1.2 等腰三角形 教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质及等边三角形性质，通过折纸实验直观感知轴对称性，衔接轴对称与全等三角形知识，搭建“观察-猜想-证明”的学习支架。 以动手操作（折纸）培养几何直观，引导自主证明发展推理意识，规范几何语言强化符号表达，从等腰到等边体现特殊与一般思维。助力学生提升逻辑推理能力，为教师提供探究式教学范例。

第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.2 等腰三角形（第3课时） 一、教学目标 1.经历等边三角形判定定理的探索与证明过程，理解其判定方法并掌握推导逻辑. 2.能规范运用等边三角形的判定定理，同时理解并掌握含30°角的直角三角形的性质，解决相关几何问题. 3.体会几何证明中的推理思想，提升符号语言表达与逻辑推理的能力. 二、教学重点及难点 重点：等边三角形判定定理的证明与运用，含30°角的直角三角形性质的掌握. 难点：含30°角的直角三角形性质的探索与证明，以及综合运用相关定理解决几何问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：等边三角形的判定定理. 教师提问：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 【师生活动】先让学生思考，给学生1分钟思考的时间，然后找学生回答. 教师可让同学代表充分发表自己的看法. 解：①三条边相等的三角形是等边三角形. (概念) ②三个角都相等的三角形是等边三角形. (证明如下) 已知：在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠C. 求证：△ABC是等边三角形. 证明： ∵∠A＝∠B， ∴AC＝BC， ∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形. 教师总结：三个角都相等的三角形是等边三角形. 教师提问：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴进行交流. 【师生活动】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判定条件. 【学生活动】学生积极思考，通过老师的点拨，学生多能探究出： 顶角是 60° 的等腰三角形是等边三角形； 底角是 60° 的等腰三角形是等边三角形； 教师追问：两个定理的形式相近，能否用更简洁的语言描述这个结论吗？ 【归纳】有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 设计意图：等边三角形的判定方法是本节课的重点.通过对不同的三角形加＂边＂或＂角＂两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识.条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用. 教师提问：证明定理“有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形”的两种情况. 【学生活动】先独立思考，并与同伴讨论交流. 答案预设1： 已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠A＝60°，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴， ∴∠A＝∠B. ∴AC＝BC (等角对等边). ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， 即△ABC为等边三角形. 答案预设2： 已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. ∵∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝60°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC. ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC， 即△ABC为等边三角形. 【探究新知】 探究：含 30° 角的直角三角形的性质. 教师提问：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含 30° 角的直角三角形. 拿出三角板，做一做： 用两个完全相同的含 30° 角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？ 【师生活动】在学生小组合作的基础上，经过动手操作讨论分析，自主探究结论．教师注意适时引导． 学生一般可以得出下面两种图形： 其中左图是等边三角形，学生根据此图可以得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形. 教师追问：如何用几何语言表示上述定理？你能证明这个定理吗？ 【师生活动】学生小组合作，结合等边三角形动手推导含30°角的直角三角形性质，自主用几何语言表述并证明；教师巡视点拨，组织分享结论. 答案预设： 几何语言：如图，在Rt△ABC 中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°. ∴. 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°. 求证：. 证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°. ∵AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC (SAS). ∴AB＝AD (全等三角形的对应边相等). 在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理). ∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝180°－30°－90°＝60°. ∴△ABD是等边三角形 (有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形). ∴. 【归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 教师追问：该定理的作用是什么？ 学生总结：该定理可以用来证明线段之间的倍数关系，也可以求线段的长度. 