极值点偏移问题讲义-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学极值点偏移问题，先明确极值点左移、右移的定义，再通过对称构造法（针对不同结论构造函数）和比值代换法（代换化为单变量不等式）构建解题路径，结合例题与强化训练形成完整学习支架。 该资料以问题驱动，通过对称构造与比值代换培养数学思维（推理、运算能力），例题设计引导学生用数学眼光抽象问题本质，强化训练助力用数学语言表达证明过程。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固方法，弥补解题盲点。

极值点偏移问题 若对于函数，有，是函数的极值点，且，则有： ①若，称为极值点右移； ②若，称为极值点左移； · 对称构造法 对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． 【例1.】 已知函数 （1）求函数的极值； （2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，求证： 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、求已知函数的极值 【分析】（1）直接利用导数求函数的单调性，极值； （2）由时，，结合（1）中极值，可设，要证，需证，由，，且在是单调递减函数，即只需证：，即只需证，再构造函数，，利用导数证得即可. 【详解】（1）∵，∴ 变化时，与变化情况如下 －1 － 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ∴当时，有极小值为 ∴极小值为，无极大值. （2）由时，，设，由（1）知，， 欲证：，需证： 由，，且在是单调递减函数 即证： ∵，即证： 令，， 当时，，∴单调递增 ∴，∴时， 由时，∴，∴，得证 【例2.】 已知函数有两个不同的零点.求证：. 【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】导数中的极值偏移问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数可得在处取得极小值，设，要证明，只需证，构造函数，求导证明即可. 【详解】定义域为， ，所以在上单调递减. ，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 又， 所以先保证必要条件成立，即满足题意. 当时，； ， 由以上可知，当时，有两个不同的零点. 由题意，设，要证明，只需证明. 因为在上单调递减，且， 只需证. 又，即只需证， 构造函数， 因为， 所以 ，， 则， 所以在单调递减， 所以. 因为，所以，成立，即， 所以. 【例3.】 已知函数有两个不同的零点，其极值点为． (1)求a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：； (4)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】(1)求导，利用倒数和零点的关系即可得； (2) 由所证结论知这是的极值点偏移问题，选取函数，按对称化构造的三个步骤来解答．构造函数，将，相加得． (3) 由所证结论可以看出，这不再是的极值点偏移问题．回到题设条件,构造函数,给定的范围; (4)借助(1)(2)(3)给定或的范围均可， 【详解】（1）． 若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去； 故，得在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，． 要使有两个不同的零点，则必须有，得． （2）（ⅰ）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，不妨设． （ⅱ）构造函数， 则， 当时，，有． （ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得， 又，，在上单调递增， 故，即． （3）解法1：， 记函数，则有， 求导得，则1是的极小值点． 我们选取函数来证，同时也可证． （ⅰ）易知在，上单调递减，在上单调递增，与x的符号相同． 当时，；当时，，当时，． 由，不妨设． （ⅱ）构造函数， 则． 当时，，但因式的符号不容易看出， 再引进辅助函数，则，得在上单调递减， 当时，，即， 则，即，从而， 得在上单调递减，有，即． （ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得， 又，，在上单调递增，故，即. 解法2：， 记函数，则有． （ⅰ）， 在上单调递减，在上单调递增，有极小值． 当时，；当时，． 不妨设． （ⅱ）构造函数， 则． 当时，，，，则，在上单调递减， 有，即． （ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得， 又，，在上单调递增，故，即． （4）解法1：（ⅰ）同（3）（ⅰ）． （ⅱ）构造函数， 则． 当时，，但因式的符号不容易看出， 引进辅助函数，则． 当时，，得在上单调递增，有， 则，得在上单调递增，有，即． （ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得， 又，，在上单调递增，故，即． 解法2：（ⅰ）同（3）（ⅰ）． （ⅱ）构造函数， 则． 当时，，在上单调递增，有， 即． （ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得， 又，，在上单调递增，故，即． 【例4.】 已知，当时，若有两个极值点，求证：. 【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】函数极值点的辨析、函数单调性、极值与最值的综合应用、导数的运算法则、利用导数证明不等式 【分析】 求出导函数，由题意可得，构造函数，利用导数判断其单调性，继而构造函数，证明在上恒大于，即可得，取，结合的单调性，即可证明结论； 另解：由题意得，构造函数，利用导数判断其单调性，求出，由对数均值不等式得，即可证明结论. 【详解】当时，，定义域为， ，， 则，令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 结合图象，不妨设， 令，下证恒成立， ， 设， ， 所以在上单调递增，， 所以在上恒大于，即在上恒大于， 所以， 取，则，而， 所以，即. 