安徽淮北市2026届高三上学期第一次质量检测数学试卷

准北市2026届高三第一次质量检测 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合A={x∈Z‖x<3},B={1,3,5},则AUB的元素个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知复数z=cos60°+isin60°，则z2+元= A.-1 B.0 C.1 D.2 3。函数)=1十。在A1神经网络中作为微活圆数使用，可提升模型的非线性拟合 能力.下列函数图象中，可以作为(x)大致图象的是 4.已知lna>lnb>0,c>0,则 A.2a<26 B.ab+1>a+b C.log 2>log 2 D.btc<b a+c a 5.已知直线a,b,c和平面x,B,下列表述正确的是 A.若a/b,bCa,则a//a B.若a⊥b,a⊥c,bCx,cCa,则a⊥a C.若acx,bc,al/B,bl/B,则a/BD.若a⊥a,aC阝，则a⊥B 6.记Sn为数列{ 品} 的前n项和.若e>0,N∈N,当n>N时，lSn-<e,则 常数t的值为 A司 B.1 C.2 D.4 7.已知过点P的直线与圆O:x2+y=16交于A,B两点.若△OAB的面积为8，则点 P的坐标可以是 A.(1W2) B.（-√2，V③ 0.(-3,-2) D.(2,-5) 数学试题第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.已知函数f(x)及其导函数'(c)的定义域均为R,若函数f(2x+1)和'(x-2)均 为偶函数，则 Af回)的图象关于直线z=专对称 B.'()的图象关于直线x=2对称 2026 C.3是'(x),的一个周期 D.2f'(3k-2)=0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的逃项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在 [40,90]之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则 A.a=0.005 B.这200名参赛者得分的中位数为64 频率/组距 0.035 C.得分在[60,80)内的频率为0.5 0.03 D.得分在[40,60)内的共有80人 0.02 0.01 405060708090得分/分 (第9题图) 10.已知正四棱锥P-ABCD,AB=2,PA=a,M为棱PC上的动点.则 A.平面PAC⊥平面MBD B.存在a使得△PAB为直角三角形 C.当M为PC中点时，PA/面MBD D.若a=2,球O与四棱锥的所有棱都相切，则球O的表面积为4π 11.将平面向量m绕起点逆时针旋转0角得到的向量记为(m)。,已知向量a1=(1,0), b=(2,0),an+1=(an)牙+b(m∈N),则 A.(m)a)g=(m)28 B.(m+n)e=(m)9+(n)e C.ag=(a1)牙+(b)牙+2b D.la2025l=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.代数式(x2+1)(-1)5的展开式中x2的系数为▲一 13.已知抛物线驴=2的熊点是双曲线C:三-兰=1的右焦点，点P是两曲线的 个公共点，O为坐标原点.若|P列=2OF,则C的离心率为△一， 14,已知点O是△ABC的外心，直线AO与线段BC交于点D.若BD=1,CD= 2,AC=3,则AB=▲ 数学试题第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP D 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，满足： sin A-sinC sin B-sinC b+c (I)求角B; (Ⅱ)若a=1,BA·BC=1,求内角平分线BD的长. 16.(本题满分15分)已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2-4an+1+3an=0. (I)设bn=an+1-an,求证：数列{bn}为等比数列； (Ⅱ)求{an}的通项公式. 17.(本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/CD, ∠BAD=90°，PA=4,AB=2AD=2DC=6,M,N分别为PB,PD的中点. (I)求证：BC⊥平面PAC; (Ⅱ)设PA∩平面MCN=Q,A瓦=λAP. ()求实数入的值； ()求二面角B-CQ-D的正弦值， M ---33 B (第17题图) 数学试题第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 题满分17分已知椭圆：+点=1@>6>0)的短轴长为2，焦距为2 的左焦点F作斜率之和为1的两条直线1和2,1与E交于A,B两点，2与E 交于C,D两点，线段AB,CD的中点分别为P,Q. (I)求椭圆E的标准方程； (Ⅱ)求点P的轨迹方程； (Ⅲ)直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. 19.(本题满分17分)已知函数f(x)=an(x+1)-sinx. (I)若曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=x,求实数a的值； (Ⅱ)当a∈(01)时， (i)证明：f(x)在(0，π)上存在唯一极小值点x1和唯一零点x2; ()在()的条件下，证明：x2<2x1. 数学试题第4页（共4页） 木 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp2026淮北市第一次质量检测参考答案 一、选择题 题号 2 5 4 5 6 7 8 9 10 11 答案C B A B D B D 0 ACD ACD ABD 二、填空题 12.