设计意图：直角三角形中，＂30°所对的直角边等于斜边的一半＂是本课的难点，在难点的突破上主要采取两种方法：（1）通过三角尺操作的实践活动，（2）对问题的分步引导的方法.这样在难点的突破更具有直观性和可操性. 【典型例题】 例3.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高. 求证：. 证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角). ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). ∵CD是腰AB上的高， ∴∠ADC＝90°. ∴.(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴. 设计意图：通过例题讲解，巩固理解＂在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半＂的性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.等边三角形的判定方法： （1）三边相等的三角形是等边三角形. （2）三个内角都等于 60° 的三角形是等边三角形. （3）有一个内角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 2.直角三角形中，如果一个锐角等于 30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.2 等腰三角形（第1课时） 一、教学目标 1.经历等腰三角形性质的探索过程，理解等腰三角形＂等边对等角＂＂三线合一＂的性质，同时掌握等边三角形的性质. 2.能规范运用等腰三角形的性质，分析两底角角平分线、两腰上的高与中线的关系，解决简单的几何问题. 3.体会几何证明的严谨性，提升利用数学符号语言进行推理的逻辑思维能力. 二、教学重点及难点 重点：等腰三角形＂等边对等角＂＂三线合一＂的性质，以及等边三角形的性质. 难点：理解并灵活运用等腰三角形＂三线合一＂的性质，规范完成几何推理与证明. 三、教学过程 【探究新知】 探究：等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角). 教师提问：我们知道，等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，你还记得这个结论的探索过程吗？ 【学生活动】同学们做实验：把各自准备的等腰三角形对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，并认真观察，独立思考，解决问题. 教师：折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形，并且折叠后三角形两个底角相等. 设计意图：通过折纸这一实操活动，让学生直观感受等腰三角形的轴对称性，自主观察并发现“两个底角相等”的性质；同时借助折痕对应的全等三角形，为后续严谨的几何证明铺垫直观经验. 教师提问：等腰三角形两个底角相等，大家能利用基本事实或已知的定理证明这个结论吗? 想一想，根据上述折纸，得到了解题的什么启发？ 【学生活动】先独立思考，分析等腰三角形性质的条件和结论，画出图形，写出已知和求证.完成后与同伴交流. 【师生活动】在学生小组合作的基础上，根据折纸过程，经过讨论分析，学生能证明等腰三角形的两底角相等. 教师注意适时引导. 设计意图：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，给学生一定的规范，起到一种引领作用，力图让学生形成拓广命题的意识． 答案预设： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 证明：如图，取BC的中点D，连接AD． ∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS)． ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)． 教师提问：想一想，你还有其他方法来证明等腰三角形两个底角相等吗？试一试写出证明过程．与同伴进行交流． 【师生活动】学生小组讨论后，选一位学生黑板板演，教师巡视指导，对学生出现的问题及时纠正. 答案预设：（其他方法） 证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD． ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等)． 【探究新知】 探究：等腰三角形三线合一. 教师提问：由△ABD≌△ACD，图中线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 【师生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结. 教师适时引导.教师总结并引出等腰三角形三线合一：如图，线段AD除了是底边上的中线，还是顶角的角平分线，底边上的高线. 定理：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一). 设计意图：借助全等三角形的结论，引导学生小组讨论线段AD的多重性质，自主归纳出“三线合一”定理；在交流中培养学生的逻辑推理与语言表达能力，同时让学生体会辅助线的桥梁作用，渗透转化思想，帮助学生建立几何性质与证明之间的联系，提升几何问题的分析能力. 教师提问：大家试着用几何语言来表示等腰三角形的两个性质. 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，总结出答案. 答案预设： 1.如下图，在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B=∠C. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC， (1)∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. (2)∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD=∠CAD. (3)∵∠BAD=∠CAD，∴BD＝CD，AD⊥BC. 【探究新知】 探究：等边三角形的性质. 教师提问：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 【师生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明等边三角形的性质.教师注意适时引导. 