另解：当时，，， 因为有两个极值点， 所以，即，从而， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以， 又因当且无限接近于0时，趋向于负无穷，当趋向于正无穷大时，无限趋近于0， 所以，由对数均值不等式得， 从而，所以. 【例5.】 已知函数的最小值为. (1)求实数的值； (2)若有两个不同的实数根，求证：. 【答案】(1)1； (2)证明见解析. 【难度】0.15 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合最小值求参数值即可； （2）根据题设及导数判断的单调性及区间符号，进而有，根据极值点偏移，构造并利用导数研究上的单调性，证明，再记函数与和交点的横坐标分别为，结合导数证得、，有，即可证结论. 【详解】（1）因为，令，可得， 当时单调递减；当时单调递增. 所以，所以. （2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，    所以， 先证明. 记，则， 当时，，所以单调递减， 所以当时，，即， 故，即. 又，由单调性知：，即. 再证明. 记函数与和交点的横坐标分别为. ①当时，，故，所以，. （或：的图象在的图象的下方，且两个函数在上都是减函数） ②当时，记，所以. 当时单调递减；当时单调递增. 又，当时，，即. 故 所以，故. （或的图象在的图象的下方，且两个函数在上都递增） 综上，. · 比值代换法 通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换(含对数式时常用)或(含指数式时常用)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 【例6.】 函数的两个极值点、满足，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、导数中的极值偏移问题 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】由得， 由得， 因为函数两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 所以，所以，故的最大值为. 故答案为：. 【例7.】 已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)若函数有两个不同极值点，证明：. 【答案】(1)的最大值为，无最小值. (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式 【分析】（1）对函数求导，根据函数与导数的关系判断即可求出最值； （2）利用极值点条件，结合对数运算和不等式证明乘积下限. 【详解】（1）当时，对函数求导可得. 令，解得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因此，在处取得最大值，最大值为，无最小值. （2）函数 对求导可得 令，得到. 设是的两个根，则①，② ①-②得③；①+②得④. ③④得， 即， 不妨设，令则， 即. 要证，即证， 即证，即证，即证，即证. 设，对求导可得 恒成立，故在上单调递增， 即故成立，即成立. 【例8.】 已知函数． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据题意，将问题转化为在时恒成立，构造函数（），求得其最大值，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后构造函数设（），由其单调性即可证明. 【详解】（1）由，得， 因为在上单调递减， 所以即在时恒成立， 令（），则， 可知，时，，单调递增；时，，单调递减， 故时，在上取得极大值，也即为最大值． 所以，，得， 故在上单调递减时，的取值范围是． （2）由（1）知，， 当时，，单调递增，显然不满足题意； 当时，由（1）易知，，此时有两个异号零点，满足题意； 因为函数有两个极值点，，则有两个零点，， 不妨设，于是 则，， 于是． 令，则，， 设（），则， 故函数在上单调递增，则，则， 所以，即． 【例9.】 已知，若，，且，证明：. 【答案】证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】由，可得，即有，令 ，，将问题转化为证明，利用导数确定函数的单调性及极值，进而转证， 构造，利用导数证明即可. 【详解】证明： 等价于， 即， 等价于， 即， 令，， 要证明，即证， 因为， 所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 作出函数的图象，如图所示： 令， 易知. 只需， 要证， 故需构造， ，， ， 由于， 故只需证明， 构造， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以单调递增，故， 命题得证. 【例10.】 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若方程有两个不相等的实数根，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）对函数求导，利用导数求函数的单调区间； （2）换元后化为，构造，求导后得到其单调性，只需证明，变形得到，令，，，则只需证即可，求导得到单调性，证明出结论. 【详解】（1）由题可知，定义域为R，则有， 令，则，可知当，，则单调递减； 可知当，，则单调递增； 综上所述，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）证明：等价于， 令，其中，则，显然，所以. 令，则，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为. 因为方程有两个不相等的实数根， 所以关于t的方程有两个不相等的实数根，，且，. 要证， 即证，即证，只需证. 因为所以整理可得 不妨设，则只需证，即证. 令，，，则只需证即可. 因为，所以在上单调递增， 所以， 故. 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 【例11.】 已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 【答案】证明见解析 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、导数中的极值偏移问题 【分析】先换元，即证，分别构造函数来证明即可. 【详解】因为，有两个零点，， ， 令，则， 即证明，即证， 设， 由于，即， 左边即证， 即证， 设，则，单调递增， 则当时，，即成立，故. 要证， 即证即, 而, 故即证， 即证：， 令，即证：. 