，请你估计七年级每天完成书面作业时间大于75分钟的学生有多少人？ 23. 为了让老年人能享受到高品质的生活服务，某市持续推动适老改造项目，计划安装一批无障碍通道扶手．现有甲、乙两安装组，甲组每天安装6套，乙组每天比甲组多安装3套，甲组单独安装这些扶手比乙组单独安装多用12天，需要安装的无障碍通道扶手共有多少套？ 24. 如图，线段，延长线段到点C，使，反向延长线段到点D，使，点E为的中点，点F为的中点，求线段的长． 25. 【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图①，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 （1）如图②，，若射线是射线的伴随线，则______，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是____；（用含的代数式表示） （2）如图③，，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025—2026学年度第一学期 期末考试七年级数学试题 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 泉州湾跨海大桥采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，实现了30年超长防腐寿命的突破．石墨烯是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，它的理论厚度仅有约，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故选：D． 3. 为了解某校6000名学生的体重情况，从中抽查了400名学生的体重，则下面说法不正确的是（ ） A. 6000名学生的体重是总体 B. 每个学生的体重是个体 C. 400是所抽取的样本 D. 此调查属于抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．我们在区分总体、个体、样本，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，易判断该题是抽样调查． 【详解】解：A、6000名学生的体重是总体，故选项正确，不符合题意； B、每个学生的体重是个体，故选项正确，不符合题意； C、400名学生的体重是所抽取的样本,故选项错误，符合题意； D、此调查属于抽样调查，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、抽样方式，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法和平方差公式． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，D正确； 故选：D． 5. 如图，，，是三个海上观测站，在灯塔北偏西方向上，在灯塔正东方向上，在的平分线上，则在灯塔的（ ） A. 北偏东方向 B. 北偏西方向 C. 北偏东方向 D. 北偏西方向 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角，角平分线的定义，根据方位角的定义求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在灯塔北偏西方向上，在灯塔正东方向上， ∴， ∵在的平分线上， ∴， ∴在的平分线上，北偏东方向， 故选：A． 6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据孩童人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选B． 7. 数轴上，有理数、、、的位置如图，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，利用数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，则有，，，再利用绝对值的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， ∴ ． 故选：C． 8. 下列说法中错误的有（ ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段；⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点的定义、两点之间线段最短、多边形对角线条数问题、线段的和差计算，根据线段中点的定义可判断①；根据两点之间，线段最短可判断②；根据两点间的距离的定义可判断③；根据线段的和差关系和线段中点的定义可判断④；从n边形的一个顶点出发可以作条对角线，据此可判断⑤． 【详解】解：①如果，那么当点C在线段上时，点C为线段的中点，原说法错误； ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度的数学原理为：两点之间，线段最短，原说法错误； ③连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，原说法错误； ④点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段，原说法正确； ∵点M、N分别是线段的中点， ∴， ∴， ∴； ⑤从多边形一个顶点出发可以作6条对角线，则这个多边形是九边形，原说法正确． ∴说法错误的有①②③，共3个， 故选：B． 9. 如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的体积计算，明确侧面展开图的长、宽与圆柱底面周长、高的对应关系是解题关键． 侧面展开图的宽为圆柱B的底面周长，侧面展开图的长为圆柱B的高，再根据圆的面积公式、圆柱的体积公式列式求解． 【详解】解：根据题意， 圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为， 圆柱B的底面积为， 圆柱B的体积为． 故选：C． 10. “以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（ ） A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，：设，则可得到，根据得到，根据长方形的面积公式得到，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∵重叠部分是面积为8的长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 故选：B． 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分） 11. 代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 12. 如图是一个正方体的表面展开图，若该正方体相对面上的两个数互为相反数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，代数式求值，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据正方体的展开图得出相对面的对应关系，从而求出、、的值，再代值计算即可求出结果． 【详解】解：该正方体相对面上的两个数互为相反数， ，，， ，，， ， 故答案为：． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用． 