答案预设： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC. 求证：∠A＝∠B＝∠C=60°. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C (等边对等角). 又∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B (等边对等角). ∴∠A＝∠B＝∠C. 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 教师提问：大家试着用几何语言来表示等边三角形的性质. 【学生活动】学生经过讨论分析，总结出答案. 答案预设： 如图，在△ABC中， ∵AB＝AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 设计意图：以“等边三角形是特殊的等腰三角形”为切入点，引导学生小组合作，利用等腰三角形的性质推导等边三角形的内角性质，既巩固了等腰三角形的知识，又培养了“从特殊到一般”的推理能力；同时通过几何语言的归纳，提升学生的符号表达与逻辑严谨性. 教师总结与拓展：(1)等边三角形的三边相等，且具有等腰三角形的所有性质； (2)等边三角形每个内角的平分线都与该角对边上的高线、中线重合； (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一） 3.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.2 等腰三角形（第2课时） 一、教学目标 1.经历等腰三角形判定定理的探索过程，理解＂等角对等边＂的判定方法，掌握其推导逻辑. 2.能规范运用等腰三角形的判定定理解决几何证明与计算问题，同时理解反证法的思想并能简单运用. 3.体会＂性质与判定＂的逆向思维，提升几何推理与逻辑证明的能力. 二、教学重点及难点 重点：等腰三角形＂等角对等边＂判定定理的掌握与运用，以及反证法的基本思想. 难点：灵活运用等腰三角形判定定理解决综合问题，规范运用反证法进行证明. 三、教学过程 【探究新知】 探究：等腰三角形的判定. 教师提问：前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你有几种证明方法？ 【师生活动】学生自主探究等腰三角形的判定条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等腰三角形的判定条件. 答案预设： 已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：△ABC是等腰三角形. 教师点拨：只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC. 在△ABD与△ACD中，又有∠B＝∠C，AD为公共边， ∴△ABD≌△ACD (AAS). ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形. 【归纳】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边） 设计意图：通过“逆向思考等腰三角形性质”问题，引导学生自主探究等腰三角形的判定条件，在构造全等三角形的证明过程中，培养逆向思维与逻辑推理能力；同时鼓励学生交流多种证明方法，提升几何证明的多样性与严谨性，帮助学生建立“性质与判定”的双向关联思维，深化对等腰三角形的理解. 【典型例题】 例1.已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA， ∴△ABD≌△DCA (SSS). ∴∠ADB＝∠DAC (全等三角形的对应角相等). ∴AE＝DE (等角对等边). ∴△AED是等腰三角形. 在解答过程中，教师应关注学生的思考过程，引导学生分析解决问题的方法. 设计意图：通过例题讲解，巩固＂全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理＂．一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 【探究新知】 探究：反证法. 教师提问：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，自主证明上述结论. 小明的思考过程如下： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB＝AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C＝∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 教师提问：这道题的证法有什么特点呢？你能理解他的推理过程吗？ 【师生活动】学生先独立梳理小明的推理过程，理解答题的逻辑；再小组讨论解题步骤特点，尝试用自己的语言总结基本思路，完成后分享交流. 教师注意适时引导. 答案预设： 小明在证明时，①先假设命题的结论不成立，即AB＝AC； ②利用已知定理“等边对等角”证明∠B＝∠C，得到与题干中的条件相矛盾，说明假设不成立； ③假设不成立，从而证明若∠B≠∠C，则AB≠AC. 教师总结：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法. 用反证法证明的一般步骤是： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 设计意图：通过引导学生分析小明的推理过程，让学生初步接触反证法的逻辑思路，体会“假设结论反面、推出矛盾、证明原结论”的论证方法；在小组讨论与总结中，培养学生的逻辑思辨能力，同时帮助学生理解“正难则反”的证明策略，拓展几何证明的思维方式. 【典型例题】 例2.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A＝90°，∠B＝90°. 于是∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 设计意图：以例题形式展示用反证法证明命题的过程．让学生感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1．等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边），可通过构造全等三角形进行证明. 2．反证法的思路： 通过＂假设结论的反面成立→推出与已知／定理矛盾的结果→证明原结论正确＂的逻辑，如证明＂三角形中两角不相等则对边不相等＂. 学科网（北京）股份有限公司 $