1.5 角平分线 教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦角平分线的性质定理与判定定理，通过回顾旧知结合折纸直观感知引入，引导学生从直观操作过渡到严谨几何证明，构建“直观感知—逻辑验证”的学习支架，衔接前后知识脉络。 此资料以“性质—判定”双向探究为特色，通过折纸实验培养几何直观（数学眼光），逆向思考逆命题发展推理意识（数学思维），典型例题综合应用定理提升分析能力（数学语言）。助力学生深化理解与推理能力，为教师提供清晰教学路径与实用实例。

第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.5 角平分线（第2课时） 一、教学目标 1.经历与角平分线性质、判定定理相关结论的证明过程，理解其推导逻辑，掌握三角形三条角平分线的性质. 2.能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理，解决较复杂的几何问题，提升逻辑推理与辅助线添加能力. 3.体会角平分线定理在综合问题中的应用，能用数学语言清晰表达证明与解题过程. 二、教学重点及难点 重点：证明与角平分线性质、判定定理相关的结论，掌握三角形三条角平分线的性质. 难点：灵活运用角平分线的性质与判定定理，正确添加辅助线解决复杂几何问题. 三、教学过程 【探究新知】 实践：角平分线定理的实际运用. 教师提问：同学们，让我们回顾一下上节课学习的角平分线的性质定理和判定定理. 【学生活动】学生以小组为单位，回顾角平分线的性质定理与判定定理，并交流分享. 答案预设： 性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.（经常用来证明两条线段相等） 判定：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. （经常用来证明两角相等） 教师：现在我们通过一道例题，来学习角平分线的定理在实际问题中的灵活运用. 【典型例题】 例2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4cm，求AC的长； (2)求证：AB＝AC＋CD. 教师点拨：(1) 由已知可知△ABC是等腰直角三角形，可以利用角平分线的性质定理及勾股定理求出BD的长，从而求出BC的长，即AC的长. (2) 利用角平分线的性质定理及三角形全等可以证明AC＝AE，再通过证明△BDE为等腰直角三角形可以得到DE＝BE，从而证出AB＝AC＋CD. （1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠BAC (等边对等角). ∵∠C＝90°， ∴. ∴∠BDE＝90°－45°＝45°. ∴BE＝DE (等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中， (勾股定理). ∴. （2）证明：由(1)的求解过程易知， ∴Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴AC＝AE (全等三角形的对应边相等). ∵BE＝DE＝CD， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 设计意图：这道例题通过角平分线性质与等腰直角三角形性质的综合应用，巩固学生对相关定理的理解，提升知识的综合运用能力.在解题过程中，引导学生体会“距离相等”到“线段相等”的转化逻辑，以及全等三角形在证明线段和差关系中的作用，强化学生的几何推理与问题分析能力，同时查缺补漏，夯实知识基础. 【探究新知】 探究：探索三角形三个内角的角平分线的性质. 【师生活动】1.利用尺规作三角形三个内角的角平分线：用尺规作图法分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察交点的位置，并测量交点到三边的距离. 2.剪下一个三角形，通过折叠找出每个角的角平分线，总结锐角、直角、钝角三种三角形三条角平分线交点的情况. 经过上述操作，你有什么样的发现？与同组同学之间相互交流. 【学生活动】在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结. 设计意图：通过动手操作让学生探索三角形三个内角角平分线的性质，提高学习兴趣，加深学生的直观印象． 【典型例题】 例3.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P. 教师提问：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？ 【学生活动】学生小组合作，结合角平分线的性质，再依据判定定理，完成证明.之后分享交流思路. 证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 即∠A的平分线经过点P. 【归纳】教师总结引出定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫做三角形的内心. 符号语言表示如下： ①在△ABC中，∵AD，BE，CF分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线， ∴AD，BE，CF相交于点P. ②若过点P作PE⊥BC，PG⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为点E，G，F， 则PE＝PG＝PF. 注：三角形的三条角平分线的交点只能在三角形的内部. 拓展：三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别. 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内—点 钝角三角形 交于三角形外—点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.三角形三个内角角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫做三角形的内心. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版(2024) 1.5 角平分线（第1课时） 一、教学目标 1.经历角平分线性质定理与判定定理的探索过程，完成定理的证明，理解其推导逻辑. 2.能规范运用角平分线的性质定理和判定定理，解决简单的几何问题. 3.体会＂性质与判定＂的双向关联，提升几何推理与问题分析能力，能用数学语言清晰表达证明过程. 二、教学重点及难点 重点：角平分线的性质定理与判定定理的证明与掌握. 难点：运用角平分线的性质与判定定理进行逻辑推理，解决综合几何问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：角平分线的性质定理. 教师提问：你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？ 【学生活动】先回顾角平分线的性质，与小组讨论交流. 教师：如图，我们曾经通过角的轴对称性，利用折纸的方法结合对称的性质得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流. 【师生活动】教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题.通过讨论和思考，引导学生明确已知与求证的内容，小组之间讨论各自的证明过程. 答案预设： 已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 证明：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°， ∵∠1＝∠2，OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS) ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等). 【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言：如图， ∵OP平分∠AOB，且PD⊥OA，PC⊥OB， ∴PD＝PC. 设计意图：通过折纸的直观感知与严谨的几何证明相结合，引导学生探究角平分线的性质定理.在证明过程中，培养学生的逻辑推理能力与规范证明的技巧，帮助学生建立“直观感知—逻辑验证”的学习路径，深化对角平分线性质的理解，为后续判定定理的学习奠定基础. 【探究新知】 探究：角平分线的判定定理. 教师提问：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请证明自己结论的正确性. 【师生活动】教师注意引导学生运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，再写出它的逆命题；在学生小组合作的基础上，分析证明角平分线的判定定理. 教师点拨：“如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.”这个命题是假命题. 因为角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点. 答案预设： 逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 证明如下. 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°. ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. 【归纳】角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 符号语言：如图， ∵PD⊥OA，PC⊥OB，且PD＝PC， ∴点P在∠AOB的平分线上. 设计意图：通过逆向思考角平分线性质定理的逆命题，引导学生小组合作探究证明角平分线的判定定理，培养学生的逆向思维与逻辑辨析能力. 同时，强调“角的内部”这一关键条件，帮助学生理解命题的严谨性，建立“性质—判定”的双向关联思维，深化对角平分线的整体认知. 【典型例题】 例1.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF. ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴ (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). 设计意图：通过这道例题，巩固角平分线的判定定理与含30°角的直角三角形性质的综合应用，让学生体会从“距离相等”推导“角平分线”的逻辑链条，提升知识的综合运用能力；同时强化学生在几何问题中的分析与推理能力，查缺补漏，加深对相关定理的理解. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 学科网（北京）股份有限公司 $