则， 设， 则， 设，则， 设，则，其， 而，故在为减函数， 而，，故存在， 使得时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，且， 故，故即恒成立， 故在上为减函数，而， 故当时，即，时，即， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故（不恒为零），故为减函数， 故，即， 即得证. 【强化训练】 1. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点、由函数的单调区间求参数 【解析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出； （2）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决． 【详解】解：（1）∵，函数在区间上单调递增 ∴在恒成立， ∴， ∴； （2）证明：不妨设， ∵，∴， ， 可得， ， 要证明，即证明，也就是证， ∵，∴即证明：， 即， 令，则，于是． 令，，则， 故函数在上是增函数，∴， 即成立． ∴原不等式成立． 2. 已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； （2）要证明，即证，只需要证，即证，令，根据导函数求其单调性，然后证明即可. 【详解】（1）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，， 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （2）由（1）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，， 即，故， 即，所以. 3. 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、导数中的极值偏移问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令，根据的单调性以及，得出，然后令，， 通过二次求导证明出，结合即可得证. 【详解】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 4. 已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.15 【知识点】导数中的极值偏移问题 【分析】求函数导数，由函数存在极值点得到，，代入需要证明的不等式中并分离常数得到不等式，再由得到的代数式，从而建立不等式，通过换元后构造函数，并求导数，从而得到函数的单调性，从而知道的最值，然后证明不等式成立. 【详解】． 因为有两个不同的极值点，所以，. 欲证，即证，又， 所以原式等价于①． 由， 得②． 由①②知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即. 5. 已知函数有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求出导函数，当时，不满足题意；当时，求出函数的单调性，再求出极大值，即可得解； （2）要证，即证，构建函数，即可得证，再证，即证，只需证，即，构建函数，即可得证. 【详解】（1）由题意，， 当时，，函数单调递增，不满足要求； 当时，令，得， + 0 递增 极大值 递减 令，得． 设，于是， 所以在上单调递增，故， 故， 所以由零点存在定理可知，存在，使得； 存在，使得. 故当时，函数有两个不同的零点． （2）由题意，令，且不妨令，则有（*） 两式相减可得，， 要证．即证． （**） 令，则（**）即为． 设，则， 所以在上单调递减，所以，即有 （*）两式子相加得，， 则要证即证，由上式只需证， 即证（***） 令（***）． 设，则， 所以在上单调递增，所以，即有． 故. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 极值点偏移问题 若对于函数，有，是函数的极值点，且，则有： ①若，称为极值点右移； ②若，称为极值点左移； · 对称构造法 对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． 【例1.】 已知函数 （1）求函数的极值； （2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，求证： 【例2.】 已知函数有两个不同的零点.求证：. 【例3.】 已知函数有两个不同的零点，其极值点为． (1)求a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：； (4)求证：． 【例4.】 已知，当时，若有两个极值点，求证：. 【例5.】 已知函数的最小值为. (1)求实数的值； (2)若有两个不同的实数根，求证：. · 比值代换法 通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换(含对数式时常用)或(含指数式时常用)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 【例6.】 函数的两个极值点、满足，则的最大值为 . 【例7.】 已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)若函数有两个不同极值点，证明：. 【例8.】 已知函数． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个极值点，，证明：． 【例9.】 已知，若，，且，证明：. 【例10.】 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若方程有两个不相等的实数根，证明：. 【例11.】 已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 【强化训练】 1. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，，求证：. 2. 已知函数.当时，若函数有两个不同的零点，. (1)求m的取值范围； (2)证明：. 3. 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 4. 已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 5. 已知函数有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $