6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示分层同步练习 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 一、必备知识基础练 1.(多选题)(探究点三(角度1))下列各对向量不共线的是(　　) A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(,-1),b=(1,) D.a=(1,),b=(,2) 2.(探究点一)向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=(　　) A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7) 3.(探究点三(角度2)·2025河北邯郸高一期末)已知向量a=(x,-1),b=(-2,3),若a∥b,则x=(　　) A.- B. C.- D. 4.(探究点三(角度2))已知向量a=(1,λ),b=(μ,-2),且a与b共线,则(　　) A.=-2 B.=2 C.λμ=-2 D.λμ=2 5.(探究点三(角度1)·2025江苏镇江高一期中)已知向量=(5,1),=(m,9),=(-8,-5),若A,B,D三点共线,则m=(　　) A. B.62 C.28 D.- 6.(探究点一)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(　　) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 7.(探究点二)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为(　　) A. B. C.(3,2) D.(1,3) 8.(探究点二)已知A(2,0),B(0,2),若,则点C的坐标是　　　　　.  9.(探究点三(角度2))已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,A,B,M三点共线,且+λ,则点M的坐标为　　　　.  10.(探究点二)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及的坐标. 11.(探究点二·2025上海高一期中)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且点E满足. (1)求点E的坐标; (2)若点F满足,判断向量与向量是否共线,并证明你的结论. 二、关键能力提升练 12.已知A(1,-3),B(8,),且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是(　　) A.(-9,1) B.(9,-1) C.(9,1) D.(-9,-1) 13.(2025北京高一期中)已知平面向量a=(x,1),b=(4,x),且a与b方向相反,则x的值为(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.0 14.已知点O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB上靠近A点的三等分点,则点P的坐标为　　　　　.  15.已知向量a=(,tan α),b=(cos α,1),α∈(,π),且a∥b,则sin α=　　　　,cos 2α=　　　　. 16.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　　　　.  17.设a=(6,3a),b=(2,x2-2x),且满足a∥b的实数x存在,则实数a的取值范围是　　　　.  三、学科素养创新练 18.(2025上海奉贤高一期中)已知集合Ω是平面直角坐标系内的点集,O为坐标原点.若任取P1,P2∈Ω,均存在不全为0的实数λ1,λ2,使得λ1+λ2=0,则点(2,4)∉Ω的充分条件是(　　) A.(0,0)∈Ω B.(1,2)∈Ω C.(2,1)∈Ω D.(-2,-4)∈Ω 19.(2025广东深圳高一期中)如图,在扇形OAB中,∠AOB=,C为弧AB上的动点,若=x+y,则x+4y的取值范围为　　　　　.  参考答案 1.ABC　A,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=a,两个向量共线. 2.B　∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B. 3.B　向量a=(x,-1),b=(-2,3),由a∥b,得3x-(-1)×(-2)=0,所以x=.故选B. 4.C　∵a=(1,λ),b=(μ,-2),a与b共线, ∴1×(-2)-λμ=0,化简得λμ=-2.故选C. 5.C　由题可知,=(m-8,4),因为A,B,D三点共线,所以,所以20=m-8,解得m=28.故选C. 6.D　因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). 7.A　设顶点D的坐标为(x,y), 因为=(4,3),=(x,y-2),且=2, 所以所以故选A. 8.()　设C(x,y),则=(x-2,y),=(-2,2), 所以(x-2,y)=(-),得x=,y=,即C(). 9.(0,)　∵A,B,M三点共线,且+λ, ∴λ=.又A(2,-1),B(-1,1),即=(2,-1),=(-1,1),∴(2,-1)+(-1,1)=(0,),则点M的坐标为(0,). 10.解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8). ∴ (3)设M(x1,y1),由=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴∴x1=0,y1=20.∴M(0,20). 设N(x2,y2),由=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).∴解得∴N(9,2). ∴=(9,-18). 11.解(1)设E(x,y),因为A(-1,0),C(1,2),则=(x+1,y),=(2,2),因为,所以(x+1,y)=(2,2),即解得所以E(-). (2)向量与向量共线,证明如下: 设F(x0,y0),因为B(3,-1),C(1,2),所以=(x0-3,y0+1),=(-2,3).因为,所以(x0-3,y0+1)=(-2,3),即解得 所以F(,0),所以=(,-),=(4,-1), 所以,故共线. 12.C　设点C的坐标是(x,y).因为A,B,C三点共线,所以.因为=(8,)-(1,-3)=(7,),=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3), 所以7(y+3)-(x-1)=0,整理得x-2y=7, 经检验可知点(9,1)符合要求. 13.B　由向量a=(x,1),b=(4,x)共线,得x2=4,解得x=±2,当x=2时,b=(4,2)=2(2,1)=2a,a与b方向相同,不符合题意;当x=-2时,b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a与b方向相反,符合题意,所以x的值为-2.故选B. 14.(,1)　由题得=3,设P(x,y),所以=3(),即(4,-6)=3(x-2,y-3),所以解得所以点P的坐标为(,1). 15.　因为向量a=(,tan α),b=(cos α,1),且a∥b,所以tan αcos α=.因为α∈(,π),所以sin α=, 所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=. 16.-2　因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2. 17.[-1,+∞)　∵a=(6,3a),b=(2,x2-2x),且a∥b, ∴6(x2-2x)-6a=0,即x2-2x-a=0. 由题意知关于x的方程x2-2x-a=0有解,∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1,即a的取值范围是[-1,+∞). 18.C　因为存在不全为0的实数λ1,λ2,使得λ1+λ2=0,即共线.设P(2,4),选项中的点为Q, 则(2,4)∉Ω的充分条件,即不共线, 对于A,=0,共线; 对于B,=(1,2)=共线; 对于C,=(2,1)≠λ不共线; 对于D,=(-2,-4)=-共线. 故选C. 19.[1,2]　不妨设||=||=1,以O为坐标原点,以OA所在的直线为x轴,过O作OA的垂线为y轴,建立平面直角坐标系, 如图,设∠AOC=θ, 则C(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤,且A(1,0),B(-),可得=(1,0),=(-),=(cos θ,sin θ),又=x+y,所以(cos θ,sin θ)=x(1,0)+y(-), 则 所以x+4y=cos θ+3sin θ=2cos θ+sin θ)=2sin(θ+α),其中sin α=,cos α=,tan α=,不妨设α∈(0,).由于0≤θ≤,所以sin(θ+α)可取到最大值1,当θ=0时,sin(θ+α)取得最小值,所以1≤2sin(θ+α)≤2,所以x+4y∈[1,2]. 7 学科网（北京）股份有限公司 $