-11 13.W2+1 143v6 2 三、解答题 l5解：(I)由inA-simC=sinB-sinC→ge=b-e→6-c=a-ac b+c a b+c a 故c0sB=2十_b=号进而得到B= 3 .6分 2ac ()由B☑.BC-1→ac0osB=1→c=2.8分 设BD的长为云由S.auc=Sam+Sag→acn昏=6ain若+aain若中g=2 3 6 3 即BD的张为23 ...13分 3 l6.解：（I)由an+2-4an+1+3an=0得：an+2-an+1=3(an+1-an),即b+1=3bn,故{bn}为等 比数列；… .6分 （）b1=a2-01=3,由（I)得bn=33n-1=3.8分 即an+1-an=3m 于是an=(am-an-i)+(a-1-am-2）+…+(a2-a1)+a=a+b1+b2+…+bn-1 =1+3+32+…+3m1=1-3”=3m-1 ...15分 1-3 2 17.（I)证明：以A为原点，以A⑦、AB、AP的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系，则： A00.0.D3.00.C33.0,B0.60.P0.04,M0.3,2.N号0.2 BC=(3,-3,0),AC=(3,3,0),BC.AC=0,即AC⊥BC.3分 又PA⊥面ABCD知PA⊥BC,因此，BC⊥面PAC.… .4分 (II)(1)C☑=(-3,0,2)，面PAD的-个法向量为AB=(0,6,0),显然C☑·AB=0 故CM/W面PAD,而NQ=面PAD∩面MCN,于是CMI/NQ 设Q0.0,.而-(-是.0t2而3t-2)=-号×23t=31= 49分 (ii)由(i)Q(0,0,3),C元=(-3，-3,3)，BC=(3,-3,0),D元=(0,3,0) 设面QCD、面QCB的-个法向量分别为元=(x,,),元=(，，2)则： 含·C设=0今-3a-3+3%=0取=1则=1,4=2即元=，2引吃 71·B乙=03c1-3y=0 C=0-3-3h+32=0,取=1，则h=0,a1=1,即元=(1,0.113分 元·DC=0( 32=0 m侯商爵=石 3= -2 设二面角B-CQ-D的平面角为，则sim6=号，即二面角B-CQ-D的正弦值为号15分 (注：用综合几何法请酌情给分) 18.解：（I)依题意，设E的焦距长为2c,则2c=2,又2b=2,…2分 知a2=+c2=2因此，椭圆E的标准方程为：号十y=1.…3分 （Ⅱ)（方法一）设P(xoo,A(1,),B(x2,2),显然直线1的斜率存在，设l:y=k(x十1），联立 椭圆方程： (1+2k2)x2+42x+2k2-2=0,由韦达定理知： 4k2 2=四+=1十2派→0=1+2水 2然一进而得0二1+22。 6分 当k≠0时，0=-2k,代入上式，化简得：+26+0=0.8分 当k=0时，P(0,0)也满足上式； 叶十21故P点的轨迹方程为：+2对+=0@≠-1)0分 方法=)设P0.Aa5》.则的斜率为1≠-. 且x2+2y2-2=0①x号+2y3-2=0② ②-①得：x2-号+22-2y6=0 若十2≠0，进-步得：-业.+边= 1 6分 x1-D2c1十02 2 即出= c0+1x0 于是6=-o(r0十1 8分 若x1十x2=0,即x=0,此时P(0,0)也满足上式，故P点轨迹方程为： x2+十2y2=0(x≠-1)… ..10分 (Ⅲ)由（IⅡ)知Q点也满足方程x2+22+c=0(x≠-1)，设直线PQ方程： c=ty+m,联立x2+2y2+x=0,消去x得：(t2+2)y2+(2m+1)ty+m2+m=0 t+2,36*为=n2+m 设Q(为)，则6+=-(2m+1t,》 t2+2 12分 由kpr十kQr=1得： 1=”+片=热斤+ yo y3 =y6+m+1)+(t6+m+1) (t0+m+1)(tg+m+1) 2tyo+(m+1)(yo+9) 一t tye6+(m+1)t(0+)+(m+1P92m+D =1,. .16分 即-1=t+m,故直线PQ恒过定点(-1，号) .17分 18解：(I)由f四=aln(z+1-n知，f)=+-cos,于是f0)=a-1-1 解得：Q=23分 ()()f)-十1a-(+1os容易发现，ee[受x小F)>0f@是赠加的， 下面讨论x∈(0，)时的情形，令g(x)=a-(c+1)cos,g(x)=-cos+(x+1sinc,再令 h(c)=-cosx+(x+1)sinx,(c)=2 sina+(c+1)cosx>0,因此g(o)在(0，号)是增加的， 而g0)=-1<0g5)=5+1>0.故2n∈(0，受)使得g()=06分 且当xe(0.)时，g()<0,g()是减少的，当xe(乏)时，9()>0g()是增加的，注意 到g(0)=a-1<0,9(w)<9(0)<0,而g(5)=a>0,从而必然3∈(w)使得g(四)=08分 且当x∈(0,3)时，g(x)<0,即f'(x)<0,当x∈(x,π)时，9(c)>0,f'(x)>0,从而f(x在 (0,C3)递减，在(x3,元)递增...… ..10分 又f(0)=0,f(x3)<f(0)=0,f(π)=aln(元+1)>0，因此必然唯一的x1∈（，π)使得f(c4)=0, 于是f(x)在(0，π)上存在唯一的极值点x1=c和唯一的零点x2=c… .11分 (i)由()知西<<元，且西<交，及f@)在()上是增加的，2x<元，要证2红，>只需证 f(2m)>f(2),即f(2m)>0即可.13分 f(2x1)=aln (2x1+1)-sin2=(x1+1)cosa In (2x1+1)-sin2x =cosa[(1+1)In(221+1)-2sin2I] >cos1[(x1+1)2 ,2x1+1-1 21+1+1 -2sincI] =C0s1(21-2sin1)>016s分 下面补证：e>1时，e>2;构造函数m)=1nm-21,m=1- x+1 x+1 x(x+12 z十>0.因此nm)在（红，+）是增加的，me)>m1)=0,故得证。 (x-12 ....17分