逆用同底数幂的除法得到，逆用幂的乘方得到，进而将代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 时钟3点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查钟面角的计算，时钟3点30分时分针指向数字6，求出数字3和数字6与表盘中心的夹角，再减去时针30分钟所转的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴时钟3点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于， 故答案为：． 15. 若是完全平方式，则m的值为______． 【答案】0或6##6或0 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式的结构特征． 根据完全平方式的结构特征，分情况讨论，求解m即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为， ∴该式可写为或， 当，即，解得； 当，即，解得； 故答案为：0或6． 16. 如图，是的平分线，射线在内部，平分，已知，那么的大小等于________． 【答案】41 【解析】 【分析】本题考查角的计算，正确发现角与角之间的关系是解题的关键． 根据题意易得，和，进而通过角与角之间的关系得到，从而得到的大小． 【详解】解：平分， ， ， 是的平分线， ， ， 即， ， ， 故答案为：41． 17. 在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 三、解答题（共7小题，共49分） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，进一步变形为，据此计算求解即可； （2）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为”的步骤解答即可； （2）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为”的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据 除以单项式运算法则，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 尺规作图：如图，以C为顶点，射线为一边，利用尺规作，使得．（要求：作出任意一个即可，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，和即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图中“作一个角等于已知角”，解题的关键在于掌握“作一个角等于已知角”的尺规作图原理与步骤． 先以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于两点，然后以为圆心，同样的半径画弧，交于一点，以处弧与的交点为圆心，以处弧在，上两交点之间的线段长度为半径画弧，两弧交于一点，连接点和两弧交点，即可得到一个与相等的角，同理可在的另一侧画出． 【详解】略 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在七年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图． （2）A组人数占本次调查人数的百分比_______；在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为_______． （3）若该校七年级共有1000名学生，请你估计七年级每天完成书面作业时间大于75分钟的学生有多少人？ 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示， （2）； （3）450人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数，再计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整． （3）根据组人数和求出的总人数，即可计算组所占的百分比；用360度乘以B组的人数占比即可求出对应的圆心角度数． （3）用1000乘以样本中七年级每天完成书面作业时间大于75分钟的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为：（人）． ∴组的人数为：（人）． 【小问2详解】 解：组人数占本次调查人数的百分比为； 扇形统计图中，组所对应的圆心角度数为：． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：人， 答：估计七年级每天完成书面作业时间大于75分钟的学生有450人． 23. 为了让老年人能享受到高品质的生活服务，某市持续推动适老改造项目，计划安装一批无障碍通道扶手．现有甲、乙两安装组，甲组每天安装6套，乙组每天比甲组多安装3套，甲组单独安装这些扶手比乙组单独安装多用12天，需要安装的无障碍通道扶手共有多少套？ 【答案】216套 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设需要安装的无障碍通道扶手共有S套，则甲单独安装的时间为天，乙单独安装的时间为天，根据甲组单独安装这些扶手比乙组单独安装多用12天建立方程求解即可． 【详解】解：设需要安装的无障碍通道扶手共有S套， 由题意得，， 解得， 答：需要安装的无障碍通道扶手共有216套． 24. 如图，线段，延长线段到点C，使，反向延长线段到点D，使，点E为的中点，点F为的中点，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出线段的长，再求出线段的长，则可求出线段的长和线段的长，再由线段中点的定义求出线段的长，最后由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴ ∴． 25. 【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图①，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． 【知识运用】 （1）如图②，，若射线是射线的伴随线，则______，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是____；（用含的代数式表示） （2）如图③，，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当t为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中的任意一条射线的伴随线． 【答案】（1）； （2）①存在，t的值为15或30 ②t为12秒或秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了伴随线概念、角的和差运算以及方程思想的应用，熟练掌握伴随线定义，准确分析角之间的数量关系并合理运用方程求解是解题的关键． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵射线是射线的伴随线， ∴， ∵， ∴ 解得， ∵射线是射线的伴随线， ∴， ∴ 解得， ∵射线是的平分线， ∴， ∴ ， 故答案为：40，； 【小问2详解】 解：当射线与重合时，（秒）， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， 解得； 若在相遇之后，则， 解得； ∴综上所述，当t的值为15或30时，的度数是． ②相遇之前：如图1， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图2， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 相遇之后：如图3， 是的伴随线时，则， 即， 解得， 如图4， 是的伴随线时，则， 即， 解得（舍去）， ∴综上所述，当t为12秒或秒或秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $