精品解析：福建泉州市2025—2026学年第一学期学业水平质量监测八年级数学试卷

泉州台商投资区2025—2026学年第一学期学业水平质量监测 八年级数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息． 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．考生答题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 36的平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据平方根的概念，由（±6）2=36，可得36的平方根为±6. 故选A. 2. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可知，故不正确； 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知，故不正确； 根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知 ，故正确； 根据合并同类项法则，可知，故不正确. 故选C. 点睛：此题主要考查了幂的相关性质，解题关键是合理利用同底数幂相乘除的法则，积的乘方，幂的乘方进行计算即可. 3. 为了呼吁大家爱护眼睛，科学用眼，小亮对全班同学的视力进行了调查，他想要表示“近视”“假性近视”“视力正常”“远视”这四类学生各占全班总人数的百分比，选择最适合的统计图是（　） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计图的选择，根据题意知表示“近视”“假性近视”“视力正常”“远视”这四类学生各占全班总人数的百分比，故可选择扇形统计图． 【详解】解：因为小亮对全班同学的视力进行了调查， 他想要表示“近视”“假性近视”“视力正常”“远视”这四类学生各占全班总人数的百分比， 所以选择最适合的统计图是扇形统计图， 故选C． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 同角的余角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形外角的性质、同位角、余角的性质，由对顶角的性质、三角形外角的性质、同位角、余角的性质逐项判断即可得到答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； B、同角的余角相等，故原说法正确，符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，故原说法错误，不符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项计算可得. 【详解】选项A，12+12=（）2； 选项B，22+32≠42； 选项C，42+52≠62； 选项D，62+82≠112； 根据勾股定理的逆定理，只有选项A符合条件， 故答案选A． 考点：勾股定理的逆定理． 6. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 7. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 8. 小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 9. 如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：根据作图过程可知：，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5． 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，角平分线，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法． 10. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接交于点，先证明出为等边三角形，由线段相等，得出为线段的垂直平分线，结合平行线的性质，得，即，易得出的长度，再证明出为等边三角形，可得，最终可求出的长度． 【详解】解：连接交于点，如下图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∵，， ∴为线段的垂直平分线，即， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 比较大小：2_______（填“﹤”，“＝”，“﹥”）． 【答案】﹥ 【解析】 【分析】两个二次根式相比较，被开方数越大的数值也越大，从而可得答案. 【详解】解：根据二次根式可知，2=，由4＞3， 可知＞， 即2＞． 故答案为：＞ 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键． 使用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 13. 实数，，，，中，其中无理数出现的频率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了无理数的定义和频率，熟练掌握相关定义是解题的关键． 先判断每个实数是否为无理数，再计算无理数出现的频率即可． 【详解】解：实数是无理数，是有理数，是无理数，是有理数，是有理数， 因此无理数有2个，总数为5个，频率为． 故答案为： 14. 如图，将两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，它们与一个边长为2的正方形可拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据大正方形面积=2个长方形的面积+1个正方形的面积=10，再开方，即可得出答案． 【详解】解：根据图形可得：大正方形面积=2个长方形的面积+1个正方形的面积=， 大正方形的边长为． 故答案为：． 15. 如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为________． 【答案】18 【解析】 【分析】题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的意义，将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需要爬行的最短路径为， 如图，过点作交的延长线于点D， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴圆柱底面周长为； 故答案为：18． 三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题关键是对于公式法的掌握． （1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因数，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 原式． 19. 先化简，再求值：，其中 ， 【答案】，14． 【解析】 【分析】先根据整式的乘法计算化简，然后代入求值即可. 【详解】解：原式 当时，原式 20. 如图，点、、，在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的方法是解题的关键． 先根据，推出，再证明，运用全等的性质即可证明． 【详解】略 21. “忘记历史就等于背叛，铭记历史才能开创未来”．某校八年级组织开展了一场历史知识竞赛．小凯同学根据名参赛选手的竞赛成绩（满分分）设计了如下统计图表（不完整）． 组别 成绩/分 人数/人 请你根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ，补全条形统计图； （2）请你计算组的同学占参赛选手总人数的比例； （3）在扇形统计图中，组所对应的扇形的圆心角度数为 ． 【答案】（1），条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是数据的统计和分析，牢固掌握统计表和扇形统计图是解题的关键． （1）根据总人数，结合统计表，求出的值，然后补全条形统计图即可； （2）用组的同学人数除以总人数，求出所占的比例即可； （3）由组学生的人数除以总人数再乘以，即可求得所占圆心角度数． 【小问1详解】 解：总人数为40人， 故； 【小问2详解】 解：． 答：组的同学占参赛选手总人数的比例为． 【小问3详解】 解：． 答：组所对应的扇形的圆心角度数为． 22. 如图，在中，，，，垂足点． （1）尺规作图：在线段上，求作一个点，使得； （2）连接，求度数． 【答案】（1） 如图：点E即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质定理等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线与的交点即为所求的点E； （2）由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，是的角平分线，再求出，即可求出，再利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． （2）兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 【答案】（1）①；；②； （2） 证明：反证法：假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． ∵是偶数，矛盾． ∴ ，不可能一个是奇数一个是偶数． 综上所述，假设不成立，故兴趣小组的猜测正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． （1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）运用反证法，完全平方公式，结合题意分类讨论即可． 【小问1详解】 解：观察规律，可得， ① ； ② ； 故答案为：①；；②； 【小问2详解】 略 24. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】（1）；； （2）22 （3）1744 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； 【小问2详解】 解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 25. 已知：是等边三角形，点, 分别在边，上，，交于点，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，为的角平分线，交于点，延长至点，使，连接、． ①求证：； ②试判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：过点作于点，，交的延长线于点，如图2所示： 由（1）可知：， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵于点，， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ， 由（1）可知：， ∴， 在和中， ∴， ∴． ②是等边三角形，证明如下： 由①可知：，， ∵， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角性质的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质先证明，再结合，证明即可； （2）①过点作于点，，交的延长线于点，证明，即可得；②在①的基础上，证明出结合边角的关系，可证明出是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州台商投资区2025—2026学年第一学期学业水平质量监测 八年级数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息． 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．考生答题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 36的平方根是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 为了呼吁大家爱护眼睛，科学用眼，小亮对全班同学的视力进行了调查，他想要表示“近视”“假性近视”“视力正常”“远视”这四类学生各占全班总人数的百分比，选择最适合的统计图是（　） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 同角的余角相等 C. 相等的角是对顶角 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 6. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 比较大小：2_______（填“﹤”，“＝”，“﹥”）． 12. 计算：_______． 13. 实数，，，，中，其中无理数出现的频率是______． 14. 如图，将两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，它们与一个边长为2的正方形可拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______． 15. 如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 16. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为________． 三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 17. 计算： 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中 ， 20. 如图，点、、，在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，．求证：． 21. “忘记历史就等于背叛，铭记历史才能开创未来”．某校八年级组织开展了一场历史知识竞赛．小凯同学根据名参赛选手的竞赛成绩（满分分）设计了如下统计图表（不完整）． 组别 成绩/分 人数/人 请你根据以上信息解答下列问题： （1）填空： ，补全条形统计图； （2）请你计算组的同学占参赛选手总人数的比例； （3）在扇形统计图中，组所对应的扇形的圆心角度数为 ． 22. 如图，在中，，，，垂足点． （1）尺规作图：在线段上，求作一个点，使得； （2）连接，求度数． 23. 阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． （2）兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 24. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 25. 已知：是等边三角形，点, 分别在边，上，，交于点，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，为的角平分线，交于点，延长至点，使，连接、． ①求证：； ②试判断的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $