6.2.4 向量数量积（第1课时 向量数量积的概念）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4　向量数量积 第1课时　向量数量积的概念 一、必备知识基础练 1.(探究点一)在正六边形ABCDEF中,向量的夹角为(　　) A. B. C. D. 2.(探究点三)已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为(　　) A.45° B.135° C.120° D.150° 3.(探究点二)已知|b|=3,a在b方向上的投影向量是b,则a·b为(　　) A.3 B. C.2 D. 4.(探究点三·2025陕西延安高一期中)下面给出的关系式中,正确的个数是(　　) ①0·a=0;②0·b=0;③a2=|a|2;④在|a·b|≤|a||b|中,若a,b是非零向量,当且仅当a与b方向相同时,等号成立. A.0 B.1 C.2 D.3 5.(探究点三·2025天津河西高一期中)设a,b是两个非零向量,则“a·b<0”是“a与b的夹角为钝角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(探究点二·2025浙江温州高一期中)已知向量a,b的夹角是60°,且|a|=5,|b|=2,则b在a方向上的投影向量是(　　) A.b B.a C.b D.a 7.(探究点三)设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则<a,b>等于(　　) A.150° B.120° C.60° D.30° 8.(探究点二)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则a在b方向上的投影向量的模是　　　　　.  9.(探究点一)已知|a|=2,b2=3,在下列情况下分别求a·b. (1)a∥b; (2)a⊥b; (3)a与b的夹角为150°. 10.(探究点一)如图,在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求: (1); (2). 二、关键能力提升练 11.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,能使=0一定成立的是(　　) A.a=b B.a+b=0 C.a·b=0 D.a·b=|a|·|b| 12.(多选题)给出下列判断,其中正确的是(　　) A.若a2+b2=0,则a=b=0 B.已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c| C.a,b共线⇔a·b=|a||b| D.|a||b|<a·b 13.如图所示,一个大小为5 N,与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上,小车沿水平方向向右运动.运动过程中,小车受到的阻力大小为3 N,方向水平向左.小车向右运动的距离为2 m的过程中,小车受到的各个力都没有发生变化.求在此过程中:拉力F对小车做的功(取cos 37°≈0.8)为　　　　,小车克服阻力做的功为　　　　.  14.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为　　　　　.  15.已知向量e1,e2分别是与向量a,b方向相同的单位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为-e1,则a与b的夹角θ=　　　　　.  16.已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值是　　　　.  三、学科素养创新练 17.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　　) A. B. C. D. 18.如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.如图,若正方形ABCD的面积是25,正方形EFGH的面积是1,求的值. 参考答案 1.B　如图,设AD与BE交于点O,由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形,所以∠OAB=,则向量的夹角为.故选B. 2.B　cos θ==-. 又因为0≤θ≤π,所以θ=,即θ=135°. 3.B　a·b=b·(b)=×9=. 4.C　0·a=0,①显然正确;0·b=0,所以②错误;a2=|a|2,③正确;当a与b方向相反时,等号也成立,④错误.故选C. 5.B　若a·b<0,则a与b的夹角可能为180°,不一定是钝角,因此充分性不成立; 若a与b的夹角为钝角,则可得cos<a,b><0,因此可得a·b=|a||b|cos<a,b><0,所以必要性成立,即“a·b<0”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B. 6.D　由题意,b在a方向上的投影向量为|b|·cos<a,b>·=1×a. 故选D. 7.B　如图所示,设=a,=b,因为|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以以线段OA,OC为邻边作平行四边形OABC,可得△OAB是等边三角形,所以<a,b>=120°. 8.4　设a与b的夹角是θ,与b方向相同的单位向量为e,则e=,则a在b方向上的投影向量为|a|cos θe=(b=-b,其模为=4. 9.解因为|a|=2,b2=3,所以|b|=. (1)当a∥b时,a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2,或a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. (2)当a⊥b时,a·b=|a||b|cos 90°=2××0=0. (3)当a与b的夹角为150°时,a·b=|a||b|cos 150°=2××(-)=-3. 10.解(1)因为,且方向相同,所以的夹角是0°,所以=||||·cos 0°=3×3×1=9. (2)因为的夹角为60°,所以的夹角为120°,所以=||||·cos 120°=4×3×(-)=-6. 11.B　由=0,得=-,所以向量a与b方向相反.对于A,由a=b得向量a与b的方向相同,A错误;对于B,由a+b=0得向量a与b方向相反,B正确;对于C,由a·b=0得a⊥b,C错误;对于D,由a·b=|a|·|b|得向量a与b的方向相同,D错误.故选B. 12.AB　由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,则a=b=0,故A正确; 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故B正确; a,b共线⇔a·b=±|a||b|,所以C不正确; 对于D,应有|a||b|≥a·b,所以D不正确.故选AB. 13.8 J　6 J　拉力F对小车做的功W1≈5×2×0.8=8(J),小车克服阻力做的功为W2=3×2=6(J). 14.1　如图所示,设的夹角是θ, 根据平面向量的数量积的定义可得=||·||cos θ.由图可知,||·cos θ=||,因此=||2=1. 15.120°　由题意,得解得 ∴cos θ==-.∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°. 16.-25　因为||2=||2+||2,所以B=90°,所以=0.因为cos C=,cos A=,所以=||·||cos(180°-C)=4×5×(-)=-16.=||·||cos(180°-A)=5×3×(-)=-9. 所以=-25. 17.A　由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A. 18.解因为正方形ABCD的面积是25,正方形EFGH的面积是1,所以AD=5,EH=1. 设DE=AH=x,则AE=AH+EH=x+1. 在Rt△AED中,AD2=DE2+AE2,即25=x2+(x+1)2, 解得x=3或x=-4(舍去),所以cos∠DAE=. 易知在正方形ABCD中,,∠BCF=∠DAE,FC=DE=3,所以=||·||·cos∠BCF=5×3×=12. 4 学科网（北京）股份